【小学四年级奥数讲义】方阵问题

四年级奥数-教师版-第三讲-方阵问题(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三讲方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。

如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

核心公式：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层总人数比内一层总人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。

根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。

【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人这个方阵共有五年级学生多少人解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。

【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。

解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）- 10 -- 11 -第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。

第18讲方阵问题一、知识概要1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。

2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比上一层物体总个数少8个。

3、实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数4、空心方阵中物体的个数=（最外层一边个数—层数）×层数×45、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1二、典型例题1、有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边共放多少个稻草人？2、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，一共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？3、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边8人，这个方阵一共有多少人？4、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边12个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？5、同学们在军训时排成了一个由204人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？6、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。

如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？7、在儿童公园的一次菊花展上，用120盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？8、一个中空方阵的队列，最外层每边18人，最内层每边10人。

这个队列共有多少人？9、用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？10、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。

女生有72人参加表演，男生有多少人？三、针对练习1、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？2、小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？3、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？4、解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？5、有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？6、用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒?7、有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？8、仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边12人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多4人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。

四年级奥数方阵问题方阵问题我们在日常生活中经常遇到编排正方形体操队列，在方形台上或操场上摆鲜花、插彩旗，在正方形棋盘上摆棋子等问题，你可别小瞧了这些问题，这里面包含了许多数学奥秘呢，快来看看吧！1、运动会上，同学们东站了一个存有6行，每行6人的正方形队伍。

这个正方形队伍中一共存有()名同学。

2、49名同学可以站成一个（）行（）列的正方形队伍，64名同学可以站成一个（）行（）列的正方形队伍。

3、在一行队伍中，小明的左边存有4个同学，右边存有5个同学，这一行队伍共计10人，对吗？讲一讲：基准1：同学们排好一行，小明从左数站在第9个，从右数站在第6个。

你晓得这一行存有多少个同学吗？练一练：1、操场挂着一排颜色相同的彩旗，从左数，红旗就是第7面；从右数，红旗就是第4面，你晓得这一排彩旗存有多少面吗？2、同学们排成一队做操，调皮的小强东张西望，结果发现自己无论从前数，还是从后数都是第5个。

你知道总共有多少个同学在做操吗？试试看：有20只兔子排成一行在做操。

小白兔左边有7个小兔，小灰兔右边有3只小兔，问，小白兔与小灰兔中间还有几只小兔？基准2：运动会上，同学们准备工作在正方形操场四周挂上彩旗，四个角上都必须存有一面彩旗，并使每边存有8面彩旗，那么一共必须准备工作多少面彩旗呢?练一练：1、它的说法对吗？为什么？老师让我在正方形舞台四周摆上鲜花，每边摆6盆，6×4=24（盆），我想最少要用24盆花。

2、解放军叔叔们在一个哨所警戒，哨所的四个角上都存有一名哨兵，敌人无论从哨所的哪一方面看，都会看到有10人站岗，请你算一算这个哨所有多少解放军哨兵？试试看：16只兔子灌装在8个笼子里（例如右图），这样看看每边存有6只兔子，现在要使每边变为5只，该怎么调整笼中的兔子？例3：请问，原定每个年级有多少人参加比赛呢？通告由于服装不够，各班参加广播操比赛的同学必须增加23人，恳请各年级的也已方形队伍横竖各减少一排。

校体育组练一练：1、一个正方形方阵横竖增加一排后增加了11人，那原来每边存有多少人？2、军训学生进行队列表演，排成一个正方形队列，如果这个队列横竖再增加一排，就还需要补充19人，原来参加队列表演的学生有多少人？试试看：出席演出的正方形队伍，如果横竖都换成2行，则增加36人，原来的队伍存有多少人？例4：国庆游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边2层的方阵。

四年级方阵问题知识点总结一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个由若干数构成的矩形数表，它是数学中的一种重要工具，用来表示多个数的集合。

矩阵通常用大写字母表示。

2. 矩阵的元素矩阵的每个数称为矩阵的元素。

矩阵中的元素按照行列的顺序排列，可以用下标表示。

3. 矩阵的行和列矩阵中的横向排列的数字构成矩阵的一行，纵向排列的数字构成矩阵的一列。

二、加减乘除运算1. 加法两个相同阶数（即行数和列数相同）的矩阵相加时，只需对应位置上的元素相加即可。

2. 减法两个相同阶数的矩阵相减时，也是对应位置上的元素相减。

3. 数与矩阵相乘一个数与矩阵相乘时，只需把这个数与矩阵中的每一个元素相乘。

4. 矩阵相乘两个矩阵相乘时，首先要保证第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等，然后按照矩阵乘法的定义进行计算。

5. 矩阵的转置将原矩阵的行变为列，列变为行。

6. 矩阵的逆如果一个方阵乘以它的逆矩阵等于单位矩阵，则该方阵有逆矩阵。

三、矩阵的性质1. 矩阵的相等当且仅当两个矩阵的相同位置上的元素都相等时，这两个矩阵相等。

2. 矩阵的零元素矩阵中所有元素都为零的矩阵称为零元素矩阵，一般用O表示。

3. 矩阵的单位元素主对角线上元素全为1，其它元素全为0的矩阵称为单位元素矩阵，一般用E表示。

4. 矩阵的相加和相乘的结合律矩阵的相加和相乘满足结合律。

四、特殊矩阵1. 对称矩阵矩阵A的转置矩阵与原矩阵相等，即A的转置矩阵等于A，称为对称矩阵。

2. 上三角矩阵主对角线以下的元素全为0的矩阵称为上三角矩阵。

3. 下三角矩阵主对角线以上的元素全为0的矩阵称为下三角矩阵。

以上就是四年级方阵问题的知识点总结。

通过掌握这些知识点，学生可以更好地解决方阵问题，提高数学问题的解决能力和逻辑思维能力。

第二讲方阵问题（二）例3：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。

问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。

例4：晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？分析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个。

知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数。

知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。

解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）练习与作业1.有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人，如果每边站的人数相等，那么每边站几个学生？2.有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，如果每边栽6棵，四边一共栽多少棵树？3.有100个少先队员参加广播操比赛，十人一行，排成了一个正方形队。

这个正方形四周站了多少个少先队员？4.在一块正方形场地的四周竖电线杆，四个角上都竖1根，一共竖28根，正方形场地每边竖多少根电线杆？5.某会议室的天棚是正方形，准备在天棚四周每边安装8灯（包括四个角上都安装1盏），四周一共安装多少盏灯？。

四年级奥数专题第15讲方阵问题概念：将人(或物)，依一定条件排成正方形(简称方阵)，再根据已知条件求人(物)数。

这类问题叫方阵应用题。

解题关键及规律：方阵问题的解法要点是：①方阵每边人数和四周人数的关系：(每边人数-1)×4=四周人数四周人数÷4＋1=每边人数②实阵总人数的求法；实心方阵：(每边人数)2=总人数空心方阵：(外边人数)2-(内边人数)2=总人数若将空心方阵分成四个相等的矩形计算则：(每边人数-层数)×层数×4=总人数例1.棋子若干只，恰好可以排成每边6只的正方形，棋子总数是多少？棋子最外层有多少？例2.一堆棋子，排成正方形，多余4只棋子，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少只？例3.从最外层的人数推进外层每边人数；从最内层的人数推进空心部分每边人数。

然后求实心方阵比空心方阵多多少人？习题1.有8层中空方阵，最外一排有20人，求此方阵的总人数。

2.设计一个团体操表演队形，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的人只有360人，问最外层每边应排多少人？3.一个方阵花坛共有15层，最内层每边有20株花草，此花坛的花草总数有多少棵？※4.原计划每边栽24棵树，形成一实心树方阵，现在要留出中间地方打一眼井，如树的棵数增加24棵，想栽树5层，中空方阵。

问最外层栽多少棵树？最内层需栽多少棵数？※5.有风景树若干棵，若排成三层的中空方阵，尚余9棵，在中空部分增列一层，则缺7棵。

问这种树有多少棵？※6.有一堆棋子排成正方形多余3只；如果正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少8只。

问一共有多少只棋子？。

方阵（教师版）知识点精讲方阵问题应用题就是把人或物按照一定的条件排成正方形，再根据已知条件求出人或物的数量的应用题。

特点是：方阵每边的实物数量相等，同边上相邻两层的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差8。

数量关系：（1）方阵每边人数和四周人数的关系：（每边人数-1）×4=四周人数四周人数÷4+1=每边人数（2）方阵总人数的计算方法：实心方阵：每边人数×每边人数=总人数空心方阵：1.外边人数×外边人数-内边人数×内边人数=总人数2.若将空心方阵分成4个相等的矩形计算，则：（外边人数-层数）×层数×4=总人数3.逐层相加，则：第一层人数+第二层人数+第三层人数+…=总人数课堂例题与练习1.四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。

排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析：这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。

排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。

求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。

2.有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。

问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。

根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。

而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。

解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。

3.一堆棋子排成一个实心方阵，共有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？还剩下多少只棋子？解题分析排成方阵的棋子，无论排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，无论去掉哪一行和哪一列，总会有一只棋子被重复去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原来方阵中2行的棋子数少1只。

应用题板块-方阵问题（小学奥数四年级）“方阵问题”是以现实生活中的方阵为题材，通过对方阵中“每边数量”、“边数”、“总数”的自主探究，探索出此类问题中各个数量之间存在的数量关系。

在此过程中，让孩子充分体验模型思想建立的一般过程，感受数学模型的魅力。

【一、题型要领】士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵。

根据不同的排列方式，方阵分为实心方阵和空心方阵。

1.实心方阵【基本概念】实心方阵是内部全部排满的方阵。

下图左侧是一个5 * 5的方阵，下图右侧是一个6 * 6的方阵，图中绿色表示的是方阵的最外层。

【基本公式】假设方阵最外层每边的人数是N（1）方阵层数 = （N + 1）÷ 2，当N为奇数时= N ÷ 2，当N为偶数时（2）方阵最外层总人数 = 最外层每边的人数* 4 - 4 = （N - 1）* 4 （3）方阵总人数 = 最外层每边的人数* 最外层每边的人数= N * N2. 空心方阵【基本概念】空心方阵是内部未全部排满的方阵，注意只能是内部未排满，且未排满的部分也是一个方阵。

下图左侧是一个整体5 * 5，内部1* 1未排满的空心方阵；下图右侧是一个整体6 * 6，内部2 * 2未排满的空心方阵【基本公式】假设方阵最外层每边的人数是N，层数是M（1）方阵最外层总人数 = 最外层每边的人数* 4 - 4 = （N - 1）* 4 （2）内部方阵最外层每边的人数 = 最外层每边的人数 - 2 * 层数 = N - 2 * M（3）方阵总人数 = 外部方阵总人数 - 内部方阵总人数 = N * N - （N - 2 * M）*（N - 2 * M）= 4 * M * （N - M）【二、重点例题】例题1【题目】一个正方形花坛，原来摆了一些花，组成了一个实心方阵，后来运走了11盆花，使行和列都减少了一排，原来摆了多少盆花？【分析】如下图所示，原先鲜花摆放成如下的方阵，蓝色部分为后来运走的鲜花，绿色及省略部分为剩下的鲜花。