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高等数学讲义(一)

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高等数学基础高等数学基础课程得学习内容微积分学,它就是创建于十七世纪得一门数学学科,创始人就是英国数学家牛顿(Newton)与德国数学家莱布尼茨(Leibniz)。

用著名学者得话来形容“微积分、或者数学分析,就是人类思维得伟大成果之一。

它处于自然科学与人文科学之间得地位,使它成为高等教育得一种特别有效得工具”。

“微积分得创立,与其说就是数学史上,不如说就是人类历史上得一件大事。

时至今日,它对工程技术得重要性就像望远镜之于天文学,显微镜之于生物学一样。

第1讲 函数1、2 函数要知道什么就是函数,需要先了解几个相关得概念。

一、常量与变量 先瞧几个例子: 圆得面积公式2πr S =自由活体得下落距离2021gt t v s += 在上述讨论得问题中,g v ,,π0就是常量,t s r S ,,,就是变量。

变量可以视为实属集合(不止一个元素)。

二、函数得定义定义1、1 设D 就是一个非空数集。

如果有一个对应规则f ,使得对每一D x ∈,都能对应于唯一得一个数y ,则此对应规则f 称为定义在集合D 上得一个函数,并把数x 与对应得数y 之间得对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数得自变量,y 为函数值或因变量,D 为定义域。

实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 得值域。

瞧瞧下面几个例子中哪些就是函数: }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Yf 就是函数,且2)1(=f ,8)3(=f ,6)6(=f定义域}6,3,1{=D ,值域}8,6,2{=Z ,一般地Y Z ⊂。

}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Y f 不就是函数。

}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Y f 就是函数,且2)1(=f ,8)3(=f ,8)6(=f定义域}6,3,1{=D ,值域}8,2{=Z 。

fff}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Y f 不就是函数。

由函数定义可以得出,函数得对应规则与定义域就是确定函数得两个要素,用解析法表示得函数得对应规则就就是由表达式确定得,而定义域就就是使表达式有意义得所有x 轴上得点。

例1 求函数x y -=1得定义域。

解 在实数范围内要使等式有意义,有01≥-x即1≤x所以函数得定义域为]1,(-∞。

例2 求函数2411x xy -+-=得定义域。

解 在实数范围内要使第一个等式有意义,有01≠-x 即1≠x在实数范围内要使第二个等式有意义,有042≥-x 或 42≤x即2≤x 或 22≤≤-x所以函数得定义域为]2,1()1,2[ -。

三、函数表示法函数表示法主要有以下三种 ⒈解析法用数学式子表示变量之间得对应关系,这种表示函数得方法称为解析法。

例如2x y = x y sin =⎩⎨⎧>-≤+=0,10,1)(x x x x x f ⒉图形法在平面直角坐标系中满足一定条件得曲线图形,也可以确定一个函数关系,这种表示函数得方法称为图形法。

例如表示一天内温度随时间变化得函数关系。

⒊列表法在实际应用中把一系列自变量值及其相对应得函数值列成表,这种表示函数得方法称为列表法。

如对数函数表、三角函数表等等。

四、函数得几种属性 ⒈单调性请瞧下面两个图f左边得图形表示,函数值随自变量得增加而增加,就称函数单调增加,数学上描述为:如果当任意得),(,21b a x x ∈且21x x <时,恒有)()(21x f x f <则称函数)(x f 在区间),(b a 内就是单调上升得或单调增加得。

右边得图形表示,函数值随自变量得增加而减少,就称函数单调减少,数学上描述为:如果当任意得),(,21b a x x ∈且21x x <时,恒有)()(21x f x f >则称函数)(x f 在区间),(b a 内就是单调下降得或单调减少得。

⒉奇偶性请瞧下面两个图 左边得函数图形关于y 轴对称,就称函数就是偶函数,数学上描述为:如果函数)(x f y =得定义域D 以原点为对称,且恒满足等式)()(x f x f =-,则称)(x f 就是偶函数。

右边得函数图形关于原点对称,就称函数就是奇函数,数学上描述为:如果函数)(x f y =得定义域D 以原点为对称,且恒满足等式)()(x f x f -=-,则称)(x f 就是奇函数。

例3 判断下列函数得奇偶性:⑴x x f =)(; ⑵)1,1(11lg )(-∈+-=x xxx f解 ⑴由绝对值得性质,对任意x 有)()(x f x x x f ==-=-由此可知)(x f 就是偶函数。

⑵由对数函数得性质,对任意)1,1(-∈x 有1)11lg(11lg )(1)(1lg)(-+-=-+=-+--=-x x x x x x x f)(11lg x f xx-=+--=由此可知)(x f 就是奇函数。

判断函数得奇偶性也可以利用以下结论: 偶函数加减偶函数就是偶函数 奇函数加减奇函数就是奇函数 偶函数乘偶函数就是偶函数 奇函数乘奇函数就是偶函数 奇函数乘偶函数就是奇函数例如,x x y sin +=就是奇函数,x x y cos =也就是奇函数。

1、3 初等函数要了解初等函数,首先从以下开始一、基本初等函数我们将以下几类函数称为基本初等函数,它们就是 ⒈常数函数 R c c y ∈= 常数函数得图形如下⒉幂函数R x y ∈=αα幂函数得图形如下⒊指数函数1,0≠>=a a a y x指数函数得图形如下⒋对数函数1,0log ≠>=a a x y a对数函数得图形如下 ⒌三角函数x y sin = 正弦函数 余弦函数 x y cos = 正切函数 x y tan = 余切函数 x y cot =正弦、余弦、与正切函数得图形分别就是⒍反三角函数反正弦函数 x y arcsin = 反余弦函数 x y arccos = 反正切函数 x y arctan =反正弦、反余弦、与反正切函数得图形分别就是二、函数得复合运算在介绍函数得复合运算之前,先介绍函数得四则运算:设)(x f ,)(x g 就是两个函数,定义域分别为1D ,2D ,如果21D D D =不就是空集,那么在D 上可以得到以下函数)()(x g x f + )()(x g x f - )()(x g x f ⋅ )(/)(x g x f这里要注意,最后一个函数)(/)(x g x f 得定义域要在D 中去掉使0)(=x g 得点。

除了函数得四则运算外,再瞧下面复杂一些得运算,如函数x y sin lg =可以瞧作由函数u y lg =与x u sin =构成得,这种构成方式就就是一种新得运算。

一般地,由两个函数)(u f y =与)(x g u =构成得对应规则))((x g f y =称为f 与g 这两个函数得复合函数。

三、初等函数由基本初等函数经过有限次得四则运算或复合运算而成,能用一个解析式表示得函数称为初等函数。

函数⎩⎨⎧>+≤=0,10,sin )(x x x x x f 不就是初等函数,这类函数称为分段函数。

第2讲 极限与连续微积分得主要研究对象就是函数,它所使用得一个重要工具就就是我们要在下面介绍得——极限。

极限得严格描述奠定了微积分得理论基础,而微积分学几乎所有得重要概念都以不同得极限形式来表示。

2、2 函数得极限一、极限得概念首先让我们瞧瞧反正切函数x y arctan =得图形变化时,函数值在向2π靠近。

而当自变量x 向∞+函数值可以与2π任意靠近。

我们且x 向∞+充分接近时,将x 向∞+充分接近说成x 趋于∞+,记为+∞→x 。

于∞+时,如果函数)(x f 得函一般地,当自变量x 趋数值与某个常数A 任意靠近,我们就称函数)(x f 当x 趋于∞+时以A 为极限(或称当x 趋于∞+时,)(x f 得极限就是A )。

记为A x f x =+∞→)(lim 或 )()(+∞→→x A x f如我们在开始瞧到得情形就就是2πarctan lim =+∞→x x 类似可以得到B x f x =-∞→)(lim ,仍以反正切函数为例,有2πarctan lim -=-∞→x x 再一次观察反正切函数x y arctan =得图形,当自变量x 向点0=x 变化时,函数值在向0靠近。

而且x 向点0=x 充分接近时,函数值可以与0任意靠近。

我们将x 向点0=x 充分接近说成x 趋于0,记为0→x 。

一般地,当自变量x 趋于0x 时,如果函数)(x f 得函数值与某个常数A 任意靠近,我们就称函数)(x f 当x 趋于0x 时以A 为极限(或称当x 趋于0x 时,)(x f 得极限就是A )。

记为A x f x x =→)(lim 0或 )()(0x x A x f →→这样我们就得到0arctan lim 0=→x x极限A x f x x =→)(lim 0得直观意义可以用下面得图形说明函数在一点得极限可能存在,也可能不存在,如函数xy 1sin=当0→x 时得极限就不存在,我们也可以从图形中瞧出再瞧下面这个图形当1→x 时没有极限,但当x可以瞧出,这个函数从大于1得方向趋于1时,函数值与5.2任意接近。

一般地,当自变量x 从大于0x 得方向趋于0x 时,如果函数)(x f 得函数值与某个常数A 任意靠近,就称A 为)(x f 在点0x 得右极限,记为A x f x x =+→)(lim 0类似可以给出)(x f 在点0x 得左极限,记为B x f x x =-→)(lim 0。

如此一来我们就有了以下结论)(lim 0x f x x →存在得充分必要条件就是)(lim 0x f x x +→与)(lim 0x f x x -→都存在,且)(lim )(lim 0x f x f x x x x +-→→=二、极限得运算法则为了方便地计算函数得极限,我们不加证明地给出极限得运算法则: 若)(lim x f ,)(lim x g 存在,则有)(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ±=± )(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ⋅=⋅ c x f c x cf )(lim )](lim[=为常数 )(lim )(lim ])()(lim[x g x f x g x f = (假定0)(lim ≠x g )例1 求623lim 222-++-→x x x x x 。

解 观察发现本题不能直接应用极限得四则运算法则,但对表达式经适当整理后就可以应用极限得四则运算法则,)3)(2()1)(2(lim 623lim 2222+---=-++-→→x x x x x x x x x x 51)3(lim )1(lim 31lim 222=+-=+-=→→→x x x x x x x例2 求5232lim 22-+-++∞→x x x x x 。

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高等数学函数讲义

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y x2
自变量在定义域内的不同范围变化时,用两个
或两个以上的解析式表示的函数, 数学o 上称这x种 函数为分段函数.
微积分
第一章 函数
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例:某运输公司规定货物的吨公里运价为：在 a
公里以内，每公里 k元；超过 a 公里，超过部分
每公里为 4 k 元。求运价 m 和里程 s 之间的函数
P(x) b a c x x2
函数自变量x的定义域为(0,a],并且x是正整数.
微积分
第一章 函数
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例2 :要设计一个容积为20 立方米的圆柱形封闭容
器。 已知上底材料每平方米的造价是侧面材料单
位面积造价的一半， 而侧面材料单位面积造价是
下底面单位面积造价的一半。试求容器的总造价
所以函数 f (x) x3 2x 是奇函数.
微积分
第一章 函数
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(2) 因为 f (x) ex ex , 所以
2
f (x) ex e(x) ex ex ex ex f (x)
2
2
2
因此 f ( x) e x e x 是偶函数. 2
(3) 因为 f (x) x x2 的定义域为 D x x 0 ,
故该函数的定义域为 (2 , 3)
微积分
第一章 函数
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例2 求下列函数的定义域
(1) y
1 x x2
;
(2) y arcsin x 2 3
解 (1) 要使该函数有意义, 须有
1 x 0
x2
0
,
解之得
x 1且 x 0 ,
故该函数的定义域为 (, 0) U(0,1] .
专升本高等数学讲义

专升本高等数学讲义

b
a
（2）几何意义：曲边梯形的面积 • 定积分的性质 （1）

b
a
f (x)dx= f (x)dx+ f (x)dx
a c
c
b
（2）若 f (x) 0,x [a,b] ，则

b
a
f (x)dx 0
2、定积分
•
变限积分
（1）变上限积分的概念： （2）变限积分求导定理：

x
a
f (t )dt 是关于上限 x 的函数。
x =x0
=f (x0 )x
（2） dy =ydx
3、应用
• 中值定理 (a,b)可导；f (a)=f (b) （1）罗尔定理：若 y f (x) 满足：在 [a,b] 连续； 则至少存在一点 (a,b) ，使得 f ( )=0 。 （2）拉格朗日中值定理： f ( )= • 洛必达法则
4、典型例题
• • • • • • •
x arcsin - 1 的定义域。 2 3 - x2 x,1< x 4 例2：设 f (x) ，求 f (x2 ) 的定义域。 sin x, x 1 1 ,g (x)=1+x 2 ，求 f g (x) ,g f (x) 。 例3：设 f (x) 1+x
x f (t )dt =f (x) a (x ) f (t )dt =f (x) (x) a b f (t )dt =-f g (x) g(x) g (x ) (x ) f (t )dt = c f (t )dt + (x ) f (t )dt =f (x) (x)-f g(x) g(x) c g (x ) g (x )
高等数学教材讲义

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高等数学教材讲义第一章导数与微分1.1 导数的定义与性质在这一节中，我们将介绍导数的定义及其基本性质。

导数是描述函数变化率的重要概念，它与切线的斜率密切相关。

我们将详细解释导数的定义，并通过例题演示如何求取导数。

1.2 常见函数的导数本节将探讨一些常见函数的导数计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及其他一些常见函数。

我们将给出这些函数的导数公式，并通过具体例子进行说明和求解。

1.3 高阶导数在这一节中，我们将讨论高阶导数及其应用。

高阶导数描述了函数变化率变化的速度，它可以帮助我们更全面地理解函数的性质。

我们将介绍高阶导数的定义和计算方法，并通过实例说明如何应用高阶导数解决实际问题。

第二章积分与定积分2.1 不定积分与原函数这一节我们将引入不定积分的概念，并介绍原函数的定义及其计算方法。

不定积分是求解定积分的重要步骤，它可以帮助我们找到函数的原始形式。

我们将详细解释不定积分的定义和性质，并通过实例演示如何求取原函数。

2.2 定积分的概念与性质在这一节中，我们将介绍定积分的概念和性质。

定积分描述了函数在一定区间内的累积变化量，它可以用来计算曲线下的面积、求解平均值等。

我们将详细讲解定积分的定义和性质，并通过例题演示如何求解定积分。

2.3 定积分的计算方法本节将讨论定积分的计算方法，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。

这些方法可以帮助我们解决各种形式的定积分问题。

我们将给出这些方法的具体步骤，并通过实例演示如何应用它们求解定积分。

第三章微分方程3.1 微分方程的基本概念在这一节中，我们将介绍微分方程的基本概念和分类。

微分方程是描述变量之间关系的方程，它在自然科学和工程技术中具有广泛应用。

我们将详细解释微分方程的定义和分类，并通过例题演示如何求解微分方程。

3.2 常微分方程本节将讨论常微分方程的求解方法。

常微分方程是最常见的微分方程类型之一，它描述了未知函数及其导数之间的关系。

(完整版)高等数学工专讲义

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接下来我们就开始学习高等数学了，或许在学习的过程中我们会感觉乏味无味，可是我相信只需我们努力，我们必定能达到成功的此岸。

常量与变量变量的定义我们在察看某一现象的过程时，常常会碰到各样不一样的量，此中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是能够取不一样的数值，我们则把其称之为变量。

注：在过程中还有一种量，它固然是变化的，可是它的变化相对于所研究的对象是极其细小的，我们则把它看作常量。

变量的表示假如变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。

在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。

区间的名区间的知足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示称闭区间a≤x≤b[a ， b]开区间a＜ x＜ b（a，b）半开区间a＜x≤b或 a≤x＜ b （ a， b] 或 [a ， b）以上我们所述的都是有限区间，除此以外，还有无穷区间：[a ，+∞) ：表示不小于 a 的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(- ∞， b) ：表示小于 b 的实数的全体，也可记为：- ∞＜ x＜ b；(- ∞， +∞) ：表示全体实数，也可记为：- ∞＜ x＜+∞注：此中 - ∞和 +∞，分别读作" 负无量大 " 和 " 正无量大 ", 它们不是数 , 只是是记号。

邻域设α与δ是两个实数，且δ＞ 0. 知足不等式│x - α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ 邻域，点α 称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。

函数函数的定义假如当变量x 在其变化范围内随意取定一个数值时，量y 依据必定的法例总有确立的数值与它对应，则称y 是 x 的函数。

变量 x 的变化范围叫做这个函数的定义域。

往常x叫做自变量， y 叫做因变量。

注：为了表示y 是 x 的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示. 这里的字母"f" 、"F" 表示 y 与 x 之间的对应法例即函数关系,它们是能够随意采纳不一样的字母来表示的.注：假如自变量在定义域内任取一个确立的值时，函数只有一个确立的值和它对应，这类函数叫做单值函数，不然叫做多值函数。