2.4.1 抛物线及其标准方程1.抛物线y=-x2的准线方程是( C )(A)x=(B)x=(C)y=2 (D)y=4解析:将y=-x2化为标准形式为x2=-8y,由此可知准线方程为y=2.故选C.2.抛物线x=-8y2的焦点坐标是( A )(A)(-,0) (B)(-2,0) (C)(,0) (D)(0,-2)解析:y2=-x,可知焦点坐标为(-,0),故选A.3.经过(1,2)点的抛物线的标准方程是( C )(A)y2=4x (B)x2=y(C)y2=4x 或x2=y (D)y2=4x 或x2=4y解析:若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=2px,将(1,2)代入即4=2p,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x,若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=2py,将(1,2)代入即1=4p,解得p=,所以抛物线方程为x2=y,综上可知,抛物线的方程为y2=4x或x2=y.故选C.4.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( B )(A)4 (B)6 (C)8 (D)12解析:由抛物线的方程得==2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为4+2=6.故选B.5.设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为( A )(A)x=-4 (B)x=-3 (C)x=-2 (D)x=-1解析:把y=0代入2x+3y-8=0得:2x-8=0,解得x=4,所以抛物线的焦点坐标为(4,0),所以抛物线的准线方程为x=-4,故选A.6.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标为( B )(A)(2,2±) (B)(1,±2)(C)(1,2) (D)(2,2)解析:由题意知F(1,0),设A(x0,y0),=(1-x0,-y0).·=-+x0-=-4,即+-x0-4=0, ①又因为点A在抛物线上,所以=4x0. ②由①②联立得A(1,±2).故选B.7.已知动点P(x,y)满足=,则点P的轨迹是( B )(A)两条相交直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆解析:可看作动点P(x,y)到定点(1,2)的距离d1,而可看作是动点P(x,y)到直线3x+4y+12=0的距离d2,则d1=d2,故由抛物线定义可知P点的轨迹是抛物线.故选B.8.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( A )(A)2 (B)3 (C) (D)解析:易知直线l2:x=-1恰为抛物线y2=4x的准线,如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为PF的长度,其中F(1,0)为抛物线y2=4x的焦点.由图可知,距离和的最小值,即F 到直线l1的距离d==2.故选A.9.若双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则m= .解析:因为抛物线焦点为(3,0),所以=3且m>0,则m=6.答案:610.抛物线x=y2的焦点坐标是.解析:方程改写成y2=4mx,得2p=4m,所以p=2m,即焦点(m,0).答案:(m,0)11.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是.解析:由抛物线定义可知抛物线y2=12x上的点(x,y)与焦点的距离为x+3,由已知,可得x=3,代入抛物线方程可得y=±6.答案:(3,6)或(3,-6)12.F是抛物线x2=2y的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,则线段AB的中点到x轴的距离为.解析:如图,|AF|+|BF|=6,由抛物线的定义即|AD|+|BE|=6,又线段AB的中点到抛物线准线y=-的距离为(|AD|+|BE|)=3,所以线段AB的中点到x轴的距离为.答案:13.求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点M(-6,6);(2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上.解:(1)由于点M(-6,6)在第二象限,所以过M的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左,焦点在x轴上,设其方程为y2=-2px(p>0),将点M(-6,6)代入,可得36=-2p×(-6),所以p=3.所以抛物线的方程为y2=-6x.若抛物线开口向上,焦点在y轴上,设其方程为x2=2py(p>0),将点M(-6,6)代入可得,36=2p×6,所以p=3,所以抛物线的方程为x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.(2)①因为直线l与x轴的交点为(2,0),所以抛物线的焦点是F(2,0),所以=2,所以p=4,所以抛物线的标准方程是y2=8x.②因为直线l与y轴的交点为(0,-3),即抛物线的焦点是F(0,-3),所以=3,所以p=6,所以抛物线的标准方程是x2=-12y.综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y.14.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,若抛物线上一动点P到A(2,),F两点距离之和的最小值为4,求抛物线C的方程.解:如图,设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),其准线为x=-,过点P作准线的垂线,垂足为H,由抛物线定义知|PH|=|PF|.当H,P,A三点共线时,|PA|+|PF|最小.所以|PF|+|PA|的最小值为+2=4,p=4,即抛物线C的方程为y2=8x. 15.一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过截面为抛物线形的隧道,已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值.解:以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴,建立直角坐标系,如图所示. 设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点B的坐标为(,-),由点B在抛物线上,得()2=-2p(-),所以p=,所以抛物线方程为x2=-ay.将点(0.8,y)代入抛物线方程,得y=-.欲使卡车通过隧道,应有-|y|=->3.解得a>6+≈12.21或a<6-≈-0.21(舍去).所以a的最小整数值为13.16.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( C )(A)2 (B)2 (C)2 (D)4解析:由抛物线定义可知|PF|=x P+=4,可得x P=3.所以y P=±2.所以S△POF=|OF|·|y P|=2.故选C.17.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( A )(A)抛物线(B)双曲线(C)椭圆(D)圆解析:由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.18.如图,南北方向的公路l,A地在公路正东2 km处,B地在A北偏东60°方向2 km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等.现要在曲线PQ上一处建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从M到A,到B修建费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是万元.解析:依题意知曲线PQ是以A为焦点,l为准线的抛物线,根据抛物线的定义知:欲求从M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B到直线l距离即可.因为B地在A地北偏东60°方向2 km处,所以B到点A的水平距离为3 km,所以B到直线l距离为3+2=5(km),那么修建这两条公路的总费用最低为5a万元.答案:5a19.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.名师点拨:由∠ACB为直角,可得·=0,由此可建立a与点C的横坐标之间的关系式.解析:设C(m,m2),由题意可知A(-,a),B(,a),所以=(m+,m2-a),=(m-,m2-a),因为该抛物线上存在点C使∠ACB为直角,所以·=(m+)(m-)+(m2-a)2=0,所以m2-a+(m2-a)2=0,即(m2-a)(m2-a+1)=0,因为m≠,所以m2-a+1=0,所以a=m2+1≥1,所以a的取值范围为[1,+∞).答案:[1,+∞)20.若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,求M点到y轴的最短距离.解:设抛物线焦点为F,连接AF,BF,如图抛物线y2=2x的准线为l:x=-,过A,B,M分别作AA′,BB′,MM′垂直于l,垂足分别为A′,B′,M′.由抛物线定义,知|AA′|=|FA|,|BB′|=|FB|.又M为AB中点,由梯形中位线定理,得|MM′|=(|AA′|+|BB′|)=(|FA|+|FB|)≥|AB|=×3=.则x≥-=1(x为M点的横坐标,当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号),所以x min=1,即M点到y轴的最短距离为1.。
2.4.1抛物线及其标准方程高二数学选修2-1,三维设计,三章全部。
2.4.1 抛物线及其标准方程如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．问题3：点D 在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|＝|DC|.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点Fl.平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1，0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1，l4：y＝1.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝4x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝－4x.问题3：到定点C和定直线l3，到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？提示：x2＝4y，x2＝－4y.高二数学选修2-1,三维设计,三章全部。
抛物线标准方程的几种形式1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线．2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点取决于一次项，开口取决于正负号，即标准方程中，如果含的是x的一次项，则焦点就2p2p2p2p在x或－，相应的准线是x＝－或x＝)；如果含的是4444y的一次项，有类似的结论．3．抛物线标准方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离．[例1] (1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．[思路点拨] 确定抛物线的类型→设出标准方程→确定参数→写出方程高二数学选修2-1,三维设计,三章全部。
