高考数学大一轮复习第七章不等式第3讲基本不等式及其应用课件理新人教版

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理数（课标版）
第一页，共35页。
第七章 不等式
7.1 不等式的概念(gàiniàn)和性质、基本不等式
第二页，共35页。
第三页，共35页。
第四页，共35页。
第五页，共35页。
第六页，共35页。
第七页，共35页。
第八页，共35页。
第九页，共35页。
第十页，共35页。
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第三十二页，共35页。
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第三十五页，共

A.若a>b，c≠0，则ac>bc
B.若a>b，则ac2>bc2
√C.若 ac2>bc2，则 a>b
D.若 a>b，则1a<b1
解析 对于选项A，当c<0时，不正确； 对于选项B，当c＝0时，不正确； 对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确； 对于选项D，当a>0，b<0时，不正确.
当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立.故选D.
(2)(2019·潮州模拟)已知－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，则 8x·12y 的取值范围是
A.[2,28]
B.12，28
√C.[2,27]
D.12，27
解析 8x·12y＝23x·12y＝23x－y，
令3x－y＝s(x＋y)＋t(x－y)＝(s＋t)x＋(s－t)y，
解析 因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－
1)2＋4>0，
所以M>N.
(2)若a>0，且a≠7，则
A.77aa<7aa7
√C.77aa>7aa7
B.77aa＝7aa7 D.77aa与7aa7的大小不确定
解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a， 则当 a>7 时，0<a7<1,7－a<0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7； 当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.
基础自测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

所以22－a2＋a2＝ ＝04， ， 解得 a＝1，故选 C.
几何画板展示 解析 答案
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项 am，
an 使得 aman＝4a1，则m1 ＋4n的最小值为
√A.32
5
9
B.3
C.4
25 D. 6
解析 答案
现场纠错 利用基本不等式求最值 典例 (1)已知 x>0，y>0，且1x＋2y＝1，则 x＋y 的最小值是________. (2)函数 y＝1－2x－3x(x<0)的值域为_______________.
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.
解析 答案
题型三 基本不等式的综合应用
多维探究
命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
典例 (1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆
心，则 4b＋1c 的最小值是
√A.9
B.8
C.4
D.2
解析 答案
解析 答案
Байду номын сангаас
命题点2 通过常数代换法利用基本不等式
典例 (2017·河北衡水中学调研)若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，
则a＋b的最小值为
A.8
B.6
√C.4
D.2
解析 答案
思维升华
(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二 定”“三相等”. (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑 出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活 变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利 用基本不等式求最值.

考点(kǎo diǎn)四
探究
(tànjiū)突
破
考点四
基本不等式的实际应用
【例 4】首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生
态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,
把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少 关闭
(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为
造价分别为 120 元和 80 元,求水池表面积的最低造价是多少.
关闭
设水池底面的长度、宽度分别为 a m,b m,则 ab=4,
令水池表面的总造价为 y,
则
y=ab×120+2(2a+2b)×80=480+320(a+b)≥480+320×2 =480+320×4=1
760(元),当且仅当 a=b=2 时取“=”.
5
2
C.-
考点(kǎo
diǎn)三
第十九页，共28页。
D.-3
考点(kǎo diǎn)四
探究(tànjiū)
突破

解析:法一:设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x=- .
2

1
1
2
2
2
当- ≥ ,即 a≤-1 时,f(x)在 0,
5
5
2
2
上是减函数,应有 f
1
≥0,解得
2
a≥- ,∴- ≤a≤-1.
是指从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,
经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,
逐步推向“未知”.

核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是(
A．y＝x(4－x)
1

C．y＝ +
B．y＝
1
(0＜x＜1)
1−
)
2 +9
2 +5
D．y＝ +
4

(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小
是(
)
2 +2
B．ab≤
2
2 + 2
+ 2
C．
≥
2
2

A．


+ ≥2

BC

[当 <0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．]

D．
2
≤
+

4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长18
15
15
m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，

2
1
2
1
于是得
+
＝1＋ ＋2＋ ＝3＋
−1
−1
−1
−1
−1
＝3＋2
1
2
2，当且仅当 ＝ ，
−1 −1
2
2
即x＝1＋ ，y＝1＋ 2时取“＝”，

2
+
的最小值为3＋2
−1
−1

a2 b2 2
≥ a
2
b
≥
ab
≥
1
2
1
(a,b∈R+).
ab
(6)三角不等式
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,
|a1±a2±…±an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. 2.利用算术平均数与几何平均数求函数的最值 (1)已知x、y∈R+,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有④ 最小值 ,是 2 P . (2)已知x、y∈R+,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有⑤ 最大值 ,
(3)反证法 从否定结论出发,经过逻辑推理,得出矛盾,证实结论的否定是错误的,从 而肯定原结论正确. (4)放缩法 欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,即B≤B1,B1 ≤B2,…,Bi≤A或A≥A1,A1≥A2,…,Ai≥B,再利用传递性,达到证明目的. (5)三角代换法 如,若x2+y2=1,求证:|x2-2xy-y2|≤ 2 . 分析:由于x2+y2=1,故可设x=cos θ,y=sin θ, 则|x2-2xy-y2|=|cos2θ-2sin θcos θ-sin2θ|

,可以得到f(u)在 0, 14

上为减函数,∴
u+
u1 ≥f 14
= 17 .
4
(8)几何法
如,已知a,b∈R,且a+b+1=0,求证:(a-2)2+(b-3)2≥18.
分析:设直线x+y+1=0及直线外一点A(2,3),P(a,b)为直线上任意一点,|PA|
问题→利用基本不等式得最大值→检验等号成立的条件→结论

ab
ab ab
ab
1 +2 =a b ,所以 ≥a b ,2即a2 b≥2 ,所以2ab的最小值为2 ,故选C.2
ab
ab
12/11/2021
2.(2019天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则 (x的1最)(2小y 值1)为
.
xy
答案 9
2
解析 本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌 握程度,以及学生的推理、运算能力.
12/11/2021
a1 b3
考点二 基本不等式的应用
1.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+
4 x
(x>0)上的一个动点,则点P到直线
x+y=0的距离的最小值是
.
答案 4
解析 本题通过曲线y=x+ 4 (x>0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基
5
2
故f(x)在定义域上的最小值为 2 3 .故选B.
2
12/11/2021
5.(2018山东高三天成第二次联考,7)若a>0,b>0且2a+b=4,则 1 的最小值为 ( )
ab
A.2 B. 1
2
C.4 D.1
4
答案 B 因为a>0,b>0,故2a+b≥2 (2当a b且仅当2a=b时取等号).
=20,
-4≥6×
2-4
x2 y2
y x
2 2
当且仅当x=y=10时取等号.
∴x+y的最小值为20.
故选C.
22
x2 y2

∵y>9，∴y－9>0. ∴y－9＋y－9 9＋10≥2 （y－9）·y－9 9＋10＝16. 当且仅当 y－9＝y－9 9，即 y＝12 时取等号． 又1x＋9y＝1，则 x＝4. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16. 方法二：在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代换， 也会给解决问题提供简捷的解法．
利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝p(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 p． (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42．
1．x∈R，下列不等式恒成立的是( )
A．x2＋1≥x
第4课时 基本不等式
2016 考纲下载
1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最值问题．
请注意 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查 之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新， 但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方 面的应用．
探究 3 利用方程的思想是解决此类问题的常规解法． 另外，第二问也可用如下方法求解：由已知 b＝aa＋－31>0，∴a －1>0，∴a＋b＝a＋aa－＋13＝a＋a－a－1＋1 4＝a＋1＋a－4 1＝(a－1)＋ a－4 1＋2≥6.
思考题 3 若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的 最小值是________．
以传递到最后的最大(小)值．
(2)注意“1”的代换技巧．
(3)本题(1)易错解为：
1＝x＋2y≥2
2xy，∴
xy≤
2 4.
∴1x＋1y≥
2≥ xy