第三章圆的性质(5-6节)圆的有关计算讲义

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课 题 第三章圆的性质（5-6节)圆的有关计算

教学目标

能够运用弧长、扇形面积公式进行有关计算

重点、难点

灵活公式进行有关计算

考点及考试要求

教学内容

一、知识梳理：

1. 圆周长：r2C

圆面积：2rS

2. 圆的面积C与半径R之间存在关系R2C，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2。

n°的圆心角所对的弧长是180Rn

180Rnl P120

*这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。

3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。

4. 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2RS，所以圆心角为n°的扇形面积是：

R21360RnS2l扇形（n也是1°的倍数，无单位）

5. 圆锥的概念

观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，精品文档

。 2欢迎下载 如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。

如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。

锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。

母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P122

6. 圆锥的性质

由图可得

（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；

（2）圆锥的母线长都相等

7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算

圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。

圆锥侧面积是扇形面积。

如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系：

180ncl

同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：

llrc21S圆侧面

圆锥的全面积为：2rrl

圆柱侧面积：rh2。 精品文档

。 3欢迎下载 8、阴影部分的面积：1)规则图形：按规则图形的面积公式去求；2）不按规则图形：采取“转化”的数学思想方法，把不规则图形的面积采取“割补法”“等积变形法”“平移法”“旋转法”等转化为规则图形面积。

二、典例剖析：

例：1、在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为cm80，那么⊙O的半径为___________cm。

答案：120

解：由弧长公式：180Rnl得：

cm12012080180n180Rl

例：2、若扇形的圆心角为120°，弧长为cm10，则扇形半径为_____________，扇形面积为____________________。

答案：15；25π

例：3、如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________。

答案：90°

例4：已知扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为____________cm。

答案：7

例5：两个同心圆被两条半径截得的10AB，6CD，又AC=12，求阴影部分面积。

解：设OC=r，则OA=r+12，∠O=n°

10180)12r(nABl

6180rnCDl

18r60n

∴OC=18，OA=OC+AC=30

CODAOBSSS扇扇阴

OC21OA21CDABll

18621301021

96

例6：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。 精品文档

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解：∵正方形边长为a

∴2aS正，222a81)2a(21R21S半圆

两个空白处半圆正方形SS2S

2222a41aa812aS两个空白处

222a21a2S2S个空白四个空白处

22222aa21)a21a2(aSSS四个空白处正阴

∴叶的总面积为22aa21

*也可看作四个半圆面积减去正方形面积

2222aa21a)2a(214SS4S正半阴

例7：已知AB、CD为⊙O的两条弦，如果AB=8，CD=6，AB的度数与CD的度数的和为180°，那么圆中的阴影部分的总面积为？

解：将弓形CD旋转至B，使D、B重合

如图，C点处于E点

ABE的度数为180°

∴AE是⊙O的直径

∴∠ABE=90°

又∵AB=8，BE=CD=6

由勾股定理1068AE22

∴半径51021OA

242256821521SSS2ABE半圆阴 精品文档

。 5欢迎下载 例8：在△AOB中，∠O=90°，OA=OB=4cm，以O为圆心，OA为半径画AB，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。

解：∵OA=4cm，∠O=90°

∴cm4360490S2AOB扇形

cm24AB

)cm(8S2AOB，)cm(42)22(S22半圆

)cm)(84(SSS2AOBAOBAmB扇形弓形

则阴影部分的面积为：

)cm(8)84(4SSS2AmB弓形半圆阴影

例9：①、②……○m是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……

（1）图①中3条弧的弧长的和为_________________

图②中4条弧的弧长的和为_________________

（2）求图○m中n条弧的弧长的和（用n表示）

解：（1）π，2π

（2）解法1：

∵n边形内角和为：（n－2）180°

前n条弧的弧长的和为：)2n(21360180)2n(个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长

∴n条弧的弧长的和为：)2n()2n(2112

解法2：设各个扇形的圆心角依次为n21,,,

则180)2n(n21 精品文档

。 6欢迎下载 ∴n条弧长的和为：

118011801180n21

)2n(180)2n(180)(180n21

例10：如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m，把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处，那么AC边扫过的图形（阴影部分）的面积为？

分析：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=6

60CBA,3AB21BC

33BCABAC22

法一：23933321'C'A'BC21SB'C'A

123606120360rnS22BA'A扇

33603120S2BC'C扇形

9SSSSSACBBC'CB'C'ABA'A扇扇阴影

法二：以B为圆心，BC为半径画弧

交A'B于D，AB于D'

有ACBB'C'ASS，'CBDBD'CSS扇扇 精品文档

。 7欢迎下载 931236031203606120SSS22BD'D'ABA扇扇阴

例11：如图，已知Rt△ABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？

解：)cm(12513BC22

以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：

)cm(300131212SSS22侧底表

以直线AB为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。

1252113CD21

1360CD

ACCDBCCDSSS下上 精品文档

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13102017136051360121360

例12：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为______________。

答案：6

例13：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_______。

答案：2π

例14：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______。

答案：160°

例15：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是__________。

答案：180°

例16：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm。

（1）画出它的展开图；

（2）计算这个展开图的圆心角及面积。

解：（1）烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图）

（2）设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为α，则l=50cm，cm80c

lc180

180cl5080180=288（度）