浙教版九年级上 第3章圆的基本性质 复习提纲教案

九年级数学上第三章《3.1圆》浙教版激趣引入请你说一说日常生活中还有哪些物体给我们以圆的印象？一、教学过程（一）主要概念（二）探究活动量一量、议一议：（1）利用圆规画一个⊙O，使⊙O的半径r=3cm.（2）在平面内任意取一点P，点与圆有哪几种位置关系？(3) 分别在圆内、圆上、圆外各取一个点，量出这些点到圆心的距离，并比较它们与圆半径的大小 .你能得到什么结论?（三）、点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。

若点在圆上 d r若点在圆内 d r若点在圆外 d r（四）新知应用1、已知⊙O的面积为25π。

（1）若PO=5.5，则点P在；（2）若PO=4，则点P在；（3）若PO= ，则点P在圆上2、正方形ABCD的边长为3cm，以Ａ为圆心，３cm长为半径作⊙Ａ，点Ｂ在⊙Ａ，点Ｃ在⊙Ａ，点Ｄ在⊙Ａ。

C（五）典型例题例1 如图所示，在A地正北80m的Ｂ处有一幢民房，正西100m的C处有一变电设施，在BC的中点D处是一古建筑。

因施工需要，必须在A处进行一次爆破。

为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？二、课后练习1、填空（1）已知圆上有3个点，以其中每两个点为端点的弧共有（2）在半径是5cm的圆O内有一条弦AB，90∠=︒，则AB＝AOB（3）两个同心圆的圆心为O，半径分别是3和5，点P在小圆外，但在大圆内，那么OP的取值范围是（4）在ABC∠=︒，以点A为圆心，AB为半径画⊙A，ACB∆中，90那么点C 与⊙A的位置关系是2、在直角三角形ABC中，∠C=Rt∠，AC=3cm，AB=5cm。

若以点C 为圆心，画一个半径为3cm的圆，试判断点A，点B和⊙C的相互位置关系。

2、如图，在A岛附近，半径约250km的范围内是一暗礁区，往北300km有一灯塔Ｂ，往西400km有一灯塔C。

现有一渔船沿CB航行，问渔船会进入暗礁区吗？。

浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质教材分析教案“第章圆的基本性质”教材分析圆属于空间与图形这部分内容，在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方3.13.23.33.43.5弧长及扇形的面积课时3.6圆锥的侧面积和全面积课时复习、评估课时，机动使用课时，合计课时一、教科书内容和课程教学目标⑴本章知识结构框图如下：“垂经定理”；借助于圆的旋转不变性去探索圆中弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系．而且由对称性可以尝试用其他的方法来验证有关的结论．在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系(即圆周角定理)，让学生形成分类讨论的思想．弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是让学生去进行探索、类比、归纳．弧长的公式是类比圆的周长公式而归纳得出，扇形的面积公式是类比圆的面积公式而得；圆锥的侧面积是通过其侧面展开图是一个扇形，而由扇形的计算公式而得出的．因此，“弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积”这两节不仅仅要求学生会计算，而且应该使他们理解公式的意义，理解算法的意义．二、本章编写特点⑴体现数学来源于生活，展示丰富多彩的几何世界人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材．其中包含了大量与圆有关的现实物体、现实问题等内容，反映数学在建筑、机械、艺术等方面的广泛应用，体现数学丰富的文化价值的内容，既可以很好地⑵的条件，它不仅仅是一个画圆的问题，而是使学生体会到在画圆中所体现的归纳的思想．②通过折纸，让学生探索圆的对称性，并在此基础上，让学生再通过折纸探索出圆的有关性质（垂径定理）等有关内容．③利用圆的旋转不变性探索圆中弧、弦、圆心角之间的关系．而在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系．④利用“合作学习”“做一做”等让学生自己探索有关的结论，比如通过学生自己合作，把圆锥沿母线剪开、铺平，并探索出圆锥侧面积和全面积的计算公式等等．整个设计意图，不仅在于引导学生观察和自觉分析生活现实和数学现实中的圆的现象，自觉总结圆的有关性质并自觉地应用到现实之中，逐步形成正确的数学观，并通过圆进一步丰富学生的数学活动经验和体验，在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展．从而进一步培养学生探究习惯、把握和研究“空间与图形”的水平．⑶转换学习方式，强调学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图方式”衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”的内容、要求，了解它们与这一部分内容的联系与区别．⑵在教学中要注意如下几点：①要使学生从事观察、测量、折叠、平移、旋转、推理等活动，帮助他们有意识地积累活动经验，获得成功的体验．教学中，应鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的合作交流．②充分利用现实生活和数学中的素材，使学生探索与圆有关的概念和性质．尽可能地设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．③本章的一个特点是由圆的旋转不变性、轴对称性导出圆的有关性质（如圆心角定理、垂径定理等），体现了利用运动观点来研究图形的思想和方法．也让学生通过本章的学习，体验用运动观点来研究图形的思想和方法．因此，在圆的对称性、圆周角与圆心角的关系等内容中，要有意识地满足学生多样化的学习要求．④在观察、探究和推理活动中，使学生有意识地归纳数学思想方法，发展学生的有条理地思考，并能清晰地表达自己的发现．教学中，教师一方面应充分运用好课本已提⑤⑥⑦)。

第三章圆复习（第2课时）教学目标(一)教学知识点1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．2．了解切线的概念，切线的性质及判定．3．会过圆上一点画圆的切线．(二)能力训练要求1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．3．通过画圆的切线，训练学生的作图能力．4．平行投影与中心投影5．三视图的画法6．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力．(三)情感与价值观要求1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．教学重点1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．教学难点探索各种位置关系及切线的性质．教学方法学生自己交流总结法．教具准备投影片五张：教学过程Ⅰ．回顾本章内容[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．Ⅱ．具体内容巩固一、确定圆的条件[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．经过两点也可以作无数个圆．设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B 的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．经过在同一直线上的三点不能作圆．经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB 的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个．[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．例题讲解(投影片A)矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？[师]请大家互相交流．[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD．∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半．∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．二、三种位置关系[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．1．点和圆的位置关系[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．[师]总结得不错，下面看具体的例子．(投影片B)1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3 m．在直线l上有P、Q、R 三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径．[生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中，∵OD＝3，PD＝4，∴OP5＝r．所以点P在圆上．同理可知OR5，OQ5．所以点R在圆内，点Q在圆外．2．如图(2)，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是各边的中点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形，又由于E、F、G、H分别是各直角三角形斜边上的中点，所以OE、OF、OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有OE＝12AB，OF＝12BC，OG＝12CD，OH＝12AD，而AB＝BC＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝OH．即各中点E、F、G、H到对角线的交点O的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上．2．直线和圆的位置关系[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．当d＜r时，直线和圆相交；当d＝r时，直线和圆相切；当d＞r时，直线和圆相离．[师]很好，下面我们做一个练习．(投影片C)如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4．又因为⊙A的半径为4，∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径．∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．[师]下面我们看它们的应用．(投影片D)1．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，求AD的长．2．如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠B，你认为AE与⊙O相切吗？为什么？分析：1．由⊙O与AC相切可知OE⊥AC，又∠C＝90°，所以△AOE∽△ABC，则对应边成比例，OA OEBA BC=．求出半径和OA后，由OA－OD＝AD，就求出了AD．2．根据切线的判定，要求AE与⊙O相切，需求∠BAE＝90°，由AB为⊙O的直径得∠ACB＝90°，则∠BAC＋∠B＝90°，所以∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°．[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤．[生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴由勾股定理得AB＝15．∵⊙O切AC于点E，连接OE，∴OE⊥AC．∴OE∥BC．∴△OAE∽△BAC．∴OA OEAB BC=，即AB OE OEAB BC-=．∴15159OE OE-=．∴OE＝458∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－458×2＝154．2．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠CAB＋∠B＝90°．∴∠CAE＝∠B，∴∠CAB＋∠CAE＝90°，即BA⊥AE．∵BA为⊙O的直径，∴AE与⊙O相切．3．圆和圆的位置关系[师]还是请大家先总结内容，再进行练习．[生]圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．[师]那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？[生]判断圆和圆的位置关系；是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来判断．当两个圆没有公共点时有两种情况，即外离和内含两种位置关系．当每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外离；当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含．当两个圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，当除公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外切；当除公共点外，其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内切．两个圆有两个公共点时，一个圆上的点有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆的外部时是相交．两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交．[师]只有这一种判定方法吗？[生]还有用圆心距d和两圆的半径R、r之间的关系能判断外切和内切两种位置关系，当d＝R＋r时是外切，当d＝R－r(R＞r)时是内切．[师]下面我们还可以用d与R，r的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系，大家分别画出外离、内含和相交这三种位置关系．探索它们之间的关系，它们的关系可能是存在相等关系，也有可能是存在不等关系．(让学生探索)大家得出结论了吗？是不是这样的．当d＞R＋r时，两圆外离；当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交；当d＜R－r(R＞r)时，两圆内含．(投影片E)设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？①R＝6cm，r＝3cm，d＝4cm；②R＝6cm，r＝3cm，d＝0；③R＝3cm，r＝7cm，d＝4cm；④R＝1cm，r＝6cm，d＝7cm；⑤R＝6cm，r＝3cm，d＝10cm；⑥R＝5cm，r＝3cm，d＝3cm；⑦R＝3cm，r＝5cm，d＝1cm．[生](1)∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交；(2)∵d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含；(3)∵d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切；(4)∵d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切；(5)∵d＞R＋r，∴两圆的位置关系是外离；(6)∵R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交；(7)∵d＜r－R，∴两圆的位置关系是内含．三、有关外接圆和内切圆的定义及画法[生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆心，以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆．四、平行投影与中心投影五、三视图的画法与要求Ⅲ．课堂练习1．画三个半径分别为2cm、2.5cm、4cm的圆，使它他们两两外切．2．两个同心圆中，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E，则DE与BC的位置关系怎样？DE与BC之间有怎样的数量关系？(DE 12 BC)Ⅳ．课时小结本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角形的外接圆和内切圆．Ⅴ．课后作业复习题 B组、C组Ⅵ．活动与探究如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，求图中阴影部分的面积．分析：根据图形，阴影部分的面积等于三角形ABC的面积与⊙O的面积差，由勾股定理可求出直角边BC的长度，则能求出S△ABC，要求圆的面积，则需求⊙O的半径OD或OE、OF．连接OA、OB、OC，则把△ABC分成三个三角形，即△OAB，△OBC、△OCA，则有S△ABC＝S△OAB＋S △OBC＋S△OCA，从中可求出半径．解：如图连接OA、OB、OC，则△ABC分成三个三角形，△OAB、△OBC、△OCA，OE、OF、OD分别是三角形各边上过切点的半径．∴S△OAB＝12AB·OF，S△OBC＝12BC·OD，S△OCA＝12CA·OE．∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA，∴12AC·BC＝12AB·OF＋12BC·OD＋12CA·OE．∵OD＝OE＝OF，∴AC·BC＝(AB＋BC＋CA)·OD．在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝12，由勾股定理得BC＝5．∴12×5＝(12＋13＋5)·OD．∴OD＝2．∴S阴影＝S△ABC－S⊙O＝12×12×5－π·22＝30－4π．。

2018-2019学年浙教版九年级上册期末复习-圆的基本性质教案一、教学目标1.了解圆的定义，能够正确使用圆的相关术语。

2.掌握圆心角、圆周角的概念及计算方法。

3.理解切线和弦的概念以及切线定理。

4.能够应用所学知识解决与圆有关的问题。

二、教学重点1.圆心角、圆周角的概念及计算方法。

2.切线和弦的概念以及切线定理的应用。

三、教学内容1. 圆的定义与相关术语•圆：由平面上所有到定点的距离等于定长的点构成的图形。

•圆心：圆上所有点到圆心的距离相等。

•半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，长度为r。

•直径：连接圆上两点并经过圆心的线段，长度为d=2r。

•弧：在圆上，两个点间的部分。

•弦：在圆上，两个点间的线段。

•弦长：弦的长度。

2. 圆心角与圆周角•圆心角：以圆心为顶点，所对圆上弧的角。

•圆心角的度数：以半径为半径的圆心角度数为1度。

•圆心角的弧度：以半径为半径的圆心角弧度为1弧度。

•圆周角：以圆上两点为端点的角，所对圆弧为整个圆。

3. 圆周角的计算方法•如果知道圆上弧所对的圆心角度数，则圆周角的弧度等于弧度。

•如果知道圆上弧所对的圆心角弧度，则圆周角的度数等于度。

4. 切线和弦•切线：与圆相切且只与圆有一个交点的直线。

•弦：圆上两点的线段。

5. 切线定理•定理一：一条直线与一个圆相切，那么这条直线的切点与圆心之间的连线垂直于直线。

•定理二：一条直线与一个圆相切，那么这条直线的切点与圆心之间的连线是这条直线的垂线。

•定理三：两条切线的切点若在圆上，则这两条切线互相垂直。

四、教学过程1. 引入教师将一只圆盘放在黑板上，然后问学生：你们知道这是一种什么特殊的图形吗？请回答。

2. 学习圆的定义与相关术语教师出示圆的定义并解释，然后带领学生一起说出相关术语的名称及定义。

3. 学习圆心角与圆周角教师出示圆心角与圆周角的定义，展示示例并讲解计算方法。

4. 学习切线和弦教师出示切线和弦的定义，展示示例并讲解。

5. 学习切线定理教师出示切线定理的三个定理，并讲解每个定理的含义与应用。

第三章 圆的基本性质 （复习课）教学目标:熟悉本章所有的定理。

教学重点：圆中有关的定理教学难点: 圆中有关的定理的应用教学方法：谈话法教学辅助：多媒体教学过程：1、 圆的定义有关概念圆的基本性质圆心、半径、直径弧、弦、弦心距等圆、同心圆圆心角、圆周角三角形外接圆、圆的内接三角形、四边形的外接圆、圆的内接四边形点和圆的位置关系不在同一直线上的三点确定一个圆圆的中心对称性和旋转不变性圆的轴对称性垂径定理圆心角定理圆周角定理圆内接四边形的性质2、在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。

固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，以点O 为圆心的圆，记作☉O ，读作“圆O3、篮球是圆吗？– 圆必须在一个平面内• 以3cm 为半径画圆，能画多少个？• 以点O 为圆心画圆，能画多少个？• 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？– 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置• 圆是“圆周”还是“圆面”？– 圆是一条封闭曲线• 圆周上的点与圆心有什么关系？4、点与圆的位置关系• 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

• 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。

• 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。

• 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？5、圆的有关性质思考：确定一条直线的条件是什么？类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？讨论：经过一个点，能作出多少个圆？经过两个点，如何作圆，能作多少个？经过三个点，如何作圆，能作多少个？6、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

7、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

• 如图，P 为⊙O 的弦BA 延长线上一点，PA ＝AB ＝2，PO ＝5，求⊙O 的半径。

关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。

期末复习三 圆的基本性质点与圆的位置关系例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CP ，CM 分别是AB 上的高和中线，如果圆A 是以点A 为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是( )A ．点P ，M 均在圆A 内B ．点P ，M 均在圆A 外C ．点P 在圆A 内，点M 在圆A 外D ．点P 在圆A 外，点M 在圆A 内反思：点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小作出判断．圆的轴对称性(垂径定理)例2 (1)(南充中考)如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位：mm )，直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是________mm .(2) (南宁中考)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN ＝1，则△PMN 周长的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7反思：(1)在已知直径与弦垂直的问题中，常连结半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，进而运用勾股定理来计算．注意方程思想的运用． (2)圆有轴对称性，每一条直径所在的直线都是对称轴．为此在解决有关最短线路问题时，常常利用图中的对称点．图形的旋转例3 (德州中考)如图，在△ABC 中，∠CAB ＝65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB ，则旋转角的度数为( )A ．35°B ．40°C ．50°D ．65°反思：准确识图，运用旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质是解题的关键．圆的内接多边形例4 (1)将一个边长为1的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于________．(结果保留根号)(2)(广西中考)一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是( )A ．5∶4B ．5∶2C .5∶2D .5∶ 2 反思：(1)利用正多边形和圆、矩形的性质，构造直角三角形是解题的关键． (2)解此题的关键是求出扇形和圆的面积．圆心角、圆周角与弧度数之间的关系例5 (1)(绍兴中考)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E.则∠DOE 的度数为________．(3) (湖州中考)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC.以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D.若∠BAC ＝40°，则AD ︵的度数是________度．反思：圆心角的度数＝它所对弧的度数，圆周角的度数＝它所对弧度数的一半．弧长及其图形面积的计算例5 (1)如图，扇形AOB 中，∠AOB ＝150°，AC ＝AO ＝6，D 为AC 的中点，当弦AC 沿扇形运动时，点D 所经过的路程为( )A ．3πB .3πC .332π D ．4π (2) (丽水中考)如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，AC ＝2，则图中阴影部分的面积是( )A .4π3－ 3B .4π3－2 3C .2π3－ 3D .2π3－32反思：(1)解决本题的关键是根据题意确定点运动的路径是什么，再准确找出或计算出圆弧所对应的圆心角和半径． (2)S 弓形＝S 扇形±S △，求不规则图形的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差．1．在一个三角形中，已知AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，D 是BC 的中点，以D 为圆心作一个半径为5 cm 的圆，则下列说法正确的是( )A ．点A 在⊙D 外B ．点B 在⊙D 上C ．点C 在⊙D 内 D ．无法确定2．(珠海中考)如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，若∠C ＝25°，则∠BOD 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°第2题图3.(宁波中考)如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠BCO 的度数为( )第3题图A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°4．(巴中中考)如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为( )A ．25°B ．50°C ．60°D ．30°第4题图5.(成都中考)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC ︵的长分别为( )第5题图A ．2，π3B ．23，πC .3，2π3D ．23，4π36．如图，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角尺ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合；将三角尺ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设∠POF ＝x °，则x 的取值范围是( )A ．60≤x ≤120B ．30≤x ≤60C ．30≤x ≤90D ．30≤x ≤120第6题图7．(桂林中考)如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连结AD ，则图中阴影部分面积为________．第7题图8．(安徽中考)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，⊙O 的半径为9，AB ︵的长为2π，则∠ACB的大小是____．第8题图9．(泰州中考)如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A ＝115°，则∠BOD 等于________．第9题图10.如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E ，连结OD 、OE ，若∠A ＝65°，则∠DOE ＝________．第10题图11．已知AD 是⊙O 的直径，AB 、BC 是⊙O 的弦，AD ⊥ BC ，垂足是点E ，BC ＝8，DE ＝2，求⊙O 的半径长和sin ∠BAD 的值．第11题图12．(台州中考)如图，已知等腰直角△ABC ，点P 是斜边BC 上一点(不与B ，C 重合)，PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径．(1)求证：△APE 是等腰直角三角形；(2)若⊙O 的直径为2，求PC 2＋PB 2的值．第12题图13．(温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连结EF.(1)求证：∠1＝∠F ；(2)若sin B ＝55，EF ＝25，求CD 的长． 第13题图14．如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD 中，AC 是对角线，P 为边CD 的中点，延长AP 交圆于点E.(1)∠ E ＝________度；(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；(3)求弦DE 的长．第14题图期末复习三 圆的基本性质【例题精析】例1 C例2 (1)如图，设圆心为O ，连结AO ，CO ，∵直线l 是它的对称轴，∴CM ＝30，AN ＝40，∵CM 2＋OM 2＝AN 2＋ON 2，∴302＋OM 2＝402＋(70－OM)2，解得：OM ＝40，∴OC ＝302＋402＝50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm .故答案为：50.(3) 作N 关于AB 的对称点N ′，连结MN′，NN ′，ON ′，ON ，OM.∵N 关于AB 的对称点N′，∴MN ′与AB 的交点P′即为△PMN 周长最小时的点，∵N 是弧MB 的中点，∴∠A ＝∠NOB ＝∠MON ＝20°，∴∠MON ′＝60°，∴△MON ′为等边三角形，∴MN ′＝OM ＝4，∴△PMN 周长的最小值为4＋1＝5.故选B .例3 C例4 (1)4＋23 (2)如图1，连结OD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB ＝∠ABO ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝2，∵∠AOB ＝45°，∴OB ＝AB ＝2，由勾股定理得：OD ＝42＋22＝25，∴扇形的面积是45π×（25）2360＝52π；如图2，连结MB 、MC ，∵四边形ABCD 是⊙M 的内接四边形，四边形ABCD 是正方形，∴∠BMC ＝90°，MB ＝MC ，∴∠MCB ＝∠MBC ＝45°，∵BC ＝2，∴MC ＝MB ＝2，∴⊙M 的面积是π×(2)2＝2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是52π÷(2π)＝54.故选：A . 例5 (1)90° (2)140例6 (1)∵D 为AC 的中点，AC ＝AO ＝6，∴OD ⊥AC ，∴AD ＝12AO ，∴∠AOD ＝30°，OD ＝33，同理可得：∠BOE ＝30°，∴∠DOE ＝150°－60°＝90°，∴点D 所经过路径长为n πr 180＝90π×33180＝332π.故选C ； (2)连结OC ，∵点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，∴∠ACB ＝90°，∠AOC ＝60°，∠COB ＝120°，∴∠ABC ＝30°，∵AC ＝2，∴AB ＝2AO ＝4，BC ＝23，∴OC ＝OB ＝2，∴阴影部分的面积＝S 扇形－S △OBC ＝120·π×22360－12×23×1＝43π－3，故选A . 【校内练习】1－5.CDBAD 6.B7.8－π8.20°9.130°10.50°11. 设⊙O 的半径为r ，∵直径AD ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝12×8＝4，∠AEB ＝90°，在Rt △OEB 中，由勾股定理得：OB 2＝OE 2＋BE 2，即r 2＝42＋(r －2)2，解得：r ＝5，即⊙O 的半径长为5.∴AE ＝5＋3＝8，∵在Rt △AEB 中，由勾股定理得：AB ＝82＋42＝45，∴sin ∠BAD ＝BE AB ＝445＝55. 12.(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C ＝∠ABC ＝45°，∴∠PEA ＝∠ABC ＝45°，又∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PAE ＝90°，∴∠PEA ＝∠APE ＝45°，∴△APE 是等腰直角三角形． (2)∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC ＝AB ，同理AP ＝AE ，又∵∠CAB ＝∠PAE ＝90°，∴∠CAP ＝∠BAE ，∴△CAP ≌△BAE ，∴CP ＝BE ，在Rt △BPE 中，∠PBE ＝90°，PE ＝2，∴PB 2＋BE 2＝PE 2，∴CP 2＋PB 2＝PE 2＝4.第13题图13.(1)证明：连结DE ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DEB ＝90°，∵E 是AB 的中点，∴DA ＝DB ，∴∠1＝∠B ，∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F ； (2)∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝25，∴AB ＝2AE ＝45，在Rt △ABC 中，AC ＝AB·sin B ＝4，∴BC ＝AB 2－AC 2＝8，设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x ，∵AC 2＋CD 2＝AD 2，即42＋x 2＝(8－x)2，∴x ＝3，即CD ＝3.14.(1)45 (2)△ACP ∽△DEP ，理由：∵∠AED ＝∠ACD ，∠APC ＝∠DPE ，∴△ACP∽△DEP ； (3)方法一：∵△ACP ∽△DEP ，∴AP DP ＝AC DE， 第14题图∵P 为CD 边中点，∴DP ＝CP ＝1，∵AP ＝AD 2＋DP 2＝5，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，∴DE ＝2105. 方法二：如图，过点D 作DF ⊥AE 于点F ，在Rt △ADP 中，AP ＝AD 2＋DP 212AD·DP＝12AP·DF，∴DF＝255，∴DE＝2DF＝2105.＝5，又∵S△ADP＝。

教学目标：1.在例题的分析过程中回顾并进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性；2.在知识框架的建立过程中进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论；3.通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力；4.通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质。

教学重点：圆的轴对称性、旋转不变性。

教学难点：相关性质的应用。

教学过程：一、知识梳理：利用简单的开放性小题帮助学生回忆圆的基本性质：垂径定理及其逆定理、圆心角定理及其逆定理。

它们之间的联系用示意图展示。

二、例题赏析：例1：如图，在圆O中，AB为直径，AC//OD,求证：CD=BDACODB在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径地来证明这两条弦相等。

以组为单位选派一个代表，整理组员的意见，汇报展示。

学生每一种方法之后教师都进行一次总结：连接OC，这是通过证圆心角相等，得到弦相等；连接AD，由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等。

这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。

这样，弦相等，又多了两条途径：可以考虑去证弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。

教师一边总结一边展示园的基本图形。

连接CB，利用垂径定理。

垂径定理及其逆定理体现了直径、弧、弦三种量之间的关系：直径垂直弦、直径平分弦，直径平分弧，这三个结论中，只要有一个成立，则另两个也同时成立。

但注意，若条件是直径平分弦，则这条弦必须不是直径，另两个结论才会成立。

垂径定理及其逆定理体现的是圆的轴对称性。

在圆中，要构造直角，大家要想到直径所对的圆周角是直角；而90°的圆周角所对的弦是直径。

连接直径，作直角是圆中常添的辅助线方法。

在圆中构造直角，还常作弦心距、弦的一半、半径构成一个直角三角形，这在计算题中用到的较多。