湖南省2020届高三上学期期末统测 数学(理)试题-含答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，含答案）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则 A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．{}2,3M N =I D ．{}1,4M N =U 2．下列命题中的假命题．．．是 A ．R x ∀∈，120x -＞ B ．N x *∀∈，()10x -2＞C ．R x ∃∈，lg x ＜1D ． R x ∃∈，tan 2x =3．极坐标方程cos ρθ=和参数方程1,23x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线4．在Rt ABC ∆中，90C ∠=o，4AC =，则AB AC u u u r u u u rg 等于A ．16-B ．8-C ．8D ．16 5．421d x x⎰等于 A ．2ln2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 26．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若120C ∠=o，2c a =，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a =bD ．a 与b 的大小关系不能确定7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.158．用{}min ,a b 表示,a b 两数中的最小值.若函数{}()min ,f x x x t =+的图像关于直线12x =-对称，则t 的值为A ．2-B ．2C ．1-D ．1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．9．已知一种材料的最佳加入量在110g 到210g 之间．若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g ． 10．如图1所示，过O e 外一点P 作一条直线与O e 交于A,B 两点．已知PA=2，点P 到O e 的切线长PT=4，则弦AB 的长为 ．11．在区间[]1,2-上随机取一个数x ，则1x ≤的概率为 ．12．图2是求222123+++2…+100的值的程序框图，则正整数n = ．13．图3中的三个直角三角形是一个体积为203cm 的几何体的三视图，则h = cm ．图21,0i s ==开始1i i =+2s s i =+?i n ≤否输出s结束是14．过抛物线22(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，,A B 在x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为122，则p = ．15．若数列{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2n a n =，则5()a *= ，(())n a **= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2()3sin 22sin f x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）求函数()f x 的零点的集合. 17．（本小题满分12分）图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中x 的值.（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望. 18．（本小题满分12分）如图5所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点. （Ⅰ）求直线BE 的平面11ABB A 所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱11C D 上是否存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ？证明你的结论.19．（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A ，B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线2x =的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过655km 的区域；在直线2x =的左侧，考察范围为到A ，B 两点的距离之和不超过45km 的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图6所示，设线段12P P ，23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间． 20.（本小题满分13分）已知函数2()(,),f x x bx c b c R =++∈对任意的x R ∈，恒有'()f x ≤()f x . （Ⅰ）证明：当0x ≥时，2()()f x x c ≤+；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值. 21．（本小题满分13分）数列{}*()n a n N ∈中，11,n a a a +=是函数322211()(3)332n n n f x x a n x n a x =-++的极小值点.（Ⅰ）当0a =时，求通项n a ；（Ⅱ）是否存在a ，使数列{}n a 是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1.C2.B3.A4.D5.D6.A7.B8.D 二、填空题9.171.8或148.2 10.6 11.2312.100 13.4 14.2 15.2 2n 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解法2：由()0f x =得223cos 2sin x x x =，于是sin 0x =3sin x x = 即tan 3x =由sin 0x =可知x k π=；由tan 3x =3x k ππ=+.故函数()f x 的零点的集合为,,3x x k x k k Z πππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭或17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.020.10.370.391x ++++=，解得0.12x =. （Ⅱ）由题意知，X B(3,0.1):.因此031233P(0)0.90.729,(1)0.10.90.243X C P X C ==⨯===⨯⨯=，223333P(2)0.10.90.027,(3)0.10.001X C P X C ==⨯⨯===⨯=.X0 1 2 3 P0.7290.2430.0270.001X 的数学期望为EX=30.1=0.3⨯.18．（本小题满分12分）解法1：设正方体的棱长为1.如图所示，以1ABAD AA u u u r u u u r u u u u r ，，为单位正交基底建立空间直角坐标系.（Ⅰ）依题意，得1(1,0,0),(0,1,),(0,0,0),(0,1,0)2B E A D ，所以1=(1,1,),(0,1,0)2BE AD -=u u u r u u ur .在正方体1111ABCD A B C D -中，因为11AD ABB A ⊥平面,所以AD u u u r是平面11ABB A 的一个法向量，设直线BE 和平面11ABB A 所成的角为θ，则12sin 3312BE AD BE AD θ===⨯u u u r u u u rg u u u r u u u r g . 即直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为23.设F 是棱11C D 上的点，则(,1,1)(01)F t t ≤≤.又1(1,0,1)B ，所以1(1,1,0)B F t =-u u u u r.而11B F A BE ⊄平面，于是11110(1,1,0)(2,1,2)02(1)102B F A BE B F n t t t F⇔=⇔-=⇔-+=⇔=⇔u u u u r g g ∥平面为11C D 的中点，这说明在棱11C D 上存在点F(11C D 的中点)，使11B F A BE ∥平面 解法2：（Ⅰ）如图（a ）所示，取1AA 的中点M ，连结EM,BM.因为E 是1DD 的中点，四边形11DD A A 为正方形，所以EM ∥AD.即直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为23.（Ⅱ）在棱11C D 上存在点F ，使11B F A BE ∥平面.事实上，如图（b ）所示，分别取11C D 和CD 的中点F ，G ，连结1EG,BG,,FG CD .因1111A D B C BC ∥∥,且11A D BC =,所以四边形11A BCD 是平行四边形，因此11D C A B ∥.又E,G 分别为1D D ，CD 的中点，所以1D C EG ∥，从而1B EG ∥A .这说明1A ，B ，G ，E 共面，所以1BG BE ⊂平面A .因四边形11C CDD 与11B BCC 皆为正方形，F ，G 分别为11C D 和CD 的中点，所以11FG C B B ∥C ∥，且11FG C B B =C=，因此四边形1B BGF 是平行四边形，所以1BG B F ∥.而11⊄B F 平面A BE ，1BG BE ⊂平面A ，故11B F A BE ∥平面.19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设边界曲线上点P 的坐标为(,)x y ， 当2x ≥时，由题意知2236(4)5x y -+=. 当2x <时，由45PA PB +=点P 在以A ，B 为焦点，长轴长为245a =的椭圆上.此时短半轴长22(25)42b =-=.因而其方程为221204x y +=. 故考察区域边界曲线（如图）的方程为22221236:(4)(2):1(2)5204x y C x y x C x -+=≥+=<和.（Ⅱ）设过点12,P P 的直线为1l ，过点23,P P 的直线为2l ，则直线1l ，2l 的方程分别为314,6y x y =+=.程为38y x =+，l 与1l 之间的距离为148313d -==+.又直线2l 到1C 和2C 的最短距离656d '=-，而3d '>，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3.设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n 年，则由题设及等比数列求和公式，得0.2(21)321n -≥-，所以4n ≥.故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年. 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）易知()2f x x b '=+.由题设，对任意的2,2x R x b x bx c ∈+≤++，即2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，所以2(2)4()0b c b ---≤，从而214b c ≥+.于是1c ≥，且2214b c b ≥⨯=，因此2()0c b c c b -=+->.故当0x ≥时，有2()()(2)(1)0x c f x c b x c c +-=-+-≥. 即当0x ≥时，2()()f x x c ≤+.当c b =时，由（Ⅰ）知，2,2b c =±=.此时()()8f c f b -=-或0，220c b -=，从而223()()()2f c f b c b -≤-恒成立. 综上所述，M 的最小值为3221．（本小题满分13分）解：易知2222()(3)3(3)()n n n n f x x a n x n a x a x n '=-++=--. 令212()03,n n f x x a x n '===，得.（1）若23n a n <，则当3n x a <时，()0,()n n f x f x '>单调递增；当23n a x n <<时，()0,()n n f x f x '<单调递减；当2x n >时，()0,()n n f x f x '>单调递增.故()n f x 在2x n =取得极小值.由此猜测：当3n ≥时，343n n a -=⨯.下面先用数学归纳法证明：当3n ≥时，23n a n >.事实上，当3n =时，由前面的讨论知结论成立.假设当(3)n k k =≥时，23k a k >成立，则由（2）知，213k k a a k +=>，从而22213(1)3(1)2(2)210k a k k k k k k +-+>-+=-+->，所以213(1)k a k +>+.故当3n ≥时，23n a n >成立.于是由（2）知，当3n ≥时，13n n a a +=，而34a =，因此343n n a -=⨯. 综上所述，当0a =时，10a =，21a =，343(3)n n a n -=⨯≥.（Ⅱ）存在a ，使数列{}n a 是等比数列.事实上，由（2）知，若对任意的n ，都有23n a n >，则13n n a a +=.即数列{}n a 是首项为a ，公比为3的等比数列，且33n n a a -=g. 而要使23n a n >，即23n a n >g对一切n N *∈都成立，只需23n n a >对一切n N *∈都成立. 记23n n b =，则123141,,,.393b b b ===L令23xxy=，则()()22112ln3233x xy x x x x'=-<-.因此，当2x≥时，0y'<，从而函数当13a<时，可得1234,1,4,12,,a a a a a====L数列{}n a不是等比数列.综上所述，存在a，使数列{}n a是等比数列，且a的取值范围为4,9⎛⎫+∞⎪⎝⎭.。

2020届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）注意事项：1. 本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2. 答卷前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3. 第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0. 5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题、本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在等式的两边同时除以，利用复数的除法法则可求出复数.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合，，则中元素的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】表示与的交点个数，由函数图象可确定交点个数，进而得到结果.【详解】由与图象可知，两函数图象有两个交点，如下图所示：中的元素个数为个故选：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键是明确交集表示的含义为两函数交点个数，通过数形结合的方式可得到结果.3.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由坐标可确定其与轴夹角，进而得到与轴夹角，根据模长相等可得到坐标.【详解】与轴夹角为与轴夹角为又故选：【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量.4.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】通过反例可否定；根据对数函数单调性可确定正确.【详解】若，中，，，则，错误；中，，，则，错误；中，上单调递增当时，，正确；中，，，则，错误.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，涉及到对数函数单调性的应用，属于基础题.5.椭圆的一个焦点坐标为，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.6.的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列，则角的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差中项和等比中项定义可得到的关系，代入余弦定理中可求得，进而得到结果.【详解】由题意得：，由余弦定理得：故选：【点睛】本题考查余弦定理解三角形的问题，涉及到等差中项和等比中项的应用，属于基础题.7.如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形中位线性质平行移动至，在中利用余弦定理可求得，根据异面直线所成角的范围可知所求的余弦值为.【详解】连接交于点，取中点，连接设三棱柱为直三棱柱四边形为矩形为中点且又，异面直线和所成角的余弦值为故选：【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题；易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成所求余弦值符号错误.8.函数，在中随机取一个数，使的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的图象可确定时的取值范围，进而根据几何概型可求得结果.【详解】当时，所求概率故选：【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到根据正弦函数的函数值求解自变量的取值范围.9.已知，则的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】由已知等式得到，利用可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由得：（当且仅当，即时取等号）的最小值为故选：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.10.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项.【详解】中，将横坐标缩短到原来的倍得：；向右平移个单位长度后得：，错误；中，将横坐标伸长到原来的倍得：；向右平移个单位长度后得：，错误；中，将横坐标缩短到原来的倍得：；向左平移个单位长度后得：，错误；中，将横坐标伸长到原来的倍得：；向左平移个单位长度后得：，正确.故选：【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.11.设为上的奇函数，满足，且当时，，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得对称轴，结合奇偶性可知周期为；可将所求式子通过周期化为，结合解析式可求得函数值.【详解】由得：关于对称又为上的奇函数是以为周期的周期函数且故选：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.12.已知双曲线的两个焦点分别为,，以为直径的圆交双曲线于,,,四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出，将点的坐标代入双曲线的方程，即可求出双曲线的离心率.【详解】设双曲线的焦距为，设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，、关于原点对称，、关于轴对称，由于四边形为正方形，则直线的倾斜角为，可得，将点的坐标代入双曲线的方程得，即，设该双曲线的离心率为，则，整理得，解得，因此，双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.【详解】带入得切线的斜率，切线方程为，整理得【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题. 14.已知，则____________，____________.【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式可将整理为，对应相等可得所求的的值.【详解】（其中），故答案为：；【点睛】本题考查三角恒等变换化简的问题，涉及到辅助角公式和二倍角公式的应用，属于常考题型.15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】由解析式可求得函数定义域；根据函数单调性确定函数的值域；根据“同域函数”的定义写出一个符合题意的函数即可.【详解】由得：的定义域为又为定义域内的增函数值域为的一个“同域函数”为，故答案为：，（答案不唯一）【点睛】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就. 秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法.改写成以下形式：若则____________.【答案】0.【解析】【分析】利用秦九韶算法表示出，代入整理可得结果.【详解】故答案：【点睛】本题考查利用秦九韶算法求值的问题，关键是能够将所给多项式化为符合秦九韶算法的形式.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.如图，长方体中，是的中点，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）由长方体特点知平面，根据面面垂直判定定理证得结论；（Ⅱ）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得结果.【详解】（Ⅰ）∵是长方体平面又平面平面平面.（Ⅱ）以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，.设平面的一个法向量为由得：，令，则，又平面的一个法向量，二面角是钝二面角二面角的余弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到面面垂直的判定定理的应用；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是忽略所求二面角的范围，造成求解错误.18.甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响.（Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.【答案】（I）见解析；（II）.【解析】【分析】（I）确定所有可能的取值，由二项分布概率公式可得每个取值对应的概率，由此得到分布列和数学期望；（II）将事件分成“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况，结合（I）中所求概率，根据独立事件概率公式计算可得结果.【详解】（I）所有可能的取值为；；；.的分布列为数学期望.（II）由题意得：事件“甲比乙答对题目数恰好多”发生即：“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求解、独立事件概率问题的求解；关键是能够明确随机变量服从于二项分布，进而利用二项分布概率公式求得每个取值所对应的概率，属于常考题型.19.已知数列的前项和为，且满足. （Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）令，利用可求得；当时，利用整理可得，从而证得结论；（II）由（I）可得的通项公式，从而求得，利用错位相减法求得结果.【详解】（I）令，，解得：当且时，，，即是以为首项，为公比的等比数列（II）由（I）知：设数列的前项和为则两式作差得：【点睛】本题考查根据与关系、递推关系式证明数列为等比数列、错位相减法求解数列的前项和的问题；关键是能够熟练掌握数列求和的方法，当数列的通项公式为等差与等比的乘积的形式时，选择错位相减法来求和.20.已知，.（Ⅰ）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数；（Ⅱ）当时，证明.【答案】（I）内有且只有一个零点；（II）证明见解析.【解析】【分析】（I）由导函数可得，可知在上单调递增；利用零点存在定理可确定在内存在唯一零点，即在内有且只有一个零点；（II）令；由可得，根据（I）中结论可得函数单调性，利用单调性确定，代入整理可得，从而证得结论.【详解】（I），与在上单调递增在上单调递增，唯一的，使得在内有且只有一个零点（II）令，则.由（I）可知：存在使得，即：当时，，单调递减；当时，，单调递增∴【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到零点存在定理的应用、利用导数求解函数的单调性、函数最值的求解问题；利用导数证明不等关系的关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题，通过验证最值所处的范围证得结论.21.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同两点，为拋物线上任意一点（与不重合），直线分别交抛物线的准线于点.（Ⅰ）写出焦点的坐标和准线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（I），；（II）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据抛物线方程即可直接得到焦点坐标和准线方程；（II）设方程为，与抛物线方程联立可得；利用直线两点式方程得到直线方程，整理可得，代入即可求得点坐标，同理可得点坐标；根据向量数量积运算，可整理得到，由此得到垂直关系.【详解】（I）由抛物线方程知：焦点，准线为：（II）设直线的方程为：令，，由消去得：，则.直线方程为：即当时，同理得：，【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，重点考查了垂直关系的证明问题；证明垂直关系的关键是能够将问题转化为平面向量数量积等于零或两直线斜率乘积为；解决此类问题的常用方法是直线与抛物线方程联立，通过韦达定理的结论代入所证式子中进行整理得到结果.（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数）.直线的参数方程（为参数）.（Ⅰ）求曲线在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用可将曲线的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）解法一：可直线曲线截直线所得线段的中点坐标为，设弦的端点分别为，，利用点差法可求出直线的斜率，即得的值；解法二：写出直线的参数方程为，将直线参数方程与曲线的普通方程联立，由可求出角的值.【详解】（Ⅰ）由曲线的参数方程（为参数），得：，曲线的参数方程化为普通方程为：；（Ⅱ）解法一：中点极坐标化成直角坐标为.设直线与曲线相交于，两点，则，.则，②-①得：，化简得：，即，又，直线的倾斜角为；解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得.，，即.，即.又，直线的倾斜角为.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，同时也考查了中点弦问题的求解，可利用点差法求解，也可以利用韦达定理法求解，考查计算能力，属于中等题.23.已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若时，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将代入函数的解析式，分和解不等式，即可得出不等式的解集；（Ⅱ）由可得出，由可得出，结合，即可得出实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时，，由得.①当时，原不等式可化为：，解之得：；②当时，原不等式可化为：，解之得：且，.因此，不等式的解集为；（Ⅱ）当时，，由得，，，，，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解题的关键就是要结合自变量的取值范围去绝对值，考查运算求解能力，属于中等题.2020届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）注意事项：1. 本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2. 答卷前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3. 第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0. 5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题、本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在等式的两边同时除以，利用复数的除法法则可求出复数.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合，，则中元素的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】表示与的交点个数，由函数图象可确定交点个数，进而得到结果.【详解】由与图象可知，两函数图象有两个交点，如下图所示：中的元素个数为个故选：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键是明确交集表示的含义为两函数交点个数，通过数形结合的方式可得到结果.3.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由坐标可确定其与轴夹角，进而得到与轴夹角，根据模长相等可得到坐标.【详解】与轴夹角为与轴夹角为又故选：【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量.4.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】通过反例可否定；根据对数函数单调性可确定正确.【详解】若，中，，，则，错误；中，，，则，错误；中，上单调递增当时，，正确；中，，，则，错误.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，涉及到对数函数单调性的应用，属于基础题.5.椭圆的一个焦点坐标为，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.6.的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列，则角的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差中项和等比中项定义可得到的关系，代入余弦定理中可求得，进而得到结果.【详解】由题意得：，由余弦定理得：故选：【点睛】本题考查余弦定理解三角形的问题，涉及到等差中项和等比中项的应用，属于基础题.7.如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形中位线性质平行移动至，在中利用余弦定理可求得，根据异面直线所成角的范围可知所求的余弦值为.【详解】连接交于点，取中点，连接设三棱柱为直三棱柱四边形为矩形为中点且又，异面直线和所成角的余弦值为故选：【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题；易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成所求余弦值符号错误.8.函数，在中随机取一个数，使的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的图象可确定时的取值范围，进而根据几何概型可求得结果.【详解】当时，所求概率故选：【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到根据正弦函数的函数值求解自变量的取值范围.9.已知，则的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】由已知等式得到，利用可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由得：（当且仅当，即时取等号）的最小值为故选：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.10.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项.【详解】中，将横坐标缩短到原来的倍得：；向右平移个单位长度后得：，错误；中，将横坐标伸长到原来的倍得：；向右平移个单位长度后得：，错误；中，将横坐标缩短到原来的倍得：；向左平移个单位长度后得：，错误；中，将横坐标伸长到原来的倍得：；向左平移个单位长度后得：，正确.故选：【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.11.设为上的奇函数，满足，且当时，，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得对称轴，结合奇偶性可知周期为；可将所求式子通过周期化为，结合解析式可求得函数值.【详解】由得：关于对称又为上的奇函数是以为周期的周期函数且故选：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.12.已知双曲线的两个焦点分别为,，以为直径的圆交双曲线于,,,四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出，将点的坐标代入双曲线的方程，即可求出双曲线的离心率.【详解】设双曲线的焦距为，设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，、关于原点对称，、关于轴对称，由于四边形为正方形，则直线的倾斜角为，可得，将点的坐标代入双曲线的方程得，即，设该双曲线的离心率为，则，整理得，解得，因此，双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.【详解】带入得切线的斜率，切线方程为，整理得【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.14.已知，则____________，____________.【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式可将整理为，对应相等可得所求的的值.【详解】（其中），故答案为：；【点睛】本题考查三角恒等变换化简的问题，涉及到辅助角公式和二倍角公式的应用，属于常考题型.15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】由解析式可求得函数定义域；根据函数单调性确定函数的值域；根据“同域函数”的定义写出一个符合题意的函数即可.【详解】由得：的定义域为又为定义域内的增函数值域为的一个“同域函数”为，故答案为：，（答案不唯一）【点睛】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就. 秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计。

湖南省2020届高三上学期期末统测数学（理）试题一、单选题1．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()A B =R I ð（ ）A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅【答案】A【解析】求函数定义域求得集合A ，由此求得()R A B ⋂ð. 【详解】因为{|3}A x x =≥，所以()(1,3)R A B ⋂=ð. 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题. 2．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得z 【详解】55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题. 3．设133a =，13log 2b =，1213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】利用“0,1分段法”比较出,,a b c 三者的大小关系. 【详解】 因为1331a =>，13log 20b =<，121013c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，所以b c a <<.故选：C 【点睛】本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题. 4．函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π【答案】D【解析】利用降次公式化简()f x 表达式，再由此求得最小正周期. 【详解】因为22cos 211213()cos cos 232232x f x x x πππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期为π.故选：D 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.5．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（ ） A ．16B ．112C ．13D ．12【答案】B【解析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】骰子向上为6点的概率为16，硬币向上为正面的概率为12，故所求事件的概率为1116212⨯=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.6．设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ） A ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n B ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥ C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥【答案】C【解析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项. 【详解】A 选项中，,m n 可能异面；B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥.C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题. 7．若执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ） A ．3ln2 B ．2ln3C ．ln7【答案】A【解析】根据程序框图运行所计算的S 的表达式，结合对数运算，求得输出的S 的值. 【详解】运行程序框图中的程序，可得23482348ln ln ln ln ln ln83ln 212371237S =++++=⨯⨯⨯⨯==L L .故选：A 【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，考查对数运算，属于基础题. 8．已知函数||()32x a f x -=+，且满足(5)(3)f x f x +=-，则(6)f =（ ） A ．29 B ．5 C ．3 D ．11【答案】D【解析】根据(5)(3)f x f x +=-求得()f x 的对称轴，也即求得a 的值，从而求得()6f 的值. 【详解】因为(5)(3)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于4x =对称，所以644,(6)3211a f -==+=.故选：D 【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查函数值的求法，属于基础题.9．已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且,,A F B 三点共线，则||AF =（ ） A ．16 B ．10C ．12D ．8【答案】C【解析】根据圆的几何性质，结合抛物线的AF .定义，根据F 到准线的距离，求得【详解】因为,,A F B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥.由抛物线定义知1||2||||2AD EF AF AB ===，所以30ABD ︒∠=.因为F 到准线的距离为6，所以||||2612AF BF ==⨯=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查抛物线的定义和几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 10．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-【答案】A【解析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B【解析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：B 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为212； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．①④D ．①②④【答案】D【解析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OB OD O =I ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -最大，最大值为112234448A CMN N ACM V V --=⨯⨯==，故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确. 故选：D 【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题13．已知数列{}n a 是等比数列，131,36a a ==，则2a =__________. 【答案】6±【解析】根据等比数列通项公式，首先求得q ，然后求得2a . 【详解】设{}n a 的公比为q ，由131,36a a ==，得236,6q q ==±，故26a =±.故答案为：6± 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.14．已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-r r ，,a b r r的夹角为θ，则sin θ=__________.【解析】利用两个向量夹角计算公式，求得cos θ的值，再根据同角三角函数的基本关系式求得sin θ的值. 【详解】依题意[]0,πθ∈，所以cos ||||a b a b θθ⋅=====r r r r【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.15．381(2)x x-展开式中常数项为______.【答案】112【解析】求得二项展开式的通项，令3(8)0r r --=，解得6r =，代入即可得到展开式的常数项． 【详解】由题意，二项展开式的通项为3883(8)1881(2)()2(1)r r r r r r r rr T C x C x x----+=-=-， 令3(8)0r r --=，解得6r =，所以常数项为6866782(1)112T C -=-=．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>与椭圆()2211221110x y a b a b +=>>有相同的焦点，且左、右焦点分别为12,F F ，它们在第一象限的交点为P ，若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为____________.【答案】12+ 【解析】利用正弦定理求得1222F F PF =，利用椭圆和双曲线的定义求得12a a c =+，进而由121⋅=e e 列方程，并转化为含有双曲线离心率2e 的方程，由此求得双曲线的离心率. 【详解】设椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，122F F c =，由正弦定理得2121212sin sin PF F F PF F F PF =∠∠.∵1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，∴1222F F PF =，∴2PF c =.∵1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，∴11222PF a c a c =-=+，∴12a a c =+.又∵1212221c c c c e e a a a c a ⋅=⋅=⋅=+，2222c a a c =+，两边除以22a 并化简得22210e e --=，∴212e +=.【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查双曲线离心率的求法，考查正弦定理进行边角互化，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且(3)cos cos 0a c B b C ++=. （1）求sin B ；（2）若1,a b ==ABC ∆的面积.【答案】（1）sin 3B =（2）9【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos B 的值，进而求得sin B 的值.（2）利用余弦定理列方程，由此求得c ，再利用三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积. 【详解】（1）因为(3)cos cos 0a c B b C ++=，所以3sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=， 所以3sin cos (sin cos sin cos )sin A B B C C B A =-+=-. 因为sin 0A >，所以1cos 3B =-，所以22sin 3B =. （2）由余弦定理得2222222cos 3b ac ac B a c ac =+-=++. 因为1,22a b ==，所以22703c c +-=，即23221(3)(37)0c c c c +-=+-=， 所以73c =. 所以ABC ∆的面积为1172272sin 122339ac B =⨯⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上（P 不与B ，C 重合），E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .（1）证明：BP ⊥平面DCP .（2）三棱锥D BPC -的体积最大时，求二面角B PD E --的余弦值. 【答案】（1）见解析（215【解析】（1）利用面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BPC ，由此证得DC BP ⊥，根据圆的几何性质证得BP PC ⊥，由此证得BP ⊥平面DCP .（2）判断出三棱锥D BPC -的体积最大时P 点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面BPD 和平面EPD 的法向量，计算出二面角B PD E --的余弦值. 【详解】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面,BPC ABCD 是正方形， 所以DC ⊥平面BPC .因为BP ⊂平面BPC ，所以DC BP ⊥.因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP PC ⊥. 又DC PC C ⋂=，所以BP ⊥平面DCP .（2）解：显然，当点P 位于»BC的中点时，BCP ∆的面积最大，三棱锥D BPC -的体积也最大. 不妨设2BC =，记AD 中点为G ，以E 为原点，分别以,,EB EP EG u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0)E B D P -，(2,0,2),(1,0,2),(1,1,2)BD ED PD =-=-=--u u u r u u u r u u u r设平面BDP 的法向量为()111,,m x y z =r，则11111220,20,BD m x z PD m x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩u u u v r u u u v r令11x =，得(1,1,1)m =r . 设平面DEP 的法向量为()222,,n x y z =r，则2222220,20,ED n x z PS n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩u u u v r u u u v r 令22x =，得(2,0,1)n =r ， 所以15cos ,||||535m nm n m n ⋅〈〉===⨯r rr r r r r . 155. 由图可知，二面角B PD E --为锐角，故二面角B PD E --的余弦值为【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.（1）完成下列22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.【答案】（1）见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）分布列见解析，167EX =【解析】（1）根据题目所给数据，计算并填写出22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）利用超几何分布分布列和数学期望计算公式，计算出所求X 的分布列及数学期望. 【详解】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为2000.5100⨯=. 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为2000.525105⨯=.22⨯列联表如下：22200(60554540)600 3.84110595100100133K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X 的可能取值为1，2，3，4.1343474(1)35C C P X C ⋅===； 224344C C 18(2)C 35P X ⋅===；314344C C 12(3)C 35P X ⋅===；44471(4)35C P X C ===.X 的分布列为418121161234353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题.20．已知12,F F 分别为椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线:4m x =与x 轴交于点A ，直线2MF 与直线AN 的交点为B .（1）证明：点B 恒在椭圆C 上.（2）设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得2PTQ π∠=恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，(1,0)T【解析】（1）根据题意求得2,F A 的坐标，设出,M N 的坐标，求得直线2,MF AN 的方程，由此求得B 的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到1，由此判断出B 恒在椭圆C 上.（2）首先判断直线n 的斜率是否存在.然后当直线n 斜率存在时，设出直线n 的方程y kx b =+，判断出T 的位置并设出T 的坐标.联立直线n 的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得,k b 的关系式，进而求得P 的坐标，结合Q 点坐标以及2PTQ π∠=，利用0TP TQ ⋅=u u r u u u r列方程，结合等式恒成立求得T 的坐标.【详解】（1）证明：由题意知2(1,0),(4,0)F A ，设(,),(,)M s t N s t -，则22143s t+=.直线2MF 的方程为(1)1t y x s =--，直线AN 的方程为(4)4t y x s -=--， 联立可得5825B s x s -=-，325B t y s =-，即B 的坐标为583,2525s t s s -⎛⎫⎪--⎝⎭.因为22222222(58)12(58)3691434(25)4(25)B B x y s t s s s s -+-+-+===--， 所以B 点恒在椭圆C 上.（2）解：当直线n 的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线n 的方程为y kx b =+，由对称性可知，若平面内存在定点T ，使得2PTQ π∠=恒成立，则T 一定在x 轴上，故设()0,0T x ，由22,1,43y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2224384120k x kbx b +++-=.因为直线n 与椭圆C 只有一个公共点，所以()()()2222226444341248430k b k b k b ∆=-+-=-+=， 所以43,P P P k x y kx b b b=-=+=.又因为(4,4),2Q k b PTQ π+∠=，所以()0043,4,40k TP TQ x x k b bb ⎛⎫⋅=--⋅-+= ⎪⎝⎭u u r u u u r ， 即()0043(4)40k k b x x b b+⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭. 所以()200043440kx x x b-++-=对于任意的满足22430k b -+=的,k b 恒成立， 所以0200440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得01x =.故在平面内存在定点(1,0)T ，使得2PTQ π∠=恒成立.【点睛】本小题主要考查直线与直线交点坐标，考查点与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()ln 12af x x a x x=+--+有两个不同的极值点12,x x . （1）求a 的取值范围.（2）求()f x 的极大值与极小值之和的取值范围.（3）若110,,,22m n ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()f m f n -是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. 【答案】（1）104a <<（2）(,2ln 21)-∞-+（3）()()f m f n -没有最小值.见解析 【解析】（1）先求得函数()f x 的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得a 的取值范围.（2）根据（1）求得1212,1x x a x x =+=，求得()()12f x f x +的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围.（3）由（2）假设()1()f x f x =极小值，()2()f x f x =极大值，则()()min 12[()()]f m f n f x f x -=-，求得()()12f x f x -的表达式，并利用导数研究这个表达式的单调性，由此判断出这个表达式没有最小值，也即()()f m f n -没有最小值.【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+，2221()1a x x af x x x x -+-'=--=. 因为()f x 有两个不同的极值点12,x x ，且0x >，所以20x x a -+=有两个不同的正根，1212140100a x x x x a ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得104a <<.（2）因为1212,1x x a x x =+=，不妨设12x x <，所以()1()f x f x =极小值，()2()f x f x =极大值，所以()()()()1212121212()()ln 2(12)a x x f x f x f x f x x x a x x x x ++=+=⋅+-+-+极小值极大值 ln 24a a =+-.令()ln 42a a a ϕ=-+，则1()40a aϕ'=->， 所以()a ϕ在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1()2ln 214a ϕϕ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 即()f x 的极大值与极小值之和的取值范围是(,2ln 21)-∞-+.（3）由（2）知1212,1x x a x x =+=.因为121110,,,,222m n x x ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()min 1max 2(),()f m f x f n f x ==， 所以()()121min 1221212[()()]lnx x x f m f n f x f x x x a x x x --=-=+-+. 因为121x x =-，所以()2min 221[()()]ln221x f m f n x x --=+- ()22221ln 1ln 4212x x x x ⎛⎫=--+-<< ⎪⎝⎭.令1()ln(1)ln 4212h x x x x x ⎛⎫=--+-<< ⎪⎝⎭，则211(21)()401(1)x h x x x x x -'=-+=<--， 所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()h x 无最小值，故()()f m f n -没有最小值. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是11cos ,421sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转3π，交曲线C 于点N ，求||||OM ON ⋅的最大值. 【答案】（1）sin 6π⎛⎫ρ=θ+⎪⎝⎭（2）最大值为34【解析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程，再转化为极坐标方程.（2）设出,M N 两点的坐标，求得||||OM ON ⋅的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得||||OM ON ⋅的最大值. 【详解】（1）由11cos ,421sin ,42x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去α得曲线C的普通方程为22102x y x y +--=.所以C的极坐标方程为1cos 22ρ=θ+θ， 即sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭.（2）不妨设()1,M ρθ，2,3N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，10ρ>，20ρ>，[0,2)θπ∈， 则12||||sin sin 663OM ON πππρρθθ⎛⎫⎛⎫⋅==+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin cos 6θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin cos cos 22θθθ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭112cos 2444θθ=++11sin 2264πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当6πθ=时，||||OM ON ⋅取得最大值，最大值为34. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题. 23．已知函数()|2||3|f x x x =++-. （1）解不等式()32f x x ≤-；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值. 【答案】（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）169【解析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得13211a b +++的最小值. 【详解】（1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x ≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤；当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=， 所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=，1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦. 当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号.故13211a b +++的最小值为169.【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

2020年湖南省长沙市芙蓉路学校高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知i是虚数单位.若复数z满足，则z的共轭复数为A. B. C. D.参考答案：D2. 设集合，则等于A．B．C．D．参考答案：A略3. 已知m，n为两条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥βB．若α⊥β，m?α，则m⊥βC．若m⊥α，m∥n，α⊥β，则n∥βD．若m⊥α，m∥n，α∥β，则n⊥β参考答案：D【考点】平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分析判断即可．【解答】解：对于A，若m∥α，α∥β，则m∥β或m?β，A错误；对于B，若α⊥β，m?α，则m与β相交或在β内或平行于β，B错误；对于C，若m⊥α，m∥n，α⊥β，则n∥β或n?β，C错误；对于D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又α∥β，∴n⊥β，D正确；故选：D．4. 函数的最小值是（）A. 1 B. C.2 D.0参考答案：B5. 函数(x<0)的单调增区间是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1] D．(－∞，－1]参考答案：B6. 在中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若,,则面积的最大值为 ( )A.1B.C.2 D.参考答案：B7. 从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2, 4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是（）参考答案：A略8. “”是“与直线平行”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A由与直线平行，得,检验时，两直线重合（舍去），所以时与直线平行的充要条件.9. 函数为R上的可导函数，且，均有，则有A.B.C.D.参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】C 令g(x)= ，则g′(x)= ，因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，所以g（-2013）＞g （0），即＞，所以e2013f（-2013）＞f（0），，所以f（2013）＜e2013f（0）故选C．【思路点拨】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对?x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，10. 设集合,集合，则集合中有___个元素A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：∵，所以，∴中有6个元素，故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某几何体的三视图如图所示，其正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是．参考答案：12. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，若点A、B、C、D都在一个以O为球心的球面上，则球O的体积为。

2020届湖南省长沙市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}121x A x -=>，{}220B x x x =-≤，则A B =I （ ）A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(0,3]D ．(1,2]【答案】D 【解析】【详解】 由{}x 1A x 21-=>，{}2B x x 2x 0=-≤得：()1,A =+∞，[]0,2B =，所以(]A B 1,2⋂=，故选D.2．在复平面内，复数11iz =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数21i111i i i+=+=-，其对应的点是(1,1)-，位于第四象限． 故选D ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足2CF FB =u u u r u u u r，那么EF =u u u r( )A ．1123AB AD -u u ur u u u rB ．1132AB AD +u u ur u u u rC ．1223AB AD -u u ur u u u rD ．1142AB AD +u u ur u u u r【答案】C【解析】利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果． 【详解】解：在CEF ∆中，EF EC CF =+u u u r u u u r u u u r.因为点E 为DC 的中点，所以12EC DC =u u u r u u u r.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以23CF CB =u u u r u u u r，所以121212232323EF DC CB AB DA AB AD =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题． 4．函数21x x y e+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以去掉D,因为当0x > 时22112,02x x x x x y y x e e++=='-=⇒= ，所以当(0,2)x ∈ 时0y '> ，去掉B;当(2,)x ∈+∞ 时0y '< ，去掉C ，因此选A.5．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A ．12B ．2π C ．12π- D ．22π-【答案】C【解析】设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4． 图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和， 其面积为21181112442ππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．∴所求概率24142P ππ-==-． 故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，属于基础题．6．()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( )A ．14B ．-14C ．16D ．-16【答案】A【解析】把511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭按照二项式定理展开，可得()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．【详解】解：Q ()()5543251311010513111x xx x x x x x ⎛⎫=+-+-+- ⎪⎛⎝⎫- ⎪⎝⎭⎭+，故它的展开式中的常数项为351(1)14⨯+⨯-=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7．已知α为锐角，且()cos 11α+︒=，则α的值为( ) A ．20︒ B ．40︒ C ．50︒ D ．70︒【答案】B【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果． 【详解】解：由()cos 11α︒=可得cos 1α=，即2sin 40cos 1cos10α︒=︒，所以cos10sin80cos 2sin 402sin 40α︒︒==︒︒2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒， 又α为锐角，故40α=︒，故选：B. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8．设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，2F 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )A ．2B ．2C ．12D 【答案】D【解析】当P ，E ，1F 共线时，此时2PEF ∆的周长的最小，即可得到23a b =，再根据离心率公式计算即可． 【详解】解：2PEF ∆的周长为2221||||||||||||PE PF EF PE PF EF ++=++， 当P ，E ，1F 共线时，此时周长最小，2121||||||||||23PE PF EF PF PF a b ∴++=+==，22249()a a c ∴=-，2259a c =5c e a ∴==， 故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题， 9．设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，132AA =( )A ．24πB ．18πC ．26πD ．16π【答案】C【解析】直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积． 【详解】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC 的中点O '，则外接圆的半径2BCr =，而2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以22BC =2r =BC 的中点做垂直于底面的直线交中截面与O 点，则O 为外接球的球心，由题意得：22219132222AA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积2426S R ππ==，【点睛】考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于中档题．10．设n S 是数列{}n b 的前n 项和，若2nn n a S +=，()*2122N n bn n a a n ++=-∈，则数列1n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为( ) A ．9798 B ．9899 C ．99100D ．100101【答案】C【解析】利用两式作差1122n n n a a ---=，代入求出1n b n =+，再利用裂项相消法求出和即可． 【详解】解：当2n ≥时，1112n n n a S ---+=，则()1111222n n n n n n n a a S S -----+-=-=，即1122n n n a a ---=，则12log 21n n b n +==+，从而1111n nb n n =-+， 故129911111111129922399100b b b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-1991100100=-=. 故选：C ． 【点睛】考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，属于中档题．11．已知函数()1212log ,18212,x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） A．2B ．12C．4D【答案】B【解析】画出()f x 的图像，结合图像，根据()()()f a f b a b =<，求得,a b 的取值范围.令()()(]2,4t f a f b ==∈，将,a b 用t 表示，由此求得ab 的表达式，进而利用导数求得ab 的最小值.画出()f x 图像如下图所示，令122log 4x +=，解得14x =.所以1124a b ≤<<≤. 令()()t f a f b ==，由图可知(]2,4t ∈.122log 2bt a =+=，所以24,log 2t a b t ==.所以()24log 242tt ab t =<≤. 构造函数()()24log 142t th t t =≤≤（稍微放大t 的范围）.()2'11ln 2log ln ln 2ln 24422t tt tt t h t -⋅-⋅⋅=⋅=⋅. 令()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅，()'2110ln 2m t t t=--<⋅， 所以()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅在[]1,4上递减.而()()()218ln 2110,4ln 24ln 2m m -⋅=>=⋅.由于ln e <<， 所以1ln 212<<，()21ln 214<<，()228ln 28<⋅<，所以()()218ln 2404ln 2m -⋅=<⋅. ()()140m m ⋅<， 故存在()01,4t ∈，使()00m t =.所以()h t 在[)01,t 上递增，在(]0,4t 上递减.所以对于()24log 242t ty t =<≤来说，最小值只能在区间端点取得. 当2t =时，224log 212=； 当4t =时，244log 4122=. 所以()24log 242t t ab t =<≤的最小值为12. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查指数、对数运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FA FC =（ ） A ．54B ．43C ．32D 5 【答案】B【解析】设出右焦点F 的坐标和渐近线,OA OB 的方程，由点到直线的距离公式求得BF ，结合直角三角形勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得,a b 的关系，由此求得,FA FC 的长，进而求得||||FA FC 【详解】双曲线22221x ya b-=的右焦点(),0F c，渐近线OB的方程为by xa=，即0bx ay-=，渐近线OA的方程为by xa=-，即0bxay+=.所以22bcBF bca b===+，22OB c b a=-=，225433a aAB a⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 所以4tan3ABAOBOB∠==，而()tan tantan tan1tan tanAOF BOFAOB AOF BOFAOF BOF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠22431b ba aba--===-，解得2b a=或12b a=-（舍去）.所以44102333a a aAF b a=+=+=.在Rt COF∆中，由射影定理得2OF BF FC=⋅，所以222225522OF c a b a aFCBF b b a+=====，所以10||435||32aFAaFC==.故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理、两直线的夹角公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．已知函数()()()2log 21cos xf x ax x a R =-++∈为偶函数，则a =______.【答案】12【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得()()f x f x -=，即22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++，据此变形分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2()log (21)cos x f x x x α=-++，其定义域为R ， 若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++， 变形可得：222log (21)log (21)x x ax x -=+-+=，必有12a =； 故答案为：12．【点睛】本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，256a a +=，则8a =______. 【答案】3【解析】设等比数列的公比为q ，讨论1q =不成立，再由等比数列的求和公式，解方程可得q ，再由等比数列的通项公式，即可得到所求值． 【详解】解：由题意可知等比数列的公比1q ≠，否则3S ，9S ，6S 不成等差数列， 于是9362S S S =+， ()91211a q q-∴-()()36111111a q a q qq--=+--，解得63210q q --=，解得312q =-或31q =（舍去），又由256a a +=，得88636a a q q +=，解得683166431112q a q ⨯===+-. 故答案为：3 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，注意讨论公比是否为1，同时考查等差数列中项的性质，以及方程思想和运算能力，属于中档题． 15．若()()()2sin 20f x x ϕϕ=+>的图象关于直线12x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是______.【答案】(2⎤⎦【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果． 【详解】解：∵函数()()()2sin 20f x x ϕω=+>的图象关于直线12x π=对称，62k ππϕπ+=+，()3k k Z πϕπ=+∈，当ϕ取最小值是3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴042,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 223x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即a的取值范围是(2⎤⎦.故答案为：(2⎤⎦ 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16．在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为______.【答案】【解析】推导出PB BC ⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ，则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，推导出AE DE ⊥，从而AE ⊥平面PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V P S AE --∆==g g ，由此能求出结果．【详解】解：Q 在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ， 则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，且36933AD =-=，4DE =，362511AE =-=，222AE DE AD ∴+=，AE DE \^，PC DE E =Q I ，PC ⊂平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，AE ∴⊥平面PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：11111861181133232P ABC A PBC PBC V P S AE PB BC AE --∆===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=g g ．故答案为：811．【点睛】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+.（1）求角C 的值；（2）若26a b +=，且ABC ∆3，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π；（2）6或513+【解析】（1）结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C ，进而可求C ， （2）由已知，结合三角形的面积公式可求，a ，b 然后结合C 的值及余弦定理可求c ，进而可求周长． 【详解】（1）因为()()sin sin a A B C c B C +-=+由正弦定理得()()sin sin 2sin sin sin sin A C C A C A ππ-=-=， 因为sin 0A ≠，所以()sin 2sin C C π-=， 即sin 22sin cos sin C C C C ==. 因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 因为0C π<<，所以3C π=.（2）由1sin 32ABC S ab C ∆==，可得4ab =. 因为26a b +=，所以426a a+=，解得1a =或2.当1a =时，4b =，由余弦定理得2222cos 13c a b ab C =+-=，13c =， 所以周长为513+.当2a =时，2b =，由余弦定理得2222cos 4c a b ab C =+-=，2c =，所以周长为6.综上，ABC ∆的周长为6或513+. 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥.（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；（2）设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角111A B C B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5-【解析】）（1）利用1B C ⊥平面1ABC 可证得1B C AO ⊥，利用三线合一可证得1AO BC ⊥，进而得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥，∵1AB B C ⊥，1AB BC B =I ，1BC ⊂平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ， ∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂Q 平面1ABC ，∴1B C AO ⊥，又∵1AB AC =，O 是1BC 的中点，∴1AO BC ⊥，又∵11B C BC O =I ，1B C ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ， ∴AO ⊥平面11BB C C . （2）∵11//AB A B ，∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角. ∵AO ⊥平面11BB C C ，∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角即为ABO ∠， 即45ABO ∠=︒.不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C 中BO =11CO B O ==，在Rt ABO ∆中，AO BO ==以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()10,1,0B ，()0,1,0C -，(1A ，()1C ，11A B =u u u u r ，()111,0B C =-u u u u r，设平面111A B C 的一个法向量为()1,,n x y z =u r，则11111133030n A B x z nB C x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u v u u u u v u v u u u u v ，可得()11,3,1n =-u r ， 而平面11BB C C 的一个法向量为()20,0,1n =u u r，则112122cos ,555n n n n n n ⋅===u r u u r u r u u r u r u u r， ∴二面角111A B C B --的余弦值的大小为5-.【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19．已知椭图1C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点与抛物线2C ：()220y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为42（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.【答案】（1）22143x y +=， 28y x =；（2）是，证明见解析. 【解析】（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程抛物线方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，1(E x ，1)y -，求得直线EN 的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点．【详解】解：（1）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得2pa =，则2C ：24y ax =， 代入x c =，得24y ac =，即y =±=，则有222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，2,a b ∴==所以椭圆1C 的方程为22143x y +=，抛物线2C 的方程为28y x =.（2）依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为4x ty =-，联立2243412x ty x y =-⎧⎨+=⎩，得()223424360t y ty +-+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,E x y -，由>0∆，解得2t <-或2t >， 且1222434ty y t +=+，1223634y y t =+， 根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为(),0Q m ， 因斜率NQ EQ k k =，得2121y y x m x m-=--，即()()12210x m y x m y -+-=，即()()1221440ty m y ty m y --+--=，即()()1212240ty y m y y -++=， 即()2236242403434tt m t t ⋅-+⋅=++，得()()3410m t m t --=--=， 由t 的任意性可知1m =-.当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程即为0y =，也经过点()1,0Q -， 所以当2t <-或2t >时，直线EN 恒过一定点()1,0Q -. 【点睛】本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20．某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【解析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量1~(5,)4X B ，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，1(0)4P ξ==，31(1)44P ξ==⨯，231(2)()44P ξ==g ，⋯，131(1)()44n P n ξ-=-=g ，3()()4n P n ξ==，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L ， （1）()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 21．已知函数()()()1xxf x ae ea x a R -=--+∈，()f x 既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点.且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()()0,11,+∞U ；（2）1k ≤-.【解析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性确定a 的范围即可；（2）求出函数的极值点，问题转化为11(1)1a lna k a -<++g ，设11()(1))1x g x lnx k x -=-++g ，根据函数的单调性确定k 的范围即可． 【详解】解：（1）由()()1xxf x ae ea x -=--+得()()'1x x f x ae e a -=+-+，即()()()1'1xxx f ee x ea -=--，由题意，若()f x 存在极大值和极小值，则()'0f x =必有两个不相等的实数根， 由10x e -=得0x =，所以10x ae -=必有一个非零实数根， ∴0a ≠，1xe a =，∴10a>且11a ≠，∴01a <<或1a >. 综上，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞U .（2）当01a <<时，由（1）可知()f x 的极大值点为10x =，极小值点为2ln x a =-， 此时()11f x a =-，()()211ln f x a a a =-++，依题意得()()111ln 0a k a a a -+-++>对任意01a <<恒成立， 由于此时()()210f x f x <<，所以k 0<； 所以()()()1ln 11k a a a k +>--，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭， 设()11ln 11x x k x g x -⎛⎫=--⎪+⎝⎭，()0,1x ∈，则 ()()()()2221121112111'x x k x k x x x g x ⎛⎫+-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--= ⎪⎝⎭++()22211x x k x x ++=+，令()2210*x x k ++=，判别式244k∆=-. ①当1k ≤-时，0∆≤，所以()'0g x ≥，()g x 在()0,1单调递增， 所以()()10g x g <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭，符合题意； ②当10k -<<时，>0∆，设()*的两根为3x ，4x ，且34x x <，则3420x x k+=->，341x x =，因此3401x x <<<， 则当31x x <<时，()'0g x <，()g x 在()3,1x 单调递减， 所以当31x a <<时，()()10g a g >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭， 所以()()120f x kf x +<，矛盾，不合题意； 综上，k 的取值范围是1k ≤-. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为3x mmy k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C .（1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值. 【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2）. 【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l：(y k x =， 2l：)13y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=， 因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠. （2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=，由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点.由于1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈）， 所以曲线1C上的点),sin Q αα到直线60x y +-=的距离为d ==， 所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d的最大值为. 【点睛】 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23．已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a b b a+≥. 【答案】（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据()32||f x x -…，可得3131x x -⎧⎨>⎩…或1301x x +⎧⎨⎩…剟或3130x x -+⎧⎨<⎩…，然后解不等式组即可得到解集；（2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可．【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥； 当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解；当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-； 综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭. （2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=， 又由均值不等式有：22a b a b+≥，22b a b a +≥， 两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a b b a +≥+=. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。

湖南省常德市2020届高三数学上学期检测考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解不等式求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得；由，解得，故.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数是虚数单位，则z的实部为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】∵，∴z的实部为．故应选B．【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.如图是一个边长为5的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷500个点，其中落入黑色部分的有300个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A. 17B. 16C. 15D. 14【答案】C【解析】【分析】利用面积比列方程，解方程求得黑色部分的面积.【详解】设黑色部分的面积为，则，故选C.【点睛】本小题主要考查面积测算的问题，考查方程的思想，属于基础题.4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入，，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运行程序进行计算，当时，退出程序，输出的值.【详解】运行程序，，，判断否，，判断否，，判断是，输出，故选B.【点睛】本小题主要考查计算程序框图输出结果，考查运算求解能力，属于基础题.5.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第天所织布的尺数为，则的值为（）A. 56B. 52C. 28D. 26【答案】D【解析】【分析】根据题意设出等差数列的公差，然后利用前项和列方程，解方程求得的值，由此求得的值.【详解】等差数列的首项，设公差为，故，解得，故.故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查中国古代数学文化，属于基础题.6.已知函数的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，则下列区间为的单调递增区间的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图像变换知识可得，求出其单调增区间即可.【详解】函数，向左平移个单位长度，可得再把所得图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，，令2kπ≤2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数y＝g（x）的一个单调递增区间为：[，]．故选：A．【点睛】本题主要考查利用y＝A sin（ωx+∅）的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．7.已知，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断出小于零的数，然后判断出到之间的数，最后判断出大于的数，由此得出的大小关系.【详解】由于，，，故，故选A.【点睛】本小题主要考查对数比较大小，考查“，”分段法，属于基础题.8.函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及函数图像上的特殊点，对选项进行分析和排除，由此得出正确选项.【详解】，定义域为，，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除两个选项.，排除D选项，故选A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题.9.如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图判断出几何体的结构，进而求得几何体的体积.【详解】等边三角形的高为，由三视图可知，该几何体的左边是一个三棱锥，右边是一个半个圆锥，由此可求得几何体的体积为，故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查锥体体积计算公式，考查运算求解能力，属于基础题.10.已知双曲线的右焦点为，以为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点，若（其中为原点），则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】设双曲线的一条渐近线方程为y x，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，由，可知H为OQ的三等分点，用两种方式表示OH，即可得到双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的一条渐近线方程为y x，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，由F（c，0）到渐近线的距离为FH=d b，∴PH=，又∴OH=即，∴故选：D【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．11.已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（）A. 12B. 10C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】函数的零点个数即函数与y=的图象的交点个数，数形结合即可得【详解】由，可得，即，故函数的周期为，作出函数与y=的图象由图可知：当x＞0时，有5个交点，又函数与y=均为偶函数，∴函数的零点个数是10个.故选:B【点睛】本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于中档题．12.已知的三个内角所对的边为，面积为，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换知识可得，从而得到角A.【详解】∵∴即∴∴∴，∴（舍）∴故选：C【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设向量，，且，则______．【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】，由于，所以，即，解得，故.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.14.已知，且满足，若的最大值为_____．【答案】8【解析】【分析】画出可行域，向下平移到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的二项式系数为_______. 【答案】10【解析】【分析】由的展开式的各项系数和为243，可得n＝5，借助二项式展开式的通项公式可得结果.【详解】令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5．∴的．令，则∴展开式中的二项式系数为故答案为：10．【点睛】本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为-4，直线，分别交抛物线于，两点，若A，B，F三点共线，则_______.【答案】2【解析】【分析】设，，分别求出A与B的坐标，结合A，B，F三点共线可得结果.【详解】设，，则直线的方程为：，代入抛物线方程可得：，解得：，故A点坐标为：同理可得：B点坐标为：又，∴，又A，B，F三点共线，∴∴，由∴，即又∴，∴故答案为：2【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查转换能力与计算能力，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I ）将已知条件转化为，由此求得的值，进而求得的通项公式.（II ）利用求得的表达式，由此求得的表达式，利用分组求和法求的值.【详解】（Ⅰ）设等比数列的公比即，解得：或，.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，所以中档题. 18.如图，在直三棱柱中，，，，为线段的中点，为线段上一动点（异于点），为线段上一动点，且. 又的各项为正，，故（Ⅱ）设，数列前n 项和为.由解得..,（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）要证平面平面，转证平面即证（Ⅱ）建立如图空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入公式可得结果. 【详解】（I）证明：因为，为线段的中点，所以，在直三棱柱中，易知平面，，而；平面，；又因为，；所以平面，又平面；所以平面平面；（II）由（I）可建立如图空间直角坐标系，因为所以，则，，设，所以，因为，，所以，，解得：（异于点） ,设平面的法向量为，则即，可取，设直线与平面所成角为，则 ,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．19.某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的7月1日以后的100天为当年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为的20艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计，如下表所示：捕鱼量(单位：吨)频数 2 7 7 3 1根据气象局统计近20年此地每年100天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表（捕鱼期内的每个晴好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼）：晴好天气(单位：天)频数 2 7 6 3 2（同组数据以这组数据的中间值作代表）（Ⅰ）估计渔业捕捞队吨位为的渔船单次出海的捕鱼量的平均数；（Ⅱ）已知当地鱼价为2万元/吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为10万元/艘，若不捕鱼，每天成本为2万元/艘，若以（Ⅰ）中确定的作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量.①请依据往年天气统计数据，试估计一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率；②设今后3年中，此种捕鱼船每年捕鱼情况一样，记一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的年数为，求的分布列和期望.【答案】（Ⅰ）16吨；（Ⅱ）①；②见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据频数分布表计算单次出海的捕鱼量的平均数；（Ⅱ）①设每年100天的捕鱼期内晴好天气天数为，利润为,可得捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天，从而可得结果；②由题可知：随机变量的可能取值为0，1，2，3，且～ ,从而可得的分布列和期望.【详解】（Ⅰ）此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为：吨.（Ⅱ）①设每年100天的捕鱼期内晴好天气天数为，则年利润为,由得： ,一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元，即捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天又100天的捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天的频率为预测一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率为.②由题可知：随机变量的可能取值为0，1，2，3，且 ,,,,,的分布列为：X 0 1 2 3P.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．20.已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点A是第一象限内椭圆上一点，且在轴上的正投影为右焦点，过点作直线分别交椭圆于两点，当直线的倾斜角互补时，试问：直线的斜率是否为定值；若是，请求出其定值；否则，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意求出a，b,即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）依题意知，点，设，直线的方程为：，联立方程可得利用韦达定理表示G点坐标，同理可得：，），从而得到结果.【详解】（Ⅰ）由题设知，由椭圆的定义知：的周长为，解得.故因此，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）证明：依题意知，点，设直线的方程为：，联立，得，则，即，又，即，）又直线的倾斜角互补，则直线的斜率为同理可得：，），因此，直线的斜率为为定值.点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．21.已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若为曲线上两点，求证：. 【答案】（Ⅰ）当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）要证, 即证；即证,构造新函数，研究函数的最值即可.【详解】（Ⅰ），；当时，，在上单调递增；当时，令，得，令，得；所以，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为 .（Ⅱ）要证即证即证；即证；令，构造函数，则，所以在上单调递增;，即成立，所以成立，所以成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性及求函数最值，考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决，是中档题．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （I ）写出曲线与圆的极坐标方程；（II ）在极坐标系中，已知射线分别与曲线及圆相交于，当时，求的最大值.【答案】（I ）,；（II ）.【解析】【分析】（I ）将曲线的参数消去转化为普通方程，然后转化为极坐标方程.利用普通方程与极坐标方程的互化公式将圆的普通方程转化为直角坐标方程.（II）由于两个三角形的高相同，故将面积的比转化为，将代入曲线和圆的极坐标方程，求得，，由此求得的表达式，利用辅助角公式进行化简，并根据三角函数的值域，求得的最大值.【详解】(Ⅰ)曲线的普通方程为，由普通方程与极坐标方程的互化公式的的极坐标方程为：，即. 曲线的极坐标方程为： . (Ⅱ)因为与以点为顶点时，它们的高相同，即 ,由(Ⅰ)知，，所以, 由得，所以当即时，有最大值为,因此的最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查普通方程转化为极坐标方程，考查三角形面积的比，考查极坐标系下长度的计算，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.(Ⅰ)当，求不等式的解集；(Ⅱ)若函数满足，且恒成立，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】（I）当时，利用零点分段法去绝对值，将所求不等式转化为不等式组来求解出来.（II）根据求得图像关于对称，由此求得的值，将不等式恒成立问题，转化为恒成立.利用分离常数法，结合基本不等式，求得的取值范围.【详解】(Ⅰ)当，，等价于或，解得，所以原不等式的解集为；(Ⅱ)因为，所以函数的图像关于直线对称， ,因为恒成立，等价于恒成立，令，当时，，可知；原不等式等价于；当时，；综上，的取值范围为.【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解绝对值不等式，考查利用分离常数法求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

秘密★启用前姓 名 准考证号益阳市2020届高三上学期普通高中期末考试高三理数本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在 答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结朿后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A={5|≤x x } ,B= {9<3|xx }，则=B A Y A. ]2,(-∞ B. ]5,(-∞ C. (2,5]D. )5,2()2,(Y -∞2.已知复数1,21211=⋅-=z z i z ，则复数2z 的虚部为 A.52 B. 52- C. 51 D. 51- 3. 已知函数xe x x xf )1()(2++=，则)(x f 在(0，)0(f )处的切线方程为A.01=++y xB.01=+-y xC.012=++y xD.012=+-y x4.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+022262y y x y x ,则y x z -=2的最大值是A. 2B. 6C. 10D.145. 已知函数]cos )3[cos(sin 2)(x x x x f +-=π，则函数)(x f 的最小正周期是A. 2πB. πC. π2D. π46.若输入的值为7,则输出结果为 A. 47 B. 43C.87 D.237.如图，在各棱长均为2的正三棱柱(底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）111C B A ABC -中， P ，E, F 分别是AC C A AA ,,111的中点，则四棱锥1EFBB P - 的体积为A. 33B. 23C.332 D. 334 8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若43,26,2π===C c b ，则ABC ∆的面积为 A. 2B. 22C. 3D. 239. 5)3)(1(-+x xx 展开式中含x 的项的系数为 A.-112 B.112 C.-513 D.51310.已知双曲线C: 0)>b 0,>(12222a b y ax =-的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是C 的右支上一点，连接PF 1与y 轴交于点M ，若||2||1OM O F = (O 为坐标原点），21PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为A. x y 3±=B. x y 3±=C. x y 2±=D. x y 2±=11.已知三棱锥P —ABC 中，PA 丄平面ABC ，4,32==∠PA ABC π,若三棱锥P —ABC 外接球的表面积为π32，则直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值为 A. 77 B. 66 C.772 D. 7212.已知定义在R 上的奇函数)(x f 恒有)1()1(+=-x f x f ，当)1,0[∈x 时，1212)(+-=x x x f ，则 当函数31)()(--=kx x f x g 在[0,7]上有三个零点时，k 的取值范围是 A. )152,41[-- B. ]152,92(--C. )61,92(-- D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---31]152,92(Y第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020届高三年级统一模拟考试理科数学本试题卷共7页，全卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}12|{1>=-x x A ，}02|{2≤-=x x x B ，则=B A IA.)2,1(B.]2,1[C.]3,0(D.]2,1(2. 在复平面内，复数i i z +=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足FB CF 2=，那么=EFA.AD AB 3121-B.AD AB 2131+C.AD AB 3221-D.AD AB 2141+ 4. 函数1||2+=x ex y （其中e 为自然对数的底）的图象大致是A. B. C. D.5. 在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为A.21B.2π C.12-πD.22π- 6. 5)11)(13(-+xx 的展开式中的常数项为 A.14B.14-C.16D.16-7. 已知α为锐角，且1)10tan 31(cos =+︒α，则α的值为A.︒20B.︒40C.︒50D.︒708. 设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点),0(t E （b t <<0）.已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，2F 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为b 3，则椭圆C 的离心率为A.23 B.22 C.21 D.35 9. 设三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，2==AC AB ，︒=∠90BAC ，231=AA ，且三校柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是A.π24B.π18C.π26D.π1610. 设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若n n n S a 2=+，)(22*11N n a a n n b n∈-=++，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nb 1的前99项和为 A.9897 B.9998 C.10099 D.101100 11. 已知函数21181,2,log 2)(21≤≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x f x ，若))(()(b a b f a f <=，则ab 的最小值为 A.22 B.21 C.42 D.35 12. 已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x ，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且a OA 35||=，则=||||FC FA A.45 B.34 C.23 D.25 二、填空题：本大愿共4个小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数x ax x f x cos )12(log )(2++-=)(R a ∈为偶函数，则=a ___________.14. 已知n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，652=+a a ，则=8a ___________.15. 若)2sin(2)(ϕ+=x x f )0(>ϕ的图像关于直线12π=x 对称，且当ϕ取最小值时，)2,0(0π∈∃x ，使得a x f =)(0，则a 的取值范围是___________.16. 在四面体ABC P -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6=PA ，8=PB ，10=PC ，则四面体ABC P -的体积为___________.三、解答题：本大题共7个小题，共70外，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考照，考生1据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （本小题满分12分）已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且)sin()sin(C B c C B A a +=-+.（1）求角C 的值；（2）若62=+b a ，且ABC ∆的面积为3，求ABC ∆的周长.18. （本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11是菱形，其对角线的交点为O ，且1AC AB =，C B AB 1⊥.（1）求证：⊥AO 平面C C BB 11；（2）设︒=∠601BC B ，若直线11B A 与平面C C BB 11所成的角为︒45，求二面角B C B A --111的余弦值.19. （本小题满分12分）已知椭图1C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右顶点与抛物线2C ：)0(22>=p px y 的焦点重合，椭圆1C 的离心率为21，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为24.（1）求椭图1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点)0,4(-A 的直线l 与椭图1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.20. （本小题满分12分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为1:3.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过n （*N n ∈）次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.21. （本小题满分12分）已知函数)()1()(R a x a e ae x f x x ∈+--=-，)(x f 既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当10<<a 时，1x ，2x 分别为)(x f 的极大值点和极小值点.且0)()(21>+x kf x f ，求实数k 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=kt y t x 3（t 为参数），直线2l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=k m y m x 33（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C .（1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为23)4sin(=+πθρ，点Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|1|)(-=x x f .（1）求不等式||23)(x x f -≥的解集；（2）若函数|5|)()(-+=x x f x g 的最小值为m ，正数a ，b 满足m b a =+，求证：422≥+ab b a .。