2008年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学理科 WORD 版

高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）（理科） 试题 2019.091,已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n = (Ⅰ)求tanA 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R)的值域.2,三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为111,,,543且他们是否破译出密码互不影响.(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.3,如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD,AB ⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O 为AD 中点. (Ⅰ)求证:PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值； (Ⅲ)求点A 到平面PCD 的距离.4,已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11n a +）（n ∈N*）在函数y=x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n+1=b n +2na ，求证：b n ·b n+2＜b 2n+1.5,已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.(Ⅰ)求m 、n 的值及函数y=f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a ＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.6,如图，椭圆2222:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l:x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M.(ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值.7,已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A ．(15)，B ．(13)，C ．D ． 8,记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ）A ．16B ．24C ．36D ．489,某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A ．24B ．18C ．16D ．1210,若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．4011,将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）12,已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝13,设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-14,在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+a b15,阅读图的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出a = ，i =（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”）16,已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．17,经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．18,已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．19,已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=<⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．20,已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 ．试题答案1, 解：（Ⅰ）由题意得 m ·n=sinA-2cosA=0,因为cosA ≠0,所以tanA=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-.当1sin 2x =时，f(x)有最大值32，当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2, 解：本小题考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力..记“第i 个人破译出密码”为事件A 1(i=1,2,3)，依题意有123111(),(),(),54.3P A P A P A ===且A 1，A 2，A 3相互独立.（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B ，则有B ＝A 1·A 2·3A ·A 1·2A ·A 3+1A ·A 2·A 3且A 1·A 2·3A ，A 1·2A ·A 3，1A ·A 2·A 3 彼此互斥于是P(B)=P(A 1·A 2·3A )+P （A 1·2A ·A 3）+P （1A ·A 2·A 3）＝314154314351324151⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝203. 答：恰好二人破译出密码的概率为203.（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C ，“密码未被破译”为事件D. D ＝1A ·2A ·3A ，且1A ，2A ，3A 互相独立，则有P （D ）＝P （1A ）·P （2A ）·P （3A ）＝324354⨯⨯＝52.而P （C ）＝1-P （D ）＝53，故P （C ）＞P （D ）.答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.3, 解：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.. 解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD 卡中PA ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD. 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD,AD=2AB=2BC ， 有OD ∥BC 且OD ＝BC ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OB ∥DC.由（Ⅰ）知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.因为AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，所以OB ＝2， 在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1，在Rt △PBO 中，PB ＝322=+OB OP , cos ∠PBO=3632==PBOB , 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为36.(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD ＝OB ＝2，在Rt △POC 中，PC ＝222=+OP OC ，所以PC ＝CD ＝DP ，S △PCD =43·2=23.又S △=,121=∙AB AD设点A 到平面PCD 的距离h ，由V P-ACD =V A-PCD ，得31S △ACD ·OP ＝31S △PCD ·h ， 即31×1×1＝31×23×h ， 解得h ＝332.解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）以O 为坐标原点，、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz. 则A （0，-1，0），B （1，-1，0），C （1，0，0）， D （0，1，0），P （0，0，1）.所以(1,1,0)CD =-(1,1,1)PB =--，cos ,3PB CD PB CD PB CD∙<>=＝，所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为36，（Ⅲ）设平面PCD 的法向量为n ＝（x 0,y 0,x 0）， 由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0）， 则 n ·＝0，所以 -x 0+ x 0=0,n ·＝0， -x 0+ y 0=0， 即x 0=y 0=x 0,取x 0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1). 又=(1,1,0).从而点A 到平面PCD 的距离d.33232==4, 解：本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，推理与运算能力.解法一：（Ⅰ）由已知得a n+1=a n +1、即a n+1-a n =1，又a 1=1, 所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列. 故a n =1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a n =n 从而b n+1-b n =2n . b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+···+（b 2-b 1）+b 1=2n-1+2n-2+···+2+1＝2121--n =2n -1.因为b n ·b n+2-b 21+n =(2n -1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n +1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n +4·2n =-2n ＜0, 所以b n ·b n+2＜b 21+n , 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b 2=1,b n ·b n+2- b 21+n =(b n+1-2n )(b n+1+2n+1)- b 21+n =2n+1·b n-1-2n ·b n+1-2n ·2n+1 ＝2n （b n+1-2n+1）=2n （b n+2n -2n+1）=2n （b n -2n ）=… =2n （b 1-2）=-2n 〈0， 所以b n -b n+2<b 2n+15, 解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……① 由f(x)=x 3+mx 2+nx-2，得f ′（x ）=3x 2+2mx+n,则g(x)=f ′(x)+6x=3x 2+(2m+6)x+n;而g(x)图象关于y 轴对称，所以－3262⨯+m ＝0，所以m=-3,代入①得n=0.于是f ′(x)＝3x 2-6x=3x(x-2). 由f ′(x)>得x>2或x<0,故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f ′(x)<0得0<x<2,故f(x)的单调递减区间是（0，2）. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f ′(x)＝3x(x-2), 令f ′(x)＝0得x=0或x=2.极大值极小值当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值； 当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a ≥3时，f(x)无极值.6, 解：本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力。

2008年普通高等学校统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知0<a<2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z|的取值范围是（ ）A. （1，5）B. （1，3）C. （1D. （12、记等差数列{a n }的前n 项和为S n 。

若a 1=1/2，S 4=20，则S 6 =（ ）A. 16B. 24C. 36D. 48 3、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表。

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19。

现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ） A. 24 B. 18 C. 16 D. 124、若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 90B. 80C. 70D. 405、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、 C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如 图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图 （或称左视图）为（ ）6、已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B. p q ∧C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()()p q ⌝∨⌝7、设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A. a>－3B. a<－3C. a>－1/3D. a<－1/38、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 。

若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A.1142a b + B.2133a b + C.1124a b + D.1233a b + 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2008年广州市普通高中毕业班综合测试(二)本试卷共27小题，满分150分，考试题意120分钟可能用到的相对原子质量：N: 14 O : 16 Cl : 35.5 K : 39 Fe : 56 Cu : 64一、选择题(本题包括9小题，每小题3分，共27分。

每小题只有一个选项符合题意。

)1 .下列关于水的说法错误的是A .水是生命活动必不可少的物质B .水是含有极性共价键的共价化合物C.水的电离是放热过程D .水是极弱的电解质，在50C时水的pH小于72. 下列有关说法正确的是A .高温加热氧化镁和碳的混合物可以制单质镁B .铁的冶炼过程是通过置换反应得到单质铁C.海水提溴的过程中不发生氧化还原反应D .利用电解的方法可以从海水中获取淡水3. 下列关于铜电极的叙述正确的.是A .铜锌原电池中铜作负极B .在铁制品上电镀铜时，用铜作阴极C.电解饱和食盐水制烧碱时，用铜作阳极D .电解法精炼铜时，粗铜连接电源的正极4. 下列说法正确的是A .乙烯和聚乙烯都能使溴的四氯化碳溶液褪色B .淀粉和纤维素都可以作为工业上生产葡萄糖的原料C.油脂的水解反应，都是皂化反应D .蔗糖是高分子化合物，其水解产物能发生银镜反应5. 下列叙述正确的是A .用标准氢氧化钠溶液滴定含甲基橙的盐酸，终点时溶液由橙色变成黄色B .将SO2通人BaCb溶液中产生白色沉淀，再滴加稀硝酸沉淀不消失C.将碘盐加人淀粉溶液中，充分搅拌后溶液呈蓝色D .向葡萄糖溶液中加人新制氢氧化铜，加热至沸，静置后上层溶液显红色6. 下列反应的能量变化与其他三项不相同的是A .铝粉与氧化铁的反应B .氯化铵与消石灰的反应C.锌片与稀硫酸反应 D .钠与冷水反应7. 设N A表示阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A .标准状况下，2.24L苯中含有的分子数为0」N AB. 0」mol/L硫酸铜溶液中含铜离子数为0」N AC. 0.lmol 188O原子中含中子数为N AD. 4.6g NO2气体中含有的原子数为0」N A&下列分离或提纯方法正确的是①用酒精萃取碘水中的碘②用Na2CO3溶液除去CaCO3固体中的少量CaSO4③用NaOH溶液除去KCl溶液中的少量MgCl2④与新制的生石灰混合后蒸馏可除去乙醇中的少量水A .①②B .②③C .③④D .②④9. 某温度下，向容积为2L的密闭反应器中充入0.10 mol SO 3,当反应器中的气体压强不再变化时测得SO3的转化率为20%，则该温度下反应2SO2(g) + O2 2SO3(g)的平衡常数为A . 3.2 x 103mol 1• LB . 1.6 x 103mol 1• LC. 8.0 x 102mol 1• LD. 4.0 x 102mol1• L二、选择题(本题包括9小题，每小题4分，共36分。

2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1•答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上•用 2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上•将 条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案•答案不能答在试卷上.3 •非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准 使用铅笔和涂改液•不按以上要求作答的答案无效.4•作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点， 再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5 •考生必须保持答题卡的整洁•考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件 A B 互斥，那么P(A B) =P(A) • P(B).已知 n 是正整数，则 a n -b n =(a-b)(a n ，• a n 'b V ab n _ b n ‘).一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分•在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的.1 •已知0 ca v2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z|的取值范围是( )A . (1,5)B . (1,3)C . (1,岛D . (1,73)3 .某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表 1.已 知在全校学生中随机抽取 1名，抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( ) A . 24B . 18C . 16D . 122x + y W 40, x + 2 v W 504.若变量x , y 满足'则z = 3x • 2y 的最大值是()x > 0,y >0,2 .记等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 1-,S 4 =20，则 S 6 =( 2A . 16B . 24C . 36D . 48一年级二年级 三年级:女生 373xy男生377370zA . 90B . 80C . 70D . 40、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~12题）9.阅读图3的程序框图，若输入 m=4 , n=6,则输出 a , \ = ___________ . （注：框图中的赋值符号“”也可以写成“-”或“：二”）i =110.已知（1 kx2）6（ k 是正整数）的展开式中， x 8的系数小于 120」k = ____________1a = i2 211 .经过圆x 2x y =0的圆心C ，且与直线x • y = 0垂直 的直线方程是 _____________________-输出a, i12 .已知函数 f （x ）=（sinx-cosx ）sinx , x ，R ，贝y f （x ）的 最小正周期是 __________结束5. 将正三棱柱截去三个角 （如图1所示A , B , C 分别是A GHI 三边的中点）得到几何体如图 2,则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）&在平行四边 J?BCD 中,AC 与BD 交于点O , E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F .若 AC 二 a , BD 二 b ，则 AF 二（）1 12 11 11 2A. -a x —b B . —a ； —bC . -a ；—bD. -a -b 4 23 3 24 3 36 •已知命题p:所有有理数都是实数，命题是（ ）q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的A . (—p) qB . p qC . (—p) (—q)D • (—p) (—q)7 •设 a R ，若函数 y =e ax • 3x , A .B . a ：：： -3x R 有大于零的极值点，则（）C .1 a ：：：…开始、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13 .（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C, C 2的极坐标方程分别为TCOSV -3 , 一 （ n ） 『=4cosv 》0,0 W ，则曲线C ,与C 2交点的极坐标为I 2丿2114.（不等式选讲选做题） 已知a R ,若关于x 的方程x 2+x + a — — + a= 0有实根，则a 的 4取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题） 已知PA 是圆O 的切线，切点为 A , PA=2 .AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点B , PB =1，则圆O 的半径R.三、解答题：本大题共 6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分）已知函数 f （x ） = Asin （ x J （ A • 0,0 ：：：「：：： u ）,（1 ）求 f （x ）的解析式;17. （本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品 200件，经质检，其中有一等品 126件、二等品50件、三等品20件、 次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为 6万元、2万元、1万元，而1件次 品亏损2万元.设1件产品的利润（单位：万元）为 . （1 ）求的分布列；（2 ）求1件产品的平均利润（即 的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%, 一等品率提高为 70%.如果此 时要求1件产品的平均利润不小于 4.73万元，则三等品率最多是多少？x • R 的最大值是1 ,其图像经过点(2)已知:,叫0日，且3 = |12f (:) ，求 f (:• - ：)的值.13418. (本小题满分14分)图4所示，过点F(0, b ・2)作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的 交点为G ，已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F ,.(1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2) 设A, B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否 存在点P ,使得△ ABP 为直角三角形？若存在， 请指出共有几个这样 的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)19. (本小题满分14分)［丄,X<1设 k € R ，函数 f(x)=<1—x, F(x) = f(x)—kx , R ，试讨论函数 F(x)的单-x/^1, x > 1调性.20. (本小题满分14分)如图5所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的 直径，.ABD =60； , . BDC =45； , PD 垂直底面 ABCD , PD =2、,2R , E , F 分别是PE DFPB , CD 上的点，且，过点E 作BC 的平行线交PC 于G .EB FC(1 )求BD 与平面ABP 所成角二的正弦值； (2)证明：△ EFG 是直角三角形；PE 1(3)当 时，求△ EFG 的面积.EB 221. (本小题满分12分)设p, q 为实数，〉，：是方程x 2-px ，q =0的两个实根，数列｛x n ｝满足x^ - p ,2x2= P -q , X n 二 pX n4-qX n, ( n = 3,4,…).(1)证明：「•- - p ，「- - q ； (2)求数列｛x n ｝的通项公式；设b 0，椭圆方程为2 22b 2 b 22=1，抛物线方程为x =8(y-b).如图4GADF1(3)若p =1 , q ，求｛X n｝的前n项和S n .4绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考答案一、 选择题：C D C C A D B B 1.C 【解析】z 二 a 21，而 0 ：：： a ：：： 2，即 1 ：：： a 2 T ：：： 5 ,-/52. D 【解析】S 4 =2 6d =20 , d =3，故 S^3 15^ 48 3 . C 【解析】 依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是2000 - 373 - 377 - 380 - 370 = 500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽2样中应在三年级抽取的学生人数为 64 2 =1684. C5. A6. D 【解析】不难判断命题 p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有（一p ） （一q ）为真命题 7.B 【解析】f '（x ） =3 ae ax ,若函数在 x R 上有大于零的极值点，即f '（x ） =3 ae ax =0有13正根。