平面几何知识在解析几何中的运用
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2
・19・
高中数学教与学 2007 年
评注 该题的解答既可采用常规的坐标 法 , 又可如上采用圆锥曲线的几何性质 , 借助 平面几何的方法进行推理 , 但几何方法较之 解析法比较快捷 . 2001 年广东高考第 21 题对 椭圆性质的考查 , 用上面的方法也可以容易 证明 . 我们在复习解析几何时要对圆锥曲线 的几何性质引起重视 , 注意数形结合 , 尤其是 有关抛物线的一些性质用平几知识证明更为 方便 . 如 圆 锥曲 线 中的 一般 结 论 :
x y = 2 + 2 a b
2 2
足 AM = 2 A P, N P・ AM = 0的点 N 的轨迹为曲 线 E, 求曲线 E 的方程 . 解 ∵ AM = 2 A P, N P ・AM = 0, ∴N P 为 AM 的垂直平分线 ,
| NA | = | NM |.
例 4 已知椭圆 C 的方程为
・21・
x
2
5
+
y
2
4
= 1.
评注 过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲 线交于两点 , 若知道两焦半径之比 , 那么直线 的斜率与圆锥曲线的离心率两者知一可求其 另一 . 以上两例都把条件集中在焦点弦所在 的直角三角形中 , 再结合几何知识 , 给问题的 解决带来了一定的方便 , 特别是大大减少了 运算量 . 四、 综合应用
若在左准线 l上存在点 R, 使 & PQR 为正三角 形 , 则椭圆离心率 e的取值范围是
.
∴
m - 1 e m - n n = = 2 m +n m 2 - e +1 n
=1 1 ≤ 3
2
m +1 n e
∈
1 ,1 . 3
2
由
2 - e
2
< 1, ∴e ≥
1 , 5
5 ∴ ≤ e < 1. 5 5 又 e ∈ 0, 5 , ∴e = . 5 5
即
| BD | =
在 R t& AB E 中 , 设 ∠AB E = θ . ∵ tan θ =
1 - e,
2
例 6 设椭圆方程为
∴co sθ =
m - n e = , 2 m +n 2 - e
x y = 1(a > b 2 + 2 a b
2
2
1
> 0 ) , PQ 是过左焦点 F且与 x轴不垂直的弦 .
点为 F, 经过点 F 的直线交抛物线 于 A、 B 两点 , 点 C 例 9 设 θ为任意角 , 求证 : | sin θ | + | co sθ| ≥ 1, 并证明等号成立的条件 .
故 N 与 O 重合 , 得证 .
sin θ| + | cosθ| = 1. ∴ | sin θ| +| cosθ| ≥ 1 成立 , 当且仅当 θ =
1
| BF | =
例 3 过双曲线
x y = 1 ( a > 0, b > 2 2 a b
2
2
0 ) 的右焦点 F 作倾斜角为 60 ° 的直线交双曲
线于 A、 B 两点 , 若 A F = 5 FB , 则该双曲线的离 心率为
.
1
| AF |
+
2
ep
( p为焦点到相应准线的距离 ) 用
几何方法证明就比较简单有效 , 而用韦达定 理运算量比较大 , 有兴趣的读者不妨一试 . 二、 求轨迹方程 例 2 如图 2 所示 , 已知圆 C:
证明 作一单位圆 , 如图 1 所示 . 设单位 ) , 其中 θ 圆上任意一点 P ( co s θ , sin θ 为任意 角 , 点 P 在 x 轴 射 影 为 M , 则 | OM | = | co sθ| , | M P | = | sin θ | , 在 R t& OM P 中 , | M P | + | OM | > | O P | , 即 | sin θ | + | co sθ| > 1; 当 O P 与坐标轴重合 , 即 θ = π k ( k ∈ Z ) 时 , | M P | +| OM | = | O P | , 即 |
2 2 例 5 已知圆 C: ( x - 3 ) + ( y - 4 ) = 4,
假设存在点 R, 使 PQR 为正三角形 , 则由
| RM | =
3 | PQ | , 且 | MM ′ | < | RM | , 即得 2
1 3 3 | PQ | < | PQ | , ∴e > . 2e 2 3
所以答案为
・20・
第 2 期 高中数学教与学
C, 过 B 作 BD 垂直右准线于 D, 过 A 作 A E垂直 BD 于 E. 设 | A F | = n, | B F | = m , 则 m ≥ 2 n, m n ≥ 2, 由椭圆第二定义得 | AC | = , n e m m - n , | BE | = , | AB | = m + n. e e b = a = 6 (定值 ) .
3 . ,1 3
直线 l1 过定点 A ( 1, 0 ) . 若 l1 与圆相交于 P、 Q 两点 , 线段 PQ 的中点为 M , 又 l1 与 l2 : x + 2 y +
2 = 0 的交点为 N , 求证 : AM ・AN 为定值 .
简证 如图 5所示 , & AM C ∽ & ABN , 则
( x + 1)
2
解 如图 3, 过 A 作 AC 垂直右准线于 C, 过 B 作 BD 垂直右准线于 D, 过 B 作 B E垂直 AC 于 E. 设 | B F | = m , 则 | A F | = 5m , 由双曲线 第二定义得 | AC | =
=
5m
e
, | BD | =
m , | AE | e
+ y
2
=
4m
e
, | AB | = 6m.
8 , 定 点 A ( 1, 0 ) ,
M 为圆上一动点 ,
在 R t& AB E 中 , ∠BA E = 60 ° , cos 60 °=
4m
e ,∴
点 P 在 AM 上 , 点
N 在 CM 上 , 且满
6m
1 4 4 = , ∴e = . 2 6e 3
1 ( a > b > 0 ) , 经过椭圆 C 的右焦点 F 作斜率
为
b 的直线 l, 设直线 l 与椭圆相交于 A ( x1 , a
又 ∵ | CN | +| NM | = 2 2, ∴ | CN | +| AN | = 2 2 > 2. ∴动点 N 的轨迹是以点 C ( - 1, 0 ) , A ( 1,
π k
2
( k ∈ Z ) 时 , 等号成
立. 评析 构造一个单位圆 , 使问题转化到 一个斜边长为 1 的直角三角形中 , 再根据三角 形相关知识 , 问题便得到了解决 . 总之 , 解三角问题不仅仅限于上面介绍 的几种技巧 , 随着同学们在做题和参考一些 书籍过程中 , 将会发现更多的解法技巧 . 本人 认为 , 解三角问题关键是在熟练地掌握 、 理 解、 运用三角函数的图象 、 性质及其诱导公 式 , 恒等变换式的基础上 , 根据具体题目 , 深 挖隐含条件 , 特别要注意与其它相关数学知 识的联系 , 进而使思维开阔 , 面对各种题目 , 胸有成竹 , 游刃有余 .
第 2 期 高中数学教与学
平面几何知识在解析几何中的运用
袁如标
(江苏省前黄高级中学 , 213161 )
解析几何问题是高考的热点之一 , 其中 的许多问题 , 若借助平面几何知识 , 则会给问 题的解决带来很大的方便 . 我们平常接触比 较多的是用平面几何知识结合圆锥曲线的第 一、 第二定义来求一类最值问题 . 除了这方面 的运用 , 平面几何知识在解析几何中的运用 还有以下几个方面 . 一、 证明圆锥曲线的几何性质 例 1 ( 2001 年全 国 高 考 题 ) 设抛物线 y
| NF | | AF | = , | BC | | AB |
由抛物线的定义可知
| A F | = | AD | , | B F | = | B C | , | AD |・ | BF | | AB | | A F |・ | BC | = | N F |. | AB |
=
∴ | EN | =
=
2 px ( p > 0 ) 的焦
AM AC 3 = , 可得 AM ・ AN = AC・ AB = 2 5・ AB AN 5
评注 以上两例都充分挖掘题目中的几 何条件 , 然后再结合平几知识 , 把复杂问题简 单化 . 如例 5利用 & AM C∽ & ABN , 把 AM ・ AN 转化成 AC ・AB , 例 6 利用正三角形的高与边 长的关系及直角三角形中斜边大于直角边建 立关于 e的不等式 .
0 ) 为焦点的椭圆 . 且椭圆长轴长为 2 a = 2 2,
y1 ) , B ( x2 , y2 ) 两点 , 其中 x1 > x2. 问同时满
足 : ①右焦点 F到右准线距离为 4; ②离心率 e ∈ 0, 5 ; ③ | B F | ≥ 2 | A F | 的椭圆 C 是否
5
存在 ?若存在 , 求出椭圆方程 ; 若不存在 , 请说 明理由 .
解 如图 6, 设弦 PQ 的中点为 M , 过点 P、 M、 Q 分别作准线 l 的垂线 , 垂足分别为 P ′ 、 M′ 、 Q′ ,则
| MM ′ | = = =
1 ( | PP ′ | +| QQ ′ |) 2 1 ( | PF | +| Q F | ) 2e 1 | PQ |. 2e
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高中数学教与学 2007 年
评注 该题的解答既可采用常规的坐标 法 , 又可如上采用圆锥曲线的几何性质 , 借助 平面几何的方法进行推理 , 但几何方法较之 解析法比较快捷 . 2001 年广东高考第 21 题对 椭圆性质的考查 , 用上面的方法也可以容易 证明 . 我们在复习解析几何时要对圆锥曲线 的几何性质引起重视 , 注意数形结合 , 尤其是 有关抛物线的一些性质用平几知识证明更为 方便 . 如 圆 锥曲 线 中的 一般 结 论 :
x y = 2 + 2 a b
2 2
足 AM = 2 A P, N P・ AM = 0的点 N 的轨迹为曲 线 E, 求曲线 E 的方程 . 解 ∵ AM = 2 A P, N P ・AM = 0, ∴N P 为 AM 的垂直平分线 ,
| NA | = | NM |.
例 4 已知椭圆 C 的方程为
・21・
x
2
5
+
y
2
4
= 1.
评注 过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲 线交于两点 , 若知道两焦半径之比 , 那么直线 的斜率与圆锥曲线的离心率两者知一可求其 另一 . 以上两例都把条件集中在焦点弦所在 的直角三角形中 , 再结合几何知识 , 给问题的 解决带来了一定的方便 , 特别是大大减少了 运算量 . 四、 综合应用
若在左准线 l上存在点 R, 使 & PQR 为正三角 形 , 则椭圆离心率 e的取值范围是
.
∴
m - 1 e m - n n = = 2 m +n m 2 - e +1 n
=1 1 ≤ 3
2
m +1 n e
∈
1 ,1 . 3
2
由
2 - e
2
< 1, ∴e ≥
1 , 5
5 ∴ ≤ e < 1. 5 5 又 e ∈ 0, 5 , ∴e = . 5 5
即
| BD | =
在 R t& AB E 中 , 设 ∠AB E = θ . ∵ tan θ =
1 - e,
2
例 6 设椭圆方程为
∴co sθ =
m - n e = , 2 m +n 2 - e
x y = 1(a > b 2 + 2 a b
2
2
1
> 0 ) , PQ 是过左焦点 F且与 x轴不垂直的弦 .
点为 F, 经过点 F 的直线交抛物线 于 A、 B 两点 , 点 C 例 9 设 θ为任意角 , 求证 : | sin θ | + | co sθ| ≥ 1, 并证明等号成立的条件 .
故 N 与 O 重合 , 得证 .
sin θ| + | cosθ| = 1. ∴ | sin θ| +| cosθ| ≥ 1 成立 , 当且仅当 θ =
1
| BF | =
例 3 过双曲线
x y = 1 ( a > 0, b > 2 2 a b
2
2
0 ) 的右焦点 F 作倾斜角为 60 ° 的直线交双曲
线于 A、 B 两点 , 若 A F = 5 FB , 则该双曲线的离 心率为
.
1
| AF |
+
2
ep
( p为焦点到相应准线的距离 ) 用
几何方法证明就比较简单有效 , 而用韦达定 理运算量比较大 , 有兴趣的读者不妨一试 . 二、 求轨迹方程 例 2 如图 2 所示 , 已知圆 C:
证明 作一单位圆 , 如图 1 所示 . 设单位 ) , 其中 θ 圆上任意一点 P ( co s θ , sin θ 为任意 角 , 点 P 在 x 轴 射 影 为 M , 则 | OM | = | co sθ| , | M P | = | sin θ | , 在 R t& OM P 中 , | M P | + | OM | > | O P | , 即 | sin θ | + | co sθ| > 1; 当 O P 与坐标轴重合 , 即 θ = π k ( k ∈ Z ) 时 , | M P | +| OM | = | O P | , 即 |
2 2 例 5 已知圆 C: ( x - 3 ) + ( y - 4 ) = 4,
假设存在点 R, 使 PQR 为正三角形 , 则由
| RM | =
3 | PQ | , 且 | MM ′ | < | RM | , 即得 2
1 3 3 | PQ | < | PQ | , ∴e > . 2e 2 3
所以答案为
・20・
第 2 期 高中数学教与学
C, 过 B 作 BD 垂直右准线于 D, 过 A 作 A E垂直 BD 于 E. 设 | A F | = n, | B F | = m , 则 m ≥ 2 n, m n ≥ 2, 由椭圆第二定义得 | AC | = , n e m m - n , | BE | = , | AB | = m + n. e e b = a = 6 (定值 ) .
3 . ,1 3
直线 l1 过定点 A ( 1, 0 ) . 若 l1 与圆相交于 P、 Q 两点 , 线段 PQ 的中点为 M , 又 l1 与 l2 : x + 2 y +
2 = 0 的交点为 N , 求证 : AM ・AN 为定值 .
简证 如图 5所示 , & AM C ∽ & ABN , 则
( x + 1)
2
解 如图 3, 过 A 作 AC 垂直右准线于 C, 过 B 作 BD 垂直右准线于 D, 过 B 作 B E垂直 AC 于 E. 设 | B F | = m , 则 | A F | = 5m , 由双曲线 第二定义得 | AC | =
=
5m
e
, | BD | =
m , | AE | e
+ y
2
=
4m
e
, | AB | = 6m.
8 , 定 点 A ( 1, 0 ) ,
M 为圆上一动点 ,
在 R t& AB E 中 , ∠BA E = 60 ° , cos 60 °=
4m
e ,∴
点 P 在 AM 上 , 点
N 在 CM 上 , 且满
6m
1 4 4 = , ∴e = . 2 6e 3
1 ( a > b > 0 ) , 经过椭圆 C 的右焦点 F 作斜率
为
b 的直线 l, 设直线 l 与椭圆相交于 A ( x1 , a
又 ∵ | CN | +| NM | = 2 2, ∴ | CN | +| AN | = 2 2 > 2. ∴动点 N 的轨迹是以点 C ( - 1, 0 ) , A ( 1,
π k
2
( k ∈ Z ) 时 , 等号成
立. 评析 构造一个单位圆 , 使问题转化到 一个斜边长为 1 的直角三角形中 , 再根据三角 形相关知识 , 问题便得到了解决 . 总之 , 解三角问题不仅仅限于上面介绍 的几种技巧 , 随着同学们在做题和参考一些 书籍过程中 , 将会发现更多的解法技巧 . 本人 认为 , 解三角问题关键是在熟练地掌握 、 理 解、 运用三角函数的图象 、 性质及其诱导公 式 , 恒等变换式的基础上 , 根据具体题目 , 深 挖隐含条件 , 特别要注意与其它相关数学知 识的联系 , 进而使思维开阔 , 面对各种题目 , 胸有成竹 , 游刃有余 .
第 2 期 高中数学教与学
平面几何知识在解析几何中的运用
袁如标
(江苏省前黄高级中学 , 213161 )
解析几何问题是高考的热点之一 , 其中 的许多问题 , 若借助平面几何知识 , 则会给问 题的解决带来很大的方便 . 我们平常接触比 较多的是用平面几何知识结合圆锥曲线的第 一、 第二定义来求一类最值问题 . 除了这方面 的运用 , 平面几何知识在解析几何中的运用 还有以下几个方面 . 一、 证明圆锥曲线的几何性质 例 1 ( 2001 年全 国 高 考 题 ) 设抛物线 y
| NF | | AF | = , | BC | | AB |
由抛物线的定义可知
| A F | = | AD | , | B F | = | B C | , | AD |・ | BF | | AB | | A F |・ | BC | = | N F |. | AB |
=
∴ | EN | =
=
2 px ( p > 0 ) 的焦
AM AC 3 = , 可得 AM ・ AN = AC・ AB = 2 5・ AB AN 5
评注 以上两例都充分挖掘题目中的几 何条件 , 然后再结合平几知识 , 把复杂问题简 单化 . 如例 5利用 & AM C∽ & ABN , 把 AM ・ AN 转化成 AC ・AB , 例 6 利用正三角形的高与边 长的关系及直角三角形中斜边大于直角边建 立关于 e的不等式 .
0 ) 为焦点的椭圆 . 且椭圆长轴长为 2 a = 2 2,
y1 ) , B ( x2 , y2 ) 两点 , 其中 x1 > x2. 问同时满
足 : ①右焦点 F到右准线距离为 4; ②离心率 e ∈ 0, 5 ; ③ | B F | ≥ 2 | A F | 的椭圆 C 是否
5
存在 ?若存在 , 求出椭圆方程 ; 若不存在 , 请说 明理由 .
解 如图 6, 设弦 PQ 的中点为 M , 过点 P、 M、 Q 分别作准线 l 的垂线 , 垂足分别为 P ′ 、 M′ 、 Q′ ,则
| MM ′ | = = =
1 ( | PP ′ | +| QQ ′ |) 2 1 ( | PF | +| Q F | ) 2e 1 | PQ |. 2e
