高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质1课堂达标

1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)

教学目的：

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；

能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用

教学过程：

一、复习引入：

1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：

自变量x 2 32  2 0 2  32 2

函数值sinx 0 1 0 1 0 1 0 1 0

正弦函数()sinfxx性质如下：

（观察图象） 1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2 规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）

3 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有(2)sin(2)sin()fxkxkxfx．

也即：（1）当自变量x增加2k时，正弦函数的值又重复出现；

（2）对于定义域内的任意x，sin(2)sinxkx恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：

1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

问题：（1）对于函数sinyx，xR有2sin()sin636，能否说23是它的周期？

word - 1 - / 4 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质（一）

【基础练习】

1．下列函数中，周期为π的是( )

A．y＝|sin x| B．y＝|sin 2x|

C．y＝cosx4 D．y＝sin x

【答案】A

【解析】A中函数的周期为T＝π，B中函数的周期为T＝π2，C中函数的周期为T＝8π，D中函数的周期为T＝2π.故选A．

2．(2019年某某内江期末)函数y＝sin πx的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为( )

A．π B．2π

C．1 D．2

【答案】C

【解析】函数y＝sin πx的图象与x轴的两个相邻交点间的距离，即为函数最小正周期的一半，而最小正周期T＝2ππ＝2，故所求距离为1.故选C．

3．(2018年某某日照一模)函数y＝cos 2x＋π4是( )

A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数

【答案】A

【解析】函数y＝cos 2x＋π4＝－sin 2x，故是奇函数且最小正周期为2π2＝π.故选A．

4．在函数①y＝cos |2x|，②y＝|cos x|，③y＝sin 2x＋π2，④y＝sin |x|中，最小正周期为π的所有偶函数为( )

A．①② B．①②③

C．②④ D．①③

【答案】A word

- 2 - / 4 【解析】函数

①y＝cos |2x|＝cos 2x为偶函数且周期为2π2＝π，故①满足条件；②y＝|cos x|的最小正周期为π且是偶函数，故满足条件；③y＝sin 2x＋π2＝|cos 2x|的周期为12·2π2＝π2且是偶函数，故不满足条件；④y＝sin |x|没有周期性，故不满足条件．故选A．

5．若函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则φ＝________.

1.4.2 正余弦函数的性质（1）

【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念.

2.会求一些简单三角函数的周期.

【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期

【基础知识】

函数 xxkysin)2sin(，说明当自变量x的值增加2的整数倍时，函数的值重复出现，数学上用周期来刻画这一变化规律.

1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

问题：（1）对于函数sinyx，xR有2sin()sin636，能否说23是它的周期？

（2）正弦函数sinyx，xR是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k，kZ且0k）

（3）若函数()fx的周期为T，则kT，*kZ也是()fx的周期吗？为什么？

（是，其原因为：()()(2)()fxfxTfxTfxkT）

2．一般结论：函数sin()yAx及函数cos()yAx，xR（其中,,A 为常数，且0A）的周期2||T

说明：①周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

②“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

③T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx的最小正周期为2 （一般称为周期）

从图象上可以看出sinyx，xR；cosyx，xR的最小正周期为2；

判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()fxc没有最小正周期）

3.求周期的方法：

（1）公式法：

》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质

第一课时正弦函数、余弦函数的性质(一)

正弦、余弦函数的周期性

[提出问题]

问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？

提示：相等．即sin(2k

π＋x

)＝sin x

，cos(2k

π＋x

)＝cos x

(k

∈Z)．

问题2：正弦曲线具有什么特点？

提示：“周而复始”，每隔2π就重复一次．

问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？

提示：是．

[导入新知]

1．函数的周期性

(1)对于函数f

(x

)，如果存在一个非零常数T

，使得当x

取定义域内的每一个值时，都有f

(x

＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f

(x

)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f

(x

)的

最小正周期．

2．正弦、余弦函数的周期性

正弦函数y

＝sin x

(x

∈R)和余弦函数y

＝cos x

(x

∈R)都是周期函数，2k

π(k

∈Z，且k

≠0)都是

它们的周期．最小正周期为2π.

[化解疑难]

细解周期函数

(1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f

(x

＋T

)＝f

(x

)成立，即x

的任意性，否则不能

说y

＝f

(x

)是周期函数．

(2)并非所有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f

(x

)＝c

(c

为常数，x

∈R)，所

有非零实数T

都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期．

(3)在周期函数y

＝f

(x

)中，若x

∈D

，则x

＋nT

∈D

(n

∈Z)，从而要求周期函数的定义域一定

为无限集，且无上下界.

》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理正弦、余弦函数的奇偶性

[提出问题]

问题1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？

提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y

轴对称．

问题2：诱导公式sin(－x

)＝－sin x

，cos(－x

)＝cos x

体现了函数的什么性质？