2019年高中数学必修四世纪金榜学案课时提升作业 二十八 3.1.3
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课时提升作业 二十八
二倍角的正弦、余弦、正切公式
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列各式中,值为的是 ( )
A.2sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215°
C.2sin215° D.sin215°+cos215°
【解析】选B.cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2.(2018·铁岭高一检测)已知sin α＝,则cos(π－2α)＝ ( )
A.－ B.－ C. D.
【解析】选B.因为sin α＝,
所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2 α)
＝－1+2×＝－.
3.若tan α＝3,则的值等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】选D.＝＝2tan α＝2×3＝6.
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【延伸探究】若本题条件不变,则的值如何?
【解析】＝＝2+2tan α＝2+2×3＝8.
4.已知α为第二象限角,sin α+cos α＝,则cos 2α＝ ( )
A.－ B.－ C. D.
【解析】选A.sin α+cos α＝,两边平方可得1+sin 2α＝⇒sin 2α＝－.
α是第二象限角,因此sin α>0,cos α<0,
所以cos α－sin α＝－＝－＝－,
所以cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(cos α+sin α)(cos α－sin α)＝－.
5.已知sin(45°+α)＝,α∈,则cos 2α等于 ( )
A.－ B.－ C. D.
【解析】选A.因为sin(45°+α)＝(sin α+cos α)＝,
所以sin α+cos α＝,两边平方,
得1+sin 2α＝,所以sin 2α＝－.
又因为α∈,所以2α∈.
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所以cos 2α＝－＝－.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(cos 75°－sin 75°)(cos 75°+sin 75°)＝________.
【解析】(cos 75°－sin 75°)(cos 75°+sin 75°)＝cos275°－sin275°＝
cos 150°＝－sin 60°＝－.
答案:－
7.已知α∈,sin α＝,则tan 2α＝________.
【解析】由α∈,sin α＝,得cos α＝－,
tan α＝＝－,tan 2α＝＝－.
答案:－
8.已知tan x＝2,则tan 2＝________.
【解析】因为tan x＝2,所以tan 2x＝＝－.
tan 2＝tan＝
＝＝－＝.
答案:
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三、解答题(每小题10分,共20分)
9.证明:＝tan α+.
世纪金榜导学号77476291
【证明】左边＝
＝＝
＝tan α+＝右边,所以等式成立.
10.已知α为第二象限角,且sin α＝,求的值.
世纪金榜导学号77476292
【解析】原式＝
＝.
因为α为第二象限角,且sin α＝,
所以sin α+cos α≠0,cos α＝－,
所以原式＝＝－.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.若α∈,且sin2α+cos 2α＝,则tan α的值等于 ( )
A. B. C. D.
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【解析】选D.由二倍角公式可得sin2α+1－2sin2α＝,即－sin2α＝－,sin2α
＝,又因为α∈,所以sin α＝,即α＝,所以tan α＝.
2.已知sin 2α＝,则cos2＝ ( )
世纪金榜导学号77476293
A. B. C. D.
【解析】选A.因为sin 2α＝,所以cos2＝＝＝
＝.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知sin 2α＝,α∈,则cos α－sin α＝________.
世纪金榜导学号77476294
【解析】因为α∈,所以sin α>cos α即cos α－sin α<0,又sin 2α
＝,则有cos α－sin α＝－
＝－＝－＝－.
答案:－
4.(2018·正定高一检测)若sin＝,则cos＝________.
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世纪金榜导学号77476295
【解析】已知sin＝,且+＝,
则cos＝sin＝,
故cos＝2cos2－1＝－.
答案:－
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知tan α＝2. 世纪金榜导学号77476296
(1)求tan的值.
(2)求的值.
【解析】(1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝＝
＝＝1.
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6.已知向量m＝(cos α－,－1),n＝(sin α,1),m与n为共线向量,且α∈
.世纪金榜导学号77476297
(1)求sin α+cos α的值.
(2)求的值.
【解析】(1)因为m与n为共线向量,
所以×1－(－1)×sin α＝0,
即sin α+cos α＝.
(2)因为1+sin 2α＝(sin α+cos α)2＝,
所以sin 2α＝－,
因为(sin α+cos α)2+(sin α－cos α)2＝2,
所以(sin α－cos α)2＝2－＝.
又因为α∈,
所以sin α－cos α<0,sin α－cos α＝－.
因此,＝.
【补偿训练】
已知向量a＝(1+sin 2x,sin x－cos x),b＝(1,sin x+cos x),函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最大值及相应的x值;
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(2)若f(θ)＝,求cos2的值.
【解题指南】用向量数量积表示出f(x),转化成三角函数问题求解.
【解析】(1)因为a＝(1+sin 2x,sin x－cos x),b＝(1,sin x+cos x),
所以f(x)＝1+sin 2x+sin2x－cos2x＝1+sin 2x－cos 2x＝sin+1.
因此,当2x－＝2kπ+,
即x＝kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值+1.
(2)由f(θ)＝1+sin 2θ－cos 2θ及f(θ)＝得
sin 2θ－cos 2θ＝,两边平方得1－sin 4θ＝,
即sin 4θ＝.
因此,cos2＝cos＝sin 4θ＝.
