1.5函数y=Asin(wx+φ)的图像(2)

高中数学：“剖析”函数y=asin（wxφ）的图像及性质展开全文“老师，为什么我用五点法作图，总是会出错呢？不是这里错，就是那里错！”“老师，我觉得在高中数学函数y=Asin(wx+φ)中，函数图像的变化是最容易错的，很多时候我都把几倍的变换弄成是几分之一的变换，真是头都大了！”“老师，有的题目稍微复杂一点，我就连解析式都求不出来了。

”……在高中数学中，函数y=Asin(wx+φ)的相关知识确实是很难，不仅要考虑的东西非常多，而且很多知识点都非常容易弄错。

在本省重点中学从事高中数学教学13年，教学实践还算是有些丰富，一直以来，这个知识点都是同学们最大的难点，我总是会话最多的时间去讲评、去给同学们做练习。

但是，同学们的吸收效率还是非常不理想，于是，我就自己花时间去总结。

学过这个内容的同学都知道，这个知识点的复杂以及考题的多变，很多时候类似的题目，同学们的答题效果也是非常不理想。

为了帮助同学们更好的学习，让同学们掌握方法才是关键，我自己抽出时间来总结了这个知识点。

我总结出了高中数学中国年y=Asin(wx+φ)的三个考点，并且选择了典型的例子给同学们讲解。

高中数学中，y=Asin(wx+φ)的考题变幻无常，同学们看了我举的例子以后一定要自己在做一些练习，强化一下，相信同学们一定会有所进步的。

一、用“五点法”作函数y=Asin(wx+φ)(A>0,W>0)的图像。

五点，及最高点、最低点以及与坐标轴的三个交点，凭这五点，即可完成一个函数图像的绘制。

这是解答函数题目的一个非常重要的步骤，考得最多。

二、三角函数图象的变换。

在高中数学中，函数图像的变换也是非常常考的点，在这一部分，同学们一定要分清楚w和φ不同倍数时的纵坐标和横坐标的变化。

三、函数y=Asin(wx+φ)的物理意义。

在高中数学的函数中，y=Asin(wx+φ)的物理意义比较简单，主要就是考它的周期和振幅、频率及相位。

以上三个就是高中数学中，函数y=Asin(wx+φ)的考点，同学们一定要把这3点吃透，这样在考试之中也会轻松很多。

x ：相位 x 0时的相位称为初相
例2:图是某简谐运动的图象。
(1)这个简谐运动y/cm 的振幅、周期与 2-
频率各是多少？ O
A
E
0.4 0.8
B
D
C
1.2 F x/s
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示
完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)求这个简谐运动的函数表达式.
例3：已知函数y Asin( x )( 0, 0)的图像
y=sinx
纵坐标不变
y=sinx
向左>0 (向右<0)
y
平移||/个单位
sin
(x
)
sin(
x
)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
例2：为了得到y sin x的图像，可由
函数y 3sin(2x )如何变换得到？
5
变式：函数y sin x可由y cos x如何变换得到
2
4
然后将图像上各点的纵坐标伸长到原来的6倍(横坐标不变)
得到函数y f ( x)的图像，求函数f ( x)的值域和单调区间
总结: y=sinx
y=Asin(x+)
方法1:(按 ,ω, A顺序变换)
向左>0 (向右<0)
y=sinx
y=sin(x+)
平移||个单位
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍
纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

高中同步新课标·数学
创新方案系列丛书 考点2 三角函数的图象变换
1 π 例 2：如何由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝ sin(2x＋ )的图象． 2 3
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1 本例中“y＝sin x”若变为“y＝ cos 2x” ，试写出变换过程． 2 1 1 π 1 π π 解：∵y＝ cos 2x＝ sin(2x＋ )＝ sin[2(x＋ )＋ ]， 2 2 2 2 12 3 1 π ∴由 y＝ cos 2x 的图象向右平移 个单位长度， 2 12 1 π 即可得 y＝ sin(2x＋ )的图象． 2 3
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3．下列命题正确的是( ) π 个单位长度得 y＝sin x 的图象 2 π 个单位长度得 y＝cos x 的图象 2 A．y＝cos x 的图象向右平移 B．y＝sin x 的图象向右平移
C． 当φ <0 时，y＝sin x 的图象向左平移|φ |个单位长度可得 y＝sin(x＋φ ) 的图象 D．y＝sin(2x＋ π π )的图象由 y＝sin 2x 的图象向左平移 个单位长度得到 3 3
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1．函数y＝Asin(ω x＋φ )的奇偶性如何？ 提示：当φ＝k π(k ∈Z)时，函数为奇函数；
π 当φ＝k π＋ (k ∈Z)时，函数为偶函数； 2 kπ 当φ≠ (k ∈Z)时，函数为非奇非偶函数． 2
1 1 π 2．函数 y＝－ sin(－ x＋ )的相位和初相分别是什么？ 2 2 3
(2)描点画图： 把 y＝2sin 简图． 2x ＋ π π 2x ＋ π 5π x∈[－ ， ]的图象向左、 右扩展， 即可得 y＝2sin 3， 3的 6 6

详细描述
幂函数可以与函数y=asin(ωx+φ)结合 ，形成复合函数。例如， y=asin(x^2+φ)可以描述一个随x变化 而振幅和相位同时变化的正弦函数。
与三角函数的综合应用
总结词
三角函数与函数y=asin(ωx+φ)可以相互转 化和化简，用于解决复杂的数学问题。
详细描述
三角函数与函数y=asin(ωx+φ)之间可以通 过三角恒等式进行转化和化简。例如， y=asin(sinx+φ)可以转化为y=asin(ωx+φ) ，其中ω是sinx的系数。这种转化和化简在 解决复杂的数学问题时非常有用。
此外，在工程、技术和其他领域中，函数y=asin(ωx+φ) 也经常被用来描述和分析各种实际问题的规律和性质。通 过深入了解函数y=asin(ωx+φ)，我们可以更好地理解和 解决日常生活中的各种问题。
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函数y=asin(ωx+φ) 与其他函数的综合应用与指数函源自、对数函数的综合应用总结词
指数函数和对数函数在函数 y=asin(ωx+φ)中可以作为参数出现，用 于描述函数的周期性和振幅。
VS
详细描述
在函数y=asin(ωx+φ)中，当ω为指数或 对数函数时，函数的周期性和振幅会发生 变化。例如，当ω=2^x时，函数的周期 会随x的增大而减小；当ω=log2x时，函 数的振幅会随x的增大而增大。
与幂函数的综合应用
总结词
幂函数可以与函数y=asin(ωx+φ)结 合，形成复合函数，用于描述更复杂 的数学问题。
伸缩变换
横坐标伸缩
当函数y=asin(ωx+φ)在横坐标方向上伸缩时，其周期和相位会发生变化。横坐 标缩短为原来的1/n时，周期变为原来的1/n，相位增加π/n；横坐标扩大为原来 的n倍时，周期变为原来的n倍，相位减小π/n。