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北师大版数学高一必修4课时作业：2弧度制

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课时作业2 弧度制
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．1 920°的角化为弧度数为( )

A.163 B.323

C.
163π D.32
3
π

解析：∵1°＝π180rad，
∴1 920°＝1 920×π180rad＝
32
3
π rad.

答案：D
2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是( )
A．1 B．2
C．3 D．4

解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得 θR＝612θR2＝6，解得θ＝3，故
选C.
答案：C

3．角α的终边落在区间－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

解析：－3π的终边在x轴的非正半轴上，－
5
2
π的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第

三象限角．
答案：C

4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋9π4(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋5π4(k∈Z)
解析：A，B中弧度与角度混用，不正确．
94π＝2π＋π4，所以9
4π与π4
终边相同．

－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.
答案：C
5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A.π3 B.2π3
C.3 D．2
解析：

如右图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为3R，所以圆弧长度为3R的圆
心角的弧度数α＝3RR＝3.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)

6．下列四个角：1,60°，π3，－π6由大到小的排列为________．

解析：只需把60°化成弧度数，因为60°＝60×π180＝π3，所以四个角为1，π3，π3，－π6.所以
60°＝π3>1>－π6.
答案：60°＝π3>1>－π6
7．若三角形三内角之比为345，则三内角的弧度数分别是________．
解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝π12，所以3k

＝π4，4k＝π3，5k＝5π12.
答案：π4，π3，5π12
8．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
解析：135°＝135π180＝3π4，所以扇形的半径为3π3π4＝4，

面积为12×3π×4＝6π.
答案：4 6π
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将下列角度与弧度进行互化：

(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.

解析：(1)20°＝20180π＝π9.
(2)－15°＝－15180π＝－π12.
(3)7π12＝(7π12×180π)°＝(712×180)°＝105°.
(4)－11π5＝(－11π5×180π)°＝(－115×180)°＝－396°.
10．如图，扇形AOB所在圆的半径为10，AB＝10.求：
(1)圆心角α的大小；
(2)扇形AOB的周长．
解析：(1)由半径r＝10，AB＝10，知△AOB为等边三角形，

所以α＝∠AOB＝60°＝π3.

(2)由(1)知弧长l＝αr＝π3×10＝10π3，
所以扇形AOB的周长为2r＋l＝20＋10π3.

|能力提升|(20分钟，40分)

11．集合




α


kπ＋π4≤α≤kπ＋

π

2
，k∈Z
中的角所表示的范围(如图中阴影部分所示)是

( )

解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋π4≤α≤2mπ＋π2，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ
＋5π4≤α≤2mπ＋3π2，m∈Z，故选C.
答案：C
12．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形
面积的________．
解析：由于S＝12lR，若l′＝32l，R′＝12R，

则S′＝12l′R′＝12×32l×12R＝34S.
答案：34
13．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；

(2)求γ角，使γ与α的终边相同，且γ∈－π2，π2.

解析：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，又280°＝14π9，∴α＝14π9＋(－3)×2π，∴α与14π9的
终边相同，∴角α的终边在第四象限．
(2)∵与α角终边相同的角可以表示为2kπ＋α，k∈Z，又α与14π9的终边相同，
∴γ∈β β＝2kπ＋14π9，k∈Z.
又∵γ∈－π2，π2，∴－π2<2kπ＋14π9<π2，易知当且仅当k＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π
＋14π9＝－4π9.
14．已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解析：(1)设弧长为l，弓形面积为S，则α＝60°＝π3，

R＝10 cm，l＝π3×10＝10π3(cm)，
S＝S扇－S△＝12×10π3×10－34×102＝503π－25 3cm2.
(2)设扇形的弧长为l，
则l＋2R＝20，即l＝20－2R(0

∴扇形的面积S＝12lR＝12(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.
∴当R＝5 cm时，S有最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝lR＝2 rad.
因此，当α＝2 rad时，这个扇形的面积最大．

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高中数学 北师大必修四 1.1.弧度制

高中数学 北师大必修四 1.1.弧度制


②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．
用“弧度”与“度”去度量每一个 角时，除了零角以外，所得到的量数都 是不同的，但它们既然是度量同一个角 的结果，二者就可以相互换算．
复习引入
角度制
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来 度量角，1°的角是如何定义的？
周角的 1 叫做1度角,记为1°
360
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制， 在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度 量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
新授内容
B
r
1 rad
o
r
A
1.弧度制:
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角
1
rad
180
弧
度 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实
制数集R之间建立了一一对应关系
的
一一对应
意
正实
义
正角
数
零角
0
负角
负实
数
任意角的集合 实数集R
题型示范
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1l R
2S 1R2
2
3 S 1 lR
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角, S是扇形面积.
④第四象限角对应的集合为
2k
3
2
2k
2，k
Z
终边相同的角
与 终边相同的角的集合为 2k , k Z
叫做1弧度的角
高中数学必修4(北师版)第一章1.3 弧度制(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

高中数学必修4(北师版)第一章1.3 弧度制(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


10 < r < 10．于是扇形的面积为 π+1 1 10 S = (20 − 2r)r = −(r − 5)2 + 25( < r < 10)．当 r = 5 时，l = 10 ，α = 2，S 取得 2 π+1 最大值，此时最大值为 25cm2 ．故当扇形的圆心角 α 等于 2 弧度时，这个扇形的面积最大， 最大面积是 25cm2 ． 1 （2）设扇形的半径是 r ，弧长是 l ，扇形的周长为 y ，则 y = l + 2r．由题意得 lr = 25，则 2 50 50 ，所以 y = l= + 2r．利用函数单调性的定义可证明：当 0 < r ≤ 5 时，函数 r r 50 50 y= + 2r 是减函数；当 r > 5 时，函数 y = + 2r 是增函数．所以，当 r = 5 时，y r r l 取得最小值 20，此时 l = 10 ，α = = 2 ，即当扇形圆心角为 2 弧度时，扇形周长取最小值为 r 20． 0 < 20 − 2r < 2πr，所以
π rad 的角的正弦．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度 3 数是 0 ．如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧的长为 l ，那么角 α 的弧度数的绝对值是 l ．这里， α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定． |α| = r
角度与弧度的换算
π 表示 3
360 ∘ = 2πrad, 180 ∘ = πrad π rad ≈ 0.01745rad 1∘ = 180 180 ∘ 1rad = ( ) ≈ 57.30∘ = 57∘ 18 ′ π
解：15∘ = 15 × （1）一个扇形的周长为 20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出 这个扇形面积的最大值． （2）一个扇形的面积为 25cm 2 ，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的周长最小？并求 出这个扇形周长的最小值． 解：（1）设扇形的半径为 r ，则弧长为 l = (20 − 2r)．由 0 < l < 2πr ，得
北师大版高中数学必修4第一章第3节《弧度制》题型专题练(学生版)

北师大版高中数学必修4第一章第3节《弧度制》题型专题练(学生版)

《弧度制》题型一：角度与弧度互化1．225︒化为弧度是2．512π= 3．300︒-化成弧度制为 4．320-︒化为弧度是5．1500︒转化为弧度数为6．712π= 7．12π弧度制等于8．150-︒的弧度数是9．45π化成角度制的结果为 10．下列转化结果错误的是（ ） A ．60°化成弧度是3π B ．103π-化成角度是600︒- C ．150︒-化成弧度是76π- D ．12π化成角度是15° 11．24︒=_________弧度；49π弧度=________.12．72°化为弧度制为__________.13．210︒-弧度数为________.14．弧度数为2的角的终边落在第______象限.15．将下列角度与弧度进行互化.（1）20°；（2）－15°；（3）712π（4）－115π.16．把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数.（1）712π；（2）136π- ； （3）1125° ；（4）-225°.17．把下列角度化成弧度：（1）36︒；（2）150︒-；（3）1095︒；（4）1440︒.18．把下列各弧度化为角度.（1）12π；（2）53π；（3）310π；（4）8π；（5）32π-；（6）56π-.题型二：用弧度制表示终边相同的角1．把-765°化成2k π+α（0≤α＜2π），k ∈Z ）的形式是2．把-1215°化成2k π+α(k ∈Z,)的形式是3．把02130-化为()2,02k k Z απαπ+∈≤≤的形式是___________.4．将1500︒-化成2π(02π,)k k αα+<∈Z 的形式是_________．5．已知角2025α=︒.（1）将角α改写成2k βπ+(k Z ∈，02βπ≤<)形式，并指出角α是第几象限角； （2）在区间[)5,0π-上找出与角α终边相同的角.6．已知角920α=-︒.（1）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限； （2）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.7．（1）把1480︒写成2()a k k π+∈Z 的形式，其中02απ≤<；（2）[4,0)βπ∈-，且β与（1）中α的终边相同，求β.题型三：扇形的弧长和面积公式1．半径为3，圆心角为150︒的扇形的弧长为2．已知扇形圆心角为6π，面积为3π，则扇形的弧长等于3．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为4．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是5．已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的面积为______.6．已知扇形的圆心角为6π，面积为3π，则扇形的弧长等于__________．7．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是__________．8．半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角是______弧度.9．已知扇形的周长为3cm ，扇形的圆心角的弧度数是1rad ，则半径是10．某扇形的面积为21cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的大小为11．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是12．已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于13．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l.(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？14．已知一扇形的圆心角为(0)αα>，所在圆的半径为R .（1）若60α︒=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?15．已知扇形AOB 的周长为10cm.（1）若这个扇形的面积为4cm 2，求扇形圆心角的弧度数；（2）求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.。

高中数学必修四课件：弧度制(北师大)

高中数学必修四课件：弧度制(北师大)


方法归纳 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其中 2kπ 是 π 的 偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练 2 (1)将－1 125° 表示成 2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z 的 7π 形式为________ －8π＋ 4． (2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
【课标要求】 1.了解角的另外一种度量方法——弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.
自主学习 基础认识 |新知预习| 1．度量角的两种制度 角 定义 用度作为单位来度量角的单位制 度 1 1 度的角 周角的360为 1 度的角，记作 1° 制 弧 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 度 1 弧度 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 制 的角 的角.1 弧度记作 1 rad
跟踪训练 1 将下列角度与弧度进行互化： 511 7π (1) 6 π；(2)－12rad；(3)10° ；(4)－855° .
511 511 解析：(1) 6 π＝ 6 ×180° ＝15 330° ； 7π 7 (2)－12 rad＝－12×180° ＝－105° ； π π (3)10° ＝10×180rad＝18rad； π 19 (4)－855° ＝－855×180＝－ 4 π.
解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半 径大小无关，故选 D. 答案：D
35 B. 5 24π 48 C. 5 D.25π π 24π 解析：864° ＝864×180＝ 5 ，故选 C. 答案：C
4．5 弧度的角的终边所在的象限为( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
类型二 用弧度制表示角的集合 [例 2] 已知角 α＝2 005° . (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出 α 是第几 象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与 α 终边相同的角．