压轴题 05
圆的综合
目 录
题型一
切线的判定
题型二 圆中求线段长度
题型三 圆中的最值问题
题型四 圆中的阴影部分面积
题型五 圆中的比值（相似）问题
题型解读：
圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高．多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①切线的判定；②计算线段长及证明线段比例关系；③求三角函数值；④利用“辅助圆”求最值.右图为圆的综合问题中各题型的考查热度. 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.
题型一 切线的判定
解题模板： 0%20%40%60%80%100%题型一题型二题型三题型四题型五圆的综合
技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行）
没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）
【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，AB为O的直径，如果圆上的点D恰使ADCB，求证：直线CD与O相切．
【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，CE平分ACB交O于点E，过点E作EFAB∥，交CA的延长线于点F．
求证：EF与O相切；
【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图，AB是O的直径，点CE，在O上，2CABEAB，点F在线段AB的延长线上，且AFEABC．
(1)求证：EF与O相切；
(2)若41sin5BFAFE，，求BC的长．
【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，AB为O的直径，E为O上一点，点C为EB的中点，过点C作CDAE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
1 / 14 代数几何综合题
Ⅰ、综合问题精讲：
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（，温州，12分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是BDC的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且BFAD，EM切⊙O于M。
⑴ △ADC∽△EBA;⑵ AC2＝12
BC·CE；
⑶如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值。
解:⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE，
∵BFAD，∴∠DCA＝∠BAE，
∴△CAD∽△AEB
⑵ 过A作AH⊥BC于H(如图)
∵A是BDC中点，∴HC＝HB＝12 BC，
∵∠CAE＝900，∴AC2＝CH·CE＝12 BC·CE
⑶∵A是BDC中点，AB＝2，∴AC＝AB＝2，
∵EM是⊙O的切线，∴EB·EC＝EM2 ①
∵AC2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ②
①＋②得：EC(EB＋BC)＝17，∴EC2＝17
∵EC2＝AC2＋AE2，∴AE＝17－22＝13
∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC，
∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝AEAC＝132
点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD转化为∠AEC就非常关键.
【例2】（，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90○。过C作CD⊥x轴，D为垂足．
（1）求点 A、B的坐标和AD的长；
2 / 14 （2）求过B、A、C三点的抛物线的解析式。
解：（1）在y=2x+2中
代数与几何综合题
类■©一 初点■©探究裁
1.如图①，已知RtA ABC中，ZC=90°, AC=8 cm, BC=6 cm,点F由B出发沿BA方 向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s. 以AQ. PQ为边作四边形AQPD,连接DQ,交AB于点E.设运动的时间为/(单位：s)(0
(1) 用含有t的代数式表示AE=—；
(2) 如图②，当/为何值时，四边形AQPD为菱形；
(3) 求运动过程中，四边形AQPD的面积的最大值.
解：(1)5—f；
【解法提示】I,在RtAABC中，ZC= 90°, AC=8 cm, BC=6 cm, A由勾股定理得：AB =10 cm, I.点F由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2 cm/s, :.BP=2t cm, :.AP =AB—BP=I0—2t, I.四边形 AQPD 为平行四边形，:.AE=^AP=5~t.
4/7 AT
(2)如解图①，当四边形AQPD是菱形时，QQ1AF,则COS/BAC=M=桥，
即*=希，解得，=令
25
当，=育时，四边形AQFZ)是菱形；
⑶如解图②，作PMLAC于设平行四边形AQPD的面积为S.
*：PM//BC,
:.AAPM^AABC,
.AP PM 10~2r PM
，，AB=BC,即 10 =-6~, 6 ]2 ] 2' 5 丫
S=AQ'PM=2，g(5~t)= 一+12t= — — I ^―— I +15(0
i o 5
v—<0,.•・当，时，S有最大值，最大值为15 cn?.
第1题解图
2.已知，在RtA ABC中，ZACB=90°, BC=AC, AB=6,。是AB的中点，动点E从点。 出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG,直线BG, FE相交于 点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②).
⑴在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为；
1 目 录
第一部分 数与代数
第一章 数与式
第1讲 实数
第2讲 代数式
第3讲 整式与分式
第1课时 整式
第2课时 因式分解
第3课时 分式
第4讲 二次根式
第二章 方程与不等式
第1讲 方程与方程组
第1课时 一元一次方程与二元一次方程组
第2课时 分式方程
第3课时 一元二次方程
第2讲 不等式与不等式组
第三章 函数
第1讲 函数与平面直角坐标系
第2讲 一次函数
第3讲 反比例函数
第4讲 二次函数
第二部分 空间与图形
第四章 三角形与四边形
第1讲 相交线和平行线
第2讲 三角形
第1课时 三角形
第2课时 等腰三角形与直角三角形
第3讲 四边形与多边形
第1课时 多边形与平行四边形
第2课时 特殊的平行四边形
第3课时 梯形
第五章 圆
第1讲 圆的基本性质
第2讲 与圆有关的位置关系
第3讲 与圆有关的计算
第六章 图形与变换
第1讲 图形的轴对称、平移与旋转
第2讲 视图与投影
第3讲 尺规作图
第4讲 图形的相似
第5讲 解直角三角形
第三部分 统计与概率
第七章 统计与概率
第1讲 统计
第2讲 概率 2
实数
易错清单
1. 用科学记数法表示较大或较小的数时指数n的确定.
【例1】 (湖北随州)2013年,我市以保障和改善民生为重点的“十件实事”全面完成,财政保障民生支出达74亿元,占公共财政预算支出的75%,数据74亿元用科学记数法表示为( ).
A. 74×108元 B. 7.4×108元
C. 7.4×109元 D. 0.74×1010元
【解析】 ①本题考查了科学记数法的相关知识.一些较大的数,可以用a×10n的形式来表示,其中1≤a<10,n是所表示的数的整数位数减1. ②a×10n中n所表示的数容易搞错.74亿元=7.4×109元.
【答案】 C
1. 实数的运算,要先弄清楚按怎样的顺序进行,要注意负指数幂、零次幂和三角函数等在算式中的出现.
