当前位置：文档之家 › 线性代数论文《矩阵在实际中的应用》

线性代数论文《矩阵在实际中的应用》

  • 格式：doc
  • 大小：164.00 KB
  • 文档页数：11

######学院 矩阵的实际应用

课 程 题 目 ： 线性代数 专 业 班 级 ： 成 员 组 成 ：

联 系 方 式 ：

2012年 11月 1 日 矩阵的实际应用 摘 要 ：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天，数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。

关 键 词 ：线性代数 矩阵 实际 应用 Abstract: From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform.

Keywords: linear algebra matrix practical application 正 文 ： 1、 引言 数学作为一门相当重要的学科，在人类发展历史中一直扮演着必不可少的角色，它凝聚了每一代聪明智慧的人们的结晶。数学应用的领域遍及我们日常生活的每个部分，数学是我们的基本功，是每个人或多或少都应该懂的知识。数学是一门神奇的学科，它有着迷人的魅力，让一代又一代的数学爱好者为之痴迷，他们在这方面也做出不朽的贡献。如今，我们将带着好奇的心走进数学领域中的一门有趣的课——《线性代数》，其中我们将对矩阵的应用做简要的介绍。矩阵是一个大家听起来很陌生的次，但它简单易懂而且在生活中有重要的作用。下面我们将举例论述矩阵在实际生活中的应用。

2、 实际应用举例 2.1生产成本计算 在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。但是得到的原始数据往往纷繁杂乱，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。

例1.某工厂生产三种产品A、B、C。每种产品的原料费、支付员 工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、 每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。

表1.生产单位产品的成本（元） 表2.每种产品各季度产量（件）

解 我们用矩阵的方法考虑这个问题。两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。如下所示：

通过矩阵的乘法运算得到 MN的第一行元素表示了四个季度中每个季度的原料总成本；

成本 产品 A B C 原料费用 10 20 15 支付工资 30 40 20 管理及其他费用 10 15 10

产品 季度 春季 夏季 秋季 冬季 A 2000 3000 2500 2000 B 2800 4800 3700 3000 C 2500 3500 4000 2000



101510204030152010M



200040003500250030003700480028002000250030002000N





8500012050011000087000220000303000352000222000110000159000178500113500MN MN的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本； MN的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。

MN的第一列表示了春季生产三种产品的总成本；

MN的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本；

MN的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本；

MN的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。

对总成本进行汇总，每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到，每一季度的总成本可由每一列相加得到。如下表： 表3. 总成本汇总表 季度 春季 夏季 秋季 冬季 全年 原料费 113500 178500 159000 110000 561000 支付工资 222000 352000 303000 220000 1097000 管理费及 其他 87000 110000 120500 85000 402500

合计 422500 640500 582500 415000 2060500 这样，我们就利用矩阵的乘法把多个数据表汇总成一个数据表。从而比较直观地反映了该工厂生产的成本。

2.2人口流动问题 例2.假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明： （1） 在这40万就业人员中，目前约有25万人从事农业，10万人从事工业，5万人经商； （2） 在务农人员中，每年约有10%改为务工，10%改为经商； （3） 在务工人员中，每年约有10%改为务农，20%改为经商； （4） 在经商人员中，每年约有10%改为务农，20%改为务工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。 解 若用三维向量(xi,yi,zi)T表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知(x0,y0,z0)T=(25，10，5)T。而欲求(x1,y1,z1)T，(x2,y2,z2)T 并考察在n→∞时(xn,yn,zn)T的发展趋势。 依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为

即：

以(x0,y0,z0)T=(25，10，5)T代入上式，即得: 即一年业人员的人数分别为21.5万10.5万、8万人。 以及





0001000100017.02.01.02.07.01.01.01.08.0zyxZzyxYzyxX



000000111

7.02.01.02.07.01.01.01.08.0zyxAzyxZY

X



85.105.21111ZYX



85.91.1105.190002111222zyxAzyxAZYX 即两年后从事各业人员的人数分别为19.05万、11.1万、9.85万人。进而推得：

即n年之后从事各业人员的人数完全由 决定。

在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。

2.3应用矩阵编制Hill密码 密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用。在密码学中将信息代码称为密码，没有转换成密码的文字信息称为明文，把密码表示的信息称为密文。从明文转换为密文的过程叫加密，反之则为解密。现在密码学涉及很多高深的数学知识。 1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。 假设我们要发出“attack”这个消息。首先把每个字母a，b，c，d……x，y，z映射到数1，2，3，4……24，25，26。例如1表示a，3表示c，20表示t，11表示k，另外用0表示空格，用27表示句号等。于是可以用以下数集来表示消息“attack”：



112032011M



000111zyxAzyxAZYXnnnnnnn

nA

11,3,1,20,20,1

合集下载

我看矩阵在实际生活中地指导应用

我看矩阵在实际生活中地指导应用

矩阵在实际生活中的应用华中科技大学文华学院城市建设工程学部环境工程1班丛目录摘要 (3)实际应用举例 (4)论文总结 (15)参考文献 (16)摘要：随着现代科学的发展，数学在经济中广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的因素之一，马克思曾说过：“一门学科只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”。

下面通过具体的例子来说明矩阵在经济生活中、人口流动、电阻电路、密码学、文献管理的应用。

关键词：矩阵、人口流动、电阻电路、密码学、文献管理一：矩阵在经济生活中的应用1．“活用”行列式定义定义：用符号表示的n阶行列式D指的是n!项代数和，这些项是一切可能的取自D不同行与不同列上的n个元素的乘积的符号为。

由定义可以看出。

n阶行列式是由n!项组成的，且每一项为来自于D中不同行不同列的n个元素乘积。

实例1：某市打算在第“十一”五年规划对三座污水处理厂进行技术改造，以达到国家标准要求。

该市让中标的三个公司对每座污水处理厂技术改造费用进行报价承包，见下列表格(以1万元人民币为单位)．在这期间每个公司只能对一座污水处理厂进行技术改造，因此该市必须把三座污水处理厂指派给不同公司，为了使报价的总和最小，应指定哪个公司承包哪一座污水处理厂?设这个问题的效率矩阵为，根据题目要求，相当于从效率矩阵中选取来自不同行不同列的三个元素“和”中的最小者!从行列式定义知道，这样的三个元素之共有31=6(项)，如下：由上面分析可见报价数的围是从最小值54万元到最大值58万元。

由④得到最小报价总数54万元，因此，该城市应选定④即2．“借用”特征值和特征向量定义：“设A是F中的一个数．如果存在V中的零向量，使得，那么A就叫做的特征值，而叫做的属于本征值A的一个特征向量。

实例2：发展与环境问题已成为21世纪各国政府关注和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设是某地区目前的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位)，是目前的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位)．若干年后(例如5年后)的污染水平和工业发展水平分别为和它们之间的关系为试分析若干年后的污染水平和工业发展水平。

浅谈矩阵的应用

浅谈矩阵的应用

浅谈矩阵的应用作者摘要：矩阵是数学的重要研究工具之一，其应用很广泛，矩阵的应用对于矩阵理论以及数学发展有着非常重要的作用。

本论文主要讨论了矩阵在不同领域中的应用，有非常重要的理论及现实意义。

本研究的开展以文献研究法为基础，通过具体实例来将矩阵在不同领域当中的应用问题解决。

主要讨论的矩阵应用领域主要有经济生活、密码学、交通运输、文献管理以及在解方程组、矩阵秩、在计算机中、向量组秩领域。

关键词：矩阵；应用；线性方程组1 引言在汉代《九章算术》当中就已经提出了矩阵的概念，但并非为独立概念，主要是在实际的问题当中进行应用。

至19世纪末，其概念逐渐形成。

到了20世纪开始，矩阵迅速发展，且遍布生活的每个领域当中，随着现代科学的发展，矩阵在经济中广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的因素之一，矩阵的应用是具备重要的现实意义的，在不同领域当中都会有它的身影[1]。

高校中的必须科目就是代数学，而矩阵的应用也是代数学的重要载体之一。

因此，了解且掌握矩阵的应用，对于解决代数学等问题尤为重要。

本文也将对有关矩阵应用的内容进行了解，并通过具体的例子来说明矩阵在经济学、密码学、交通运输、文献管理以及在解方程组、矩阵秩、在计算机中、向量组秩等方面的应用。

2.预备知识由nm 个数a(1,2,..j.=1.2...n)排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m行n矩阵。

只有一行的矩阵A=aa...a)称为行矩阵或行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量。

矩阵计算的合适出发点是矩阵与矩阵的乘法。

这一问题在数学上虽然简单,但从计算_上来看却是十分丰富的。

矩阵相乘可以有好几种不同的形式，还将引入矩阵划分的概念，并将其用来刻画计算上的几种线性代数的“级”。

如果一个矩阵具有某种结构，则它常常可以加以利用。

例如一个对称矩阵，只需要一个一般矩阵的一半空间即可储存。

在矩阵乘向量中如果矩阵有许多零元素，则可减少许多时间。

矩阵计算是基于线性代数运算的，点积运算包括标量的加法和乘法。

线性代数教学中的矩阵应用实例

线性代数教学中的矩阵应用实例

矩阵是线性代数中最基本的概念之一，也是解决数学问题和实际问题的一个强有力武器，但是，由于矩阵的教学中，教师往往注重定义、定理、推理和证明的教学，忽略矩阵实际应用的教学，从而影响学生对矩阵的进一步理解以及矩阵在解决问题中所发挥的巨大威力。

下面，我们略举在教学实践中的一些实例，以达到抛砖引玉之目的。

１、矩阵在密码学中的应用实例［２］古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码：在保留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下，把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第４个字母。

人们为了纪念恺撒德，就把这种密码称为恺撒密码。

但是恺撒密码有一个致命的缺陷，即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密文出现的频率是相通的。

１９２９年，Ｈｉｌｌ提出了一种克服恺撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新阶段。

下面举两个利用二阶矩阵的例子来说明Ｈｉｌｌ密码的加密与解密：例１ 请把Ｇｅｎｅｒａｌ　Ｒｏｂｅｒｔｓ　ｗａｓ　ｓｈｏｔ按照Ｈｉｌｌ密码的方法加密首先，把ａ，ｂ，ｃ，……，ｘ，ｙ，ｚ分别编号为１，２，３，……，２４，２５，０；其次，两两一组把明文分组，如果明文字母个数为奇数，则在最后随意加一字母；本例不妨在最后位置加一个字母ｔ：Ｏｕ ｒｍ ａｒ ｓｈ ａｌ ｗａ ｓｓ ｈｏ　ｔｔ；线性代数教学中的矩阵应用实例刘卫锋　周长芹　郑州航空工业管理学院数理系 ４５００１５第三，把分过组的字母按照编号转化为１×２数字矩阵ｑｉ：第五，每个ｐｉ的分量对２６取同余，得到ｐｉ（ｉ＝１，２，…１１）：第六，把这些余数矩阵转化为英文字母，这就得到了利用Ｈｉｌｌ方法加密后的密文：Ｕｓ　ｐｑ　ｂｋ　ｊＰ　ｓｆ　ｏｂ　ｈｇ　ｑｍ　ｅｅ　ｘｅ　ｈｈ。

例２ 请把刚才得到的密文Ｕｓ　ｐｑ　ｂｋｊＰ　ｓｆ　ｏｂ　ｈｇ　ｑｍ　ｅｅ　ｘｅ　ｈｈ解密。

２、矩阵在化学中的应用实例［３、４］化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。

矩阵理论在线性代数中的应用

矩阵理论在线性代数中的应用

矩阵理论在线性代数中的应用线性代数是数学中的一个分支，其研究对象是向量空间及其上的线性变换。

矩阵是线性代数中的一种重要的数学工具，可以用来描述线性变换，同时在数学、物理、工程等领域中有广泛应用。

矩阵理论在线性代数中的应用是非常重要的，本文将重点介绍矩阵理论在线性代数中的应用。

一、矩阵与线性变换在线性代数中，向量可以用矩阵来表示。

例如，在二维空间中，我们可以用二维向量表示一个点，也可以将这个二维向量表示成一个2 X 1的矩阵。

对于一个线性变换，它可以用一个矩阵来描述。

例如，在平面上的旋转和缩放变换可以用一个2 X 2的矩阵来表示。

对于一个向量，如果我们用一个矩阵乘以它，就可以得到它在变换后的位置。

二、矩阵的乘法在线性代数中，矩阵的乘法是非常重要的。

它不仅可以用来进行矩阵的变换，还可以用来解方程组等。

矩阵的乘法遵循结合律和分配律，但并不满足交换律，即AB与BA一般不相等。

所以，在矩阵的乘法中，注意乘法的次序是非常重要的。

三、矩阵的逆与行列式在线性代数中，矩阵的逆和行列式是非常重要的概念。

如果一个矩阵A存在逆矩阵B，则AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

逆矩阵可以用来解未知数的方程组。

行列式是一个矩阵中各列（或各行）的元素按一定顺序排列，所构成的代数和。

行列式的值可以用来判断矩阵是否可逆，同时也可以用来计算向量的长度和描述面积或体积等的概念。

在线性代数中，矩阵的逆和行列式的计算方法是非常重要的。

四、特征值与特征向量在线性代数中，特征值和特征向量是非常重要的概念。

对于一个矩阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x，使得Ax=λx，那么λ就是A的一个特征值，x就是对应于λ的特征向量。

特征值和特征向量可以用来描述矩阵的性质和稳定性，同时也可以用来解决线性微分方程和物理学中的问题。

五、奇异值分解奇异值分解是一种重要的矩阵分解方法，可以将一个任意的矩阵分解成三个矩阵相乘的形式，即A=UΣV^T，其中U、V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。