高等数学讲义

第一章 极限与连续第一节 函 数【例1】研究函数)1ln()(2x x x f ++=的奇偶性，并求其反函数. 【分析】()f x 定义域为R ，()ln(ln(()f x x x f x -=-==-+=-故()f x 为奇函数.由)1ln()(2x x x f ++=得，y e x =yex -=-+两式相减得.2y ye e x --=【例2】设0,0()1,0x f x x <⎧=⎨≥⎩, 22,1()||2,1x x g x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩， 试求[()],[()]f g x g f x .【分析】0,12[()]1,12x f g x x x ⎧≤<⎪=⎨<≥⎪⎩或，2,0[()]=1,0x g f x x <⎧⎨-≥⎩.【例3】设函数2||sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界( ).()()A 1,0- ()()B 0,1 ()()C 1,2 ()()D 2,3【分析】()1,0x ∈-，2||sin(2)11()(1)(2)144x x f x x x x -=≤=--⨯，故有界，选（A ） 2111||sin(2)sin(2)lim ()lim lim (1)(2)(1)x x x x x x f x x x x x ---→→→--===+∞--- 111sin(2)sin(2)lim ()lim lim (1)(1)x x x x x f x x x +++→→→--===-∞-- 222222sin(2)(2)1lim ()lim lim lim (2)(2)2x x x x x x f x x x x ++++→→→→--====+∞--- 故BCD 均不正确.第二节 极 限【例1】讨论11012lim12x x x→-+.【分析】1111001212lim 1,lim 11212x x x x xx+-→→--=-=++,故此极限不存在.【例2】讨论1121lim ()xx x x e e+→-. 【分析】111111221122lim ()lim ,lim ()limttttt t xx xx t t x x e e e ex e e x e e t t +-++++→+∞→-∞→→---==+∞-==故此极限不存在.【例3】110|sin |lim 21x x x x e x e →⎛⎫⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭. 【分析】1111000|sin |sin lim 2lim 2lim 12111x xx x x x x x e x e x x e e +++→→→⎛⎫ ⎪-=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭1111000|sin |sin lim 2lim 2lim 10111x xx x x x x x e x e x x e e --+→→→⎛⎫- ⎪-=-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭,故110|sin |lim 2 1.1x x x x e x e →⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪+⎝⎭【例1】)0,0,0()(lim 1>>>++∞→c b a c b a nnnn n【分析】不妨设0a b c ≥≥>，由3n n n nna abc a ≤++≤得11()3n nn n na abc a ≤++≤ 又因为1lim lim3nn n a a a →∞→∞==，由三明治定理得1lim().nnn nn a b c a →∞++=故()1lim()max ,,.nnn nn a b c a b c →∞++=【例2】)2211(lim 222n n nn n n +++++∞→【分析】由2221i i i n n n i n ≤≤+++得2221111n n n i i i i i in n n i n ===≤≤+++∑∑∑又因为22111lim lim 12nn n n i i i i n n n →∞→∞====++∑∑，由三明治定理得211lim .2nn i i n i→∞==+∑题型一 极限概念与性质【例1】设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=, 则下面断言正确的是 ( ).(A)若{}n x 发散，则{}n y 必发散 (B)若{}n x 无界，则{}n y 必有界 (C)若{}n x 有界， 则{}n y 必为无穷小 (D)若1{}nx 为无穷小，则{}n y 必为无穷小 【分析】令,0n n x n y ==，(A)不正确；令0,n n x y n ==，(C)不正确；令,1,3,50,1,3,5,0,2,4,6,2,4,6n n n n n x y n n n ==⎧⎧==⎨⎨==⎩⎩(B)不正确；选(D). 事实上，lim lim01nn n n n ny x y x →∞→∞==，分母趋于0，分子趋于0，(D)正确. 【例2】{},{},{}n n n a b c 均为非负数列, 且lim 0n n a →∞=,lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞, 则 ( ). (A),n n a b n <∀ (B),n n b c n <∀ (C)lim n n n a c →∞不存在 (D)lim n n n b c →∞不存在【分析】对n ∀，(A) (B)肯定不正确，lim n n n a c →∞可能存在可能不存在，选(D).【例3】设函数()f x 在(),-∞+∞内单调有界, {}n x 为数列, 下面命题正确的是 ( ). (A)若{}n x 收敛，则{()}n f x 必收敛 (B)若{}n x 单调，则{()}n f x 必收敛 (C)若{()}n f x 收敛， 则{}n x 收敛 (D)若{()}n f x 单调， 则{}n x 收敛【分析】{}n x 单调，由于()f x 单调，则{()}n f x 单调，又因为其有界，故由单调有界定理，(B)正确.题型二 不定式求极限【例1】(1) 0x0011233lim .3x x xx o x o x x (2) )cos 1(sin 1tan 1limx x xx x -+-+→()30002tan 1cos 1tan sin 1lim lim .1222x x x x x x xx x x →→→--===⨯(3) limxlimlimlim1.x x x ===(4) 3012cos lim 13x x x x32200012cos 12cos 1cos 11lim 1lim ln lim .3336x x x x x x x xx x(5) sin 30limx xx e e x →-()sin sin 3330001sin 1lim lim lim .6x x x x x x x x e e e e x x x x x -→→→---===-(6) 211lim (arctan arctan )1x x x x →∞-+()222220011arctan arctan 11111lim (arctan arctan )lim lim 12x t t t t t t t t x x x t t →∞→→--++++-==+()()222011lim1.2t t t t t→++-+==(7) ()()4sin sin sin sin limx x x x x →-()()()34330001sin sin sin sin sin sin sin sin 16lim lim lim .6x x x x x x x x x x x x →→→--=== (8)()()()401cos ln 1tan limsin x x x x x→--+()()()()()42220001cos ln 1tan ln 1tan tan ln 1tan 11tan limlim lim sin 22x x x x x x x x x x x x xx x x →→→--+-+-+⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭2201tan 112lim .24x xx →==【例2】 (1) 22211lim sin cos x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2222222224000cos sin cos sin 11cos sin lim lim lim sin cos cos sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→+--⎛⎫-== ⎪⎝⎭30cos sin 22lim.3x x x x x →-==-(2)()12lim x x x x e →+∞⎛- ⎝ ()()()121222011lim lim 1.txx t t e t x x e t +→+∞→--+⎛-==- ⎝【例3】(1) 310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→()333000tan 1cos 11tan 1tan sin 1limln lim lim .1sin 1sin 2x x x x x x x x x x x x x →→→-+-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 311201tan lim .1sin x x x e x →+⎛⎫= ⎪+⎝⎭(2) 21coslim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 222211111lim ln cos lim cos 1lim .22x x x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121lim cos .x x e x -→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭ (3) ()110ln 1lim xe x x x -→+⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()2000ln 1ln 1ln 1111lim ln lim 1lim .12x x x x x x x x e x x x x →→→+++-⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()11120ln 1lim .xe x x e x --→+⎛⎫= ⎪⎝⎭(4)()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()()()()()22lim ln lim .x x x x a x b x x x a b x a x b x a x b →∞→∞⎡⎤--+==-⎢⎥-+-+⎣⎦()()2lim .xa b x x e x a x b -→∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(5) 11ln lim 1xxx x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭()1112111ln 1ln 1ln 11ln lim ln 1lim lim lim 1.ln 111xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e →+∞→+∞→+∞→+∞-⎛⎫ ⎪⎛⎫--⎝⎭-=⋅===- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11ln 1lim 1.xxx x e -→+∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭(6) lim nn →∞⎣⎦()02ln ln 1lim ln lim 1lim ln 22222t t x x t a b a b x x ab t +→+∞→+∞→⎤+-+=-===⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦lim lim n xn x →∞→+∞==⎣⎦⎣⎦【例4】 (1) 若30sin 6()lim0x x xf x x →+=, 求206()lim .x f x x →+233300006()sin 6()6sin 6sin 6()6sin 6limlim lim lim 36.x x x x f x x xf x x x x xf x x xx x x x →→→→+++-+-==+=(2)设0ln(1()sin 5)lim 121x x f x x →+=-, 求0lim ().x f x →000ln(1()sin 5)()sin 55()lim lim lim 1.21ln 2ln 2x x x x f x x f x x f x x →→→+===-0ln 2lim ().5x f x →= 题型三 连加或连乘求极限【例1】(1) ()11lim ()nn i l N i i l +→∞=∈+∑(2)231lim nn i i n →∞=∑ (3) n n x x x 2cos 4cos 2cos lim ∞→ 11111111111,11,lim 1.()22311()nnn i i l i i l n n n i i l →∞====-+-++-=-=++++∑∑1111111111112,11,()232422212ni l i i l n n n n =⎛⎫⎛⎫==-+-++-=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑1111lim 1.()22nn i i i l →∞=⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∑同理，得()11111lim1.()2nn i l N i i l l l +→∞=⎛⎫∈=+++ ⎪+⎝⎭∑ (2)231lim nn i i n →∞=∑ ()()2331111lim lim 121.63nn n i i n n n nn →∞→∞==⨯++=∑ (3) n n xx x 2cos 4cos 2coslim ∞→cos cos cos 2sin sin sin 2422lim cos cos cos limlim .2422sin 2sin 22n n nn n n n n n n nx x x xx x x x x x x x →∞→∞→∞⋅===【例2】 (1))212654321(lim nn n -⋅⋅∞→()()()()()22222212+11352113355711()=24622462+12+12n n n n n n n --⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅≤ 因为1lim=02+1n n →∞，由三明治定理得213521lim()=02462n n n →∞-⋅⋅， 故13521lim()=0.2462n n n→∞-⋅⋅ (2)⎰∞→xx dt t x 0sin 1lim()()()10sin sin 11,sin 1n n xt dtt dt n x n t dt n x n ππππππ+≤<+≤≤+⎰⎰⎰即()()02121sin 1xn n t dt n x n ππ+≤≤+⎰ ()()2122lim lim 1x x n n n n πππ→∞→∞+==+，由三明治定理得012lim sin .x x t dt x π→∞=⎰(3))0,0i n p a >>设()12max ,,p M a a a =M ≤≤lim n n M M →∞==，由三明治定理得()1max ,,.p n M a a == 【例3】(1)1limn n i →∞=11011limlnln 1112lim lim .nn i in nxdxn n n n i n e e e n n n →∞=-→∞→∞=∑⎛⎫⎰=⋅⋅⋅=== ⎪⎝⎭(2)lim n11013lim 112lim .n n i i xdxn n n e e e →∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑⎰===【例4】(1) 1limn i →∞=111nnni i i ===≤≤11lim lim 1.nnn n i i →∞→∞====由三明治定理，得1lim 1.nn i →∞==(2)1limnn i →∞=((11111lim lim ln ln 1.nnn n i i x n →∞→∞======+⎰(3)1limnn i →∞=)10111lim lim 21.nn n n i i n →∞→∞======⎰(4)21limnn i →∞=222111nn ni i i ===≤≤22111lim lim .3n n n n i i →∞→∞====故211lim.3nn i →∞==(5)11limnn i n i →∞=+∑()1100111111lim lim ln 1ln 2.11nn n n i i dx x i n i n x n→∞→∞=====+=+++∑∑⎰(6)21limn i nn i →∞=++∑2221111nn ni i i i i in n n n n i n n ===≤≤++++++∑∑∑ 22111lim lim .12nnn n i i i i n n n n n →∞→∞====++++∑∑ 故211lim.2nn i i n n i →∞==++∑ (7) 221limnn i n n i →∞=+∑ 1102222011111lim lim arctan .141nnn n i i n dx x n i n x i n π→∞→∞======++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑⎰(8) 221lim1nn i n n i →∞=++∑()22222211111nnni i i nn nn i n i ni ===≤≤+++++∑∑∑()1222220111lim lim .141nnn n i i nn dx n i x n i π→∞→∞=====++++∑∑⎰【例5】(1)2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭222sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111112n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+++≤+++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪++++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1022sin sin sin sin sin sin 2lim lim sin .111n n n n n n n n n n xdx n n n n n n ππππππππ→∞→∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++=+++== ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2sin sin sin 2lim .1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪+++=⎪+ ⎪++⎝⎭(2)21tanlim nn i i n n n i →∞=+∑222111tann tan tan 1n n ni i i i i in n n n n n n n i n ===≤≤+++∑∑∑1100222111tantan tanlim lim lim tan ln cos lncos1.1n n n n n n i i i i i in n n n n n xdx x n n n n →∞→∞→∞=======-=-++∑∑∑⎰【例6】(1)1lim 1nn i →∞=⎫⎪⎪⎭∑111lim 1lim .4nn n n i i →∞→∞==⎫==⎪⎪⎭∑ (2)()1222411lim n n n i n i n →∞=+∏()()()12222421011limln 2ln 12242arctan 2411lim25.n n n i n i nn nx dx n i niee e n →∞=⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦→∞=∏⎰+===∏题型四 数列极限的存在性【例1】(1)设111,0n a a +=+=，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞.121,0a a ==设1k k a a +≤，则≤21k k a a ++≤由数学归纳法得{}n a 递减下面证明n a ≥显然112a ≥-设12k a +≥-则12+≥-，即112k a +≥-由数学归纳法得n a ≥由单调有界必收敛得{}n a 收敛.设lim ,n n a A →∞=两边取极限得0A =，即A =(2) 123a a a === ，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞.lim 2.n n a →∞=(3) 设1111,2n n n a a a a a a +⎛⎫=>=+ ⎪⎝⎭，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞. lim n n a →∞=(4) 设1103,n a a +<<={}n a 收敛，并求lim n n a →∞.3lim .2n n a →∞= 【例2】设)(x f 是区间[)0,+∞上单调减少且非负的连续函数，()()()11,1,2,nnn k a f k f x dx n ==-=∑⎰…证明数列{}n a 的极限存在.()()()()1111110n n n n nna a f n f x dx f n f n dx +++-=+-≤+-+=⎰⎰，即{}n a 递减.()()()()()()23112112nn n k a f k f x dx f f x dx f f x dx ==-=-+-+∑⎰⎰⎰()()()()110.nn f n f x dx f n f n -+--+≥≥⎰故{}n a 有下界.由单调有界定理，{}n a 的极限存在.题型五 含参数的极限【例1】确定,,a b c 值，使()()3sin lim0ln 1x x bax xc c t dtt→-=≠+⎰. 【分析】分式极限不为0，分子趋于0，则分母趋于0，故0.b =()()()233000sin cos cos limlimlim 0ln 1ln 1x x x x ax xa x a xc c x t x dttx→→→---===≠++⎰故11,.2a c ==【例2】()()22ln 1lim2x x ax bx x →+-+=，求,a b .【分析】()()()()222222001ln 12lim lim 2x x x x o x ax bx x ax bx x x →→-+-++-+==故51,.2a b ==-题型六 含变积分限的极限【例1】设()(),g f x x 连续，且()()()g 0f x x x → ，又lim ()0x ax ϕ→=，证明：()()()()()0x x f t dt g t dt x a ϕϕ→⎰⎰.【例2】设)(x f 是[)0,+∞上的连续函数，且满足()2lim 1x f x x →+∞=，求()()220limxx t x e e f t dtf x -→+∞⎰.【分析】()()()()()222222222limlimlimxxxxttt xxx x x ee f t dte f t dte f t dt xf x x e f x x e -→+∞→+∞→+∞=⋅=⎰⎰⎰()()()2222221limlim .22222xxx x f x e f x x x x x xx e →+∞→+∞==⋅=++题型七 函数的连续与间断【例1】设()()()f x x ϕ-∞+∞和在内有定义，()f x 为连续函数，且()()0,f x x ϕ≠有间断点，则 ( ). (A)()f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点(B)()2f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点(C)()f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点 (D)()()x f x ϕ必有间断点【分析】(D) 【例2】设函数nn x xx f 211lim)(++=∞→，讨论函数)(x f 的连续性与间断点.【分析】0,11,11()1,10,1x x x f x x x ≤-⎧⎪+-<<⎪=⎨=⎪⎪>⎩()f x 在1x =处是跳跃间断点，在其他区域均连续.【例3】求()sin sin sin lim sin x t xt x t f x x -→⎛⎫=⎪⎝⎭的间断点，并判别其类型.【分析】()sin sin sin sin lim .sin xx t xxt x t f x e x -→⎛⎫== ⎪⎝⎭其中,,0x k k Z k π=∈≠且为第二类间断点，0x =为可去间断点.。

第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x xϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。

解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e xϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设1,1,()0,1,(),1,1,xx f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x ,并作出这两个函数的图形。

(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。

性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。

性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。

性质3(收敛数列的保号性) 如果lim nn xa→∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N+∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim nn n n xa yb →∞→∞==那么(1)()lim nn n xy a b →∞±=±;(2)lim nn n xy a b→∞∙=∙;(3)当0()nyn N +≠∈且0b ≠时,limn n nx a y b→∞=.例3 若 lim nn xa→∞=,则 limn n x a→∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)nnx =-, 显然1limn n x →∞=,但数列(1)nnx=-没有极限。

高等数学完整全套教学课件一、教学内容1. 极限与连续数列极限的定义及性质函数极限的定义及性质无穷小、无穷大的概念极限的运算法则函数在一点处的连续性定义函数在区间上的连续性2. 导数与微分导数的定义及几何意义基本导数公式高阶导数微分的定义及运算法则隐函数、参数方程函数求导3. 微分中值定理与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则泰勒公式函数的单调性、凹凸性、极值和最值二、教学目标1. 掌握极限、导数、微分等基本概念及其性质、运算法则。

2. 能够运用微分中值定理解决实际问题，分析函数的性质。

3. 培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：极限、导数、微分等概念的理解；微分中值定理的应用。

2. 教学重点：极限、导数、微分的基本性质和运算法则；函数的单调性、凹凸性、极值和最值的求解。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、笔记本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入通过实际案例，如物体的运动轨迹、温度变化等，引出极限、导数、微分等概念。

2. 例题讲解选取具有代表性的例题，详细讲解极限、导数、微分的基本性质和运算法则。

结合图形，解释函数的单调性、凹凸性、极值和最值的概念。

3. 随堂练习布置与例题难度相当的练习题，让学生巩固所学知识。

对学生进行个别辅导，解答疑问。

4. 课堂小结六、板书设计1. 极限、导数、微分的基本概念及性质。

2. 极限、导数、微分的运算法则。

3. 微分中值定理及其应用。

4. 函数的单调性、凹凸性、极值和最值。

七、作业设计1. 作业题目求下列函数的极限、导数、微分。

判断下列函数的单调性、凹凸性，并求极值、最值。

2. 答案详细的解答过程和答案。

八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生研究更高级的微积分概念，如泰勒级数、场论等。

鼓励学生参加数学竞赛、数学建模等活动，提高数学素养。

重点和难点解析1. 教学内容的布局与组织2. 教学目标的设定3. 教学难点与重点的识别4. 教学过程的实践情景引入5. 例题讲解的深度和广度6. 板书设计的清晰度与逻辑性7. 作业设计的针对性与答案的详细性8. 课后反思与拓展延伸的实际效果详细补充和说明：一、教学内容的布局与组织教学内容应遵循由浅入深、循序渐进的原则。

第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。

解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e x ϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设 1,1,()0,1,(),1,1,x x f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这两个函数的图形。

(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。

性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。

性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。

性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞→∞==那么(1)()lim n n n x y a b →∞±=±;(2)lim n n n x y a b →∞•=•;(3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,limn n n x a y b→∞=.例3 若lim nn xa →∞=,则lim nn xa →∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)n n x =-, 显然1lim n n x →∞=,但数列(1)n n x =-没有极限。

第3讲导数与微分高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。

3.1导数的概念一、函数的变化率x ∆y =x 在0→∆x )(x f 关于自变量x 的变化率，记作)(0x y '，或)(0x f '这时，称函数)(x f y =在点0x 处是可导的。

根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。

例1根据导数定义求c y =在点x 处的导数。

解根据定义求导数通常分三步： （Ⅰ）求)()(00x f x x f y -∆+=∆：（Ⅱ）求xy∆∆： （Ⅲ）求xyx ∆∆→∆0lim ：因此得出0)(='x y 。

如果函数)(x f 在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数(f ')在点x =因此得出2)(xx f -='。

这个结果可以写成111)1()(----='x x 。

例5根据导数定义求x x f =)(在点x 处的导数。

解按照由定义求导数的步骤：因此得出xx f 21)(='。

这个结果可以写成1212121)(-='x x从这两个例子可以看出公式1)(-='n n nx x 不仅在n 为自然数时成立，而且当1-=n 和21=n 时也成立。

因此我们不妨认为对任意实数α，有1)(-='αααx x 。

下面再来看一下利用重要极限求基本初等函数导数的例子，为此先给出第2个重要极限的另一种形式 的另一种形式是且 且下面我们给出基本初等函数的导数公式 三、导数的几何意义 从下面这个图中我们可以看出，函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '，就是函数曲线)(x f y =在过点))(,(00x f x 处的切线的斜率。

这样便可得到切线的方程例8求函数x x f sin )(=在点)23,3π(处的切线方程。

解x x f cos )(='，所以213πcos 3π(=='f 。

高等数学教材讲义第一章导数与微分1.1 导数的定义与性质在这一节中，我们将介绍导数的定义及其基本性质。

导数是描述函数变化率的重要概念，它与切线的斜率密切相关。

我们将详细解释导数的定义，并通过例题演示如何求取导数。

1.2 常见函数的导数本节将探讨一些常见函数的导数计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及其他一些常见函数。

我们将给出这些函数的导数公式，并通过具体例子进行说明和求解。

1.3 高阶导数在这一节中，我们将讨论高阶导数及其应用。

高阶导数描述了函数变化率变化的速度，它可以帮助我们更全面地理解函数的性质。

我们将介绍高阶导数的定义和计算方法，并通过实例说明如何应用高阶导数解决实际问题。

第二章积分与定积分2.1 不定积分与原函数这一节我们将引入不定积分的概念，并介绍原函数的定义及其计算方法。

不定积分是求解定积分的重要步骤，它可以帮助我们找到函数的原始形式。

我们将详细解释不定积分的定义和性质，并通过实例演示如何求取原函数。

2.2 定积分的概念与性质在这一节中，我们将介绍定积分的概念和性质。

定积分描述了函数在一定区间内的累积变化量，它可以用来计算曲线下的面积、求解平均值等。

我们将详细讲解定积分的定义和性质，并通过例题演示如何求解定积分。

2.3 定积分的计算方法本节将讨论定积分的计算方法，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。

这些方法可以帮助我们解决各种形式的定积分问题。

我们将给出这些方法的具体步骤，并通过实例演示如何应用它们求解定积分。

第三章微分方程3.1 微分方程的基本概念在这一节中，我们将介绍微分方程的基本概念和分类。

微分方程是描述变量之间关系的方程，它在自然科学和工程技术中具有广泛应用。

我们将详细解释微分方程的定义和分类，并通过例题演示如何求解微分方程。

3.2 常微分方程本节将讨论常微分方程的求解方法。

常微分方程是最常见的微分方程类型之一，它描述了未知函数及其导数之间的关系。

高等数学讲义教材第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是数学中最基本的概念之一，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。

函数可以用公式、图表或者图形来表示。

在这一章中，我们将介绍函数的定义、分类以及常见的函数性质。

1.2 极限的概念与性质极限是数学分析的重要概念之一。

它描述了随着自变量趋近某个值时，函数的变化趋势。

在这一节中，我们将介绍极限的定义、性质以及常见的求解方法。

第二章导数与微分2.1 导数的定义与求导法则导数是描述函数在某一点上的变化率的概念。

它可以用于求解函数的最大值、最小值以及函数的图像特征。

在这一节中，我们将介绍导数的定义、求导法则以及常见的导数计算方法。

2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种应用形式，它可以用于求解函数在某一点上的近似变化量。

在这一节中，我们将介绍微分的概念、微分的计算方法以及微分在实际问题中的应用。

第三章积分与定积分3.1 积分的定义与性质积分是导数的反向运算，它可以用于计算曲线下面的面积、求解定积分以及求解函数的原函数。

在这一章中，我们将介绍积分的定义、性质以及常见的积分计算方法。

3.2 定积分的定义与应用定积分是积分的一种特殊形式，它可以用于求解曲线下面的面积、计算曲线的长度以及求解函数的平均值。

在这一节中，我们将介绍定积分的定义、定积分的计算方法以及定积分在实际问题中的应用。

第四章微分方程4.1 微分方程的基本概念微分方程是描述自变量、函数及其导数之间关系的方程。

它在物理学、工程学以及经济学中有着广泛的应用。

在这一节中，我们将介绍微分方程的基本概念、分类以及常见的解法方法。

4.2 常微分方程的解法常微分方程是一类特殊形式的微分方程，它可以用一些常见的解法方法进行求解。

在这一节中，我们将介绍常微分方程的解法思路、常微分方程的解法技巧以及常微分方程在实际问题中的应用。

结语高等数学是大学数学学科中的重要课程之一。

通过学习这门课程，我们可以深入理解函数与极限、导数与微分、积分与定积分以及微分方程等概念与方法，为今后的学习与研究打下坚实的数学基础。

《高等数学讲义》（上、下册）--目录---樊映川《高等数学讲义》（上、下册）樊映川等编第一篇解析几何第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化第五章极坐标1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例12.平面束的方程第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I.常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T-函数II.函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。