导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(2013高考数学真题分类)

导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8xe e xf x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ） .A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值.C 既有极大值又有极小值.D 既无极大值也无极小值 【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。

【解析】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x-¢=-=， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x x x e x f x xf x e e e x x 则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g xf x x ¢=, 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ） A.]0,(-∞ B. ]1,(-∞ C. ]1,2[- D.]0,2[-【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.B项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =-- 将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C.4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( )A.3B.4C. 5D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。

因为2'()32f x x ax b =++，函数的两个极值点为12,x x ，所以12()0,()0f x f x ''==，所以12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，所以解方程23(())2()0f x af x b ++=得12()()f x x f x x ==或，由上述可知函数f(x)在(-∞,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减.又f(x 1)=x 1<x 2,如图,数形结合可知f(x)=x 1有两个不同实根,f(x)=x 2有一个实根,所以不同实根的个数为3.5.（2013·安徽高考理科·Ｔ10）若函数32()=+a +bx+f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是( )A.3B.4C. 5D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。

因为2'()32f x x ax b =++，函数的两个极值点为12,x x ，所以12()0,()0f x f x ''== ，所以12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，所以解方程23(())2()0f x af x b ++=得12()()f x x f x x ==或，不妨设 12.x x <由题意知函数f(x)在(-∞,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减.又f(x 1)=x 1<x 2,如图,数形结合可知f(x)=x 1有两个不同实根,f(x)=x 2有一个实根,所以不同实根的个数为3.6.（2013·湖北高考理科·Ｔ10）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A. 121()0,()2f x f x >>-B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><-D. 121()0,()2f x f x <>-【解析】选D. 1f '(x)ln x ax x(a)ln x 12ax(x 0)x =-+-=+->，令0)('=x f ，由题意可得12ln -=ax x 有两个实数解x 1,x 2⇔函数g(x)=lnx+1-2ax 有且只有两个零点⇔g(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0, g'(x)=1x -2a=12ax ,x - . ①当a ≤0时,g (x)'>0, f (x)'单调递增,因此g(x)= f (x)'至多有一个零点,不符合题意,应舍去.②当a>0时,令g (x)'=0,解得x=1,2a 因为1(0,),g (x)02a x ∈'>，,函数g(x)单调递增; 1(,)2ax +∞∈时，g (x)0'<，函数g(x)单调递减. 所以x=12a 是函数g(x)的极大值点,则g 12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭>0, 即ln 12a+1-1=-ln(2a)>0, 所以ln(2a)<0,所以0<2a<1,即0<a<12因为0<x 1<12a <x 2, 所以f'(x 1)=lnx 1+1-2ax 1=0,f'(x 2)=lnx 2+1-2ax 2=0.则f(x 1)=x 1(lnx 1-ax 1)=x 1(2ax 1-1-ax 1)=x 1(ax 1-1)< 111a 10,2a 2a 2a ⎛⎫⨯-=-< ⎪⎝⎭f(x 2)=x 2(lnx 2-ax 2)=x 2(ax 2-1)>1×111a 11.2a 22a ⎛⎫⎛⎫⨯-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7. （2013·天津高考文科·Ｔ8）设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ）A.()0()g a f b << B. ()0()f b g a << C. 0()()g a f b << D. ()()0f b g a <<【解题指南】先由()0,()f a g b ==确定a,b 的大小，再结合22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=的单调性进行判断.【解析】选A. 因为0,(1)'=+>x f x e 所以()2=+-x f x e x 在其定义域内是单调递增的，由()0=f a 知01,<<a 又因为0>x ，1()20'=+>g x x x ，故2()l n 3=+-g x x x 在(0,)+∞上也是单调递增的，由 ()0=g b 知12<<b ，所以()()0<=g a g b ，0()()=<f a f b ，因此()0()g a f b <<。

8.(2013·浙江高考理科·T8)已知e 为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x -1)(x-1)k (k=1,2),则 ( )A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【解题指南】当k=1,2时,分别验证f '(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.【解析】选C.当k=1时,f ′(x)=e x (x-1)+e x -1,此时f'(1)≠0,故排除A,B;当k=2时,f'(x)=e x (x-1)2+(e x -1)(2x-2),此时f'(1)=0,在x=1附近左侧,f'(x)<0,在x=1附近右侧,f'(x)>0,所以x=1是f(x)的极小值点.9.(2013·浙江高考文科·T8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f '(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( )【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质.【解析】选B.因为f '(x)>0(x ∈(-1,1)),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x ∈(-1,0)时,f '(x)为增函数,x ∈(0,1)时,f '(x)为减函数,所以选B.10. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ10）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A.9B.6C.-9D.-6【解题指南】先对函数求导，将x=-1代入到导函数中即可求出a 的值.【解析】选D.由题意可知，点)2,1(+-a 在曲线上，因为ax x y 243+='，则8)1(2)1(43=-⨯+-⨯a ，解得6-=a二、填空题11. （2013·广东高考文科·Ｔ12）若曲线y=ax 2-lnx 在点(1,a)处的切线平行于x 轴,则a= .【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可先求导.【解析】对y=ax 2-lnx 求导得12y ax x'=-,而x 轴的斜率为0,所以在点(1,a)处切线的斜率为1210x y a ='=-=,解得12a =. 【答案】12.12. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ16）若函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图像关于直线2-=x 对称，则)(x f 的最大值为_______.【解题指南】首先利用数)(x f 的图像关于直线2-=x 对称求出b a ,的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解.【解析】因为函数)(x f 的图像关于直线2-=x 对称，所以)4()0(-=f f ，得a b 15604+-=，又a x b ax x x f +-+--=')1(234)(23，而0)2(=-'f ，0)2()1(2)2(3)2(423=+-⨯-+---⨯-a b a .得28411=-b a 即⎩⎨⎧=-+-=2841115604b a a b ，解得8=a ，15=b . 故)158)(1()(22++-=x x x x f ，则828244)(23+---='x x x x f )276(423-++-=x x x)14)(2(42-++-=x x x令0)(='x f ，即0)14)(2(2=-++x x x ，则2-=x 或52--=x 或52+-. 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：=--)52(f ]15)52(8)52][()52(1[22+--⨯+-----=16)548)(854(=---=+-)52(f ]15)52(8)52][()52(1[22++-⨯++-+--=16)548)(854(=+-故)(x f 的最大值为16.【答案】16三、解答题13. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ21）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【解析】（I ）当=a 2-时，1323)(23++-=x x x x f ，3263)(2+-='x x x f .令0)(='x f ，得121-=x ，122+=x . 当)12,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 在)12,(--∞是增函数； 当)12,12(+-∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 在)12,12(+-是减函数； 当),12(+∞+∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),12(+∞+是增函数. （II ）由0)2(≥f 得45-≥a . 当45-≥a ，),2(+∞∈x 时，)125(3)12(3)(22+-≥++='x x ax x x f 0)2)(21(3>--=x x ， 所以)(x f 在),2(+∞是增函数，于是当),2(+∞∈x 时，0)2()(≥≥f x f . 综上，a 的取值范围是),45[+∞-.14. （2013·江苏高考数学科·Ｔ20）设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x -=)(，其中a 为实数。