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高中数学全套讲义 必修4 平面向量的线性运算 拔高学生版

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1 目录 向量的线性运算 ......................................................................................................................................... 2 模块一：向量基本概念 ....................................................................................................................... 2 考点1：向量概念辨析 ..........................................................................................................2 模块二：向量的加减运算 .................................................................................................................. 3

考点2：向量的加减法 ..........................................................................................................4 模块三：三角形的三心 ....................................................................................................................... 6

考点3：三角形的三心 ..........................................................................................................7 课后作业：.............................................................................................................................................. 8 2

向量的线性运算 模块一：向量基本概念 一、向量的概念与表示 1．向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．向量的表示： ①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度． ②字母表示法：AB，注意起点在前，终点在后；也可以用a，b来表示． ③线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作||AB． 3．零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0；零向量的方向是任意的． 单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 4．相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量． 5．向量共线或平行：方向相同或相反的向量叫做平行向量．向量a平行于向量b，记作a∥b． 任一组平行的向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． 规定：零向量与任意向量平行．

考点1：向量概念辨析 例1.（1）（2019春•城关区校级月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若a，b都是单位向量，则ab；③向量AB与BA相等，则所有正确命题的序号是( ) A．① B．③ C．①③ D．①② 3

（2）（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等； ②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若a，b满足||||ab且a与b同向，则ab； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若//ab，//bc，则//ac． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

模块二：向量的加减运算 二、向量的运算 1．向量的加法： ⑴ 三角形法则：ABa，BCb，a和b的和（或和向量）abABBCAC．

⑵ 平行四边形法则： ABa，ADb，ab，不共线，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则abAC．

⑶ 多边形法则： 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．

abCBAa+b

b

a

abba

b

aa+bD

C

BA4

⑷ 向量的运算性质：

向量加法的交换律：abba；向量加法的结合律：()()abcabc． 关于0：00aaa． 2．向量的减法： ⑴ 相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作a．00． ⑵ 差向量：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．ABOBOA．

3．数乘向量a：0时，与a方向相同；0时，与a方向相反；0时，0a；且aa； 4．向量共线的条件 ⑴ 平行向量基本定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

⑵ 单位向量：a的单位向量记作0a，是指与a方向相同，长度为1的向量，0aaa．

考点2：向量的加减法 例2.（1）（2019•栖霞市模拟）在ABC中，D为线段BC上一点，且2BDCD，则(AD ) A．3144ADABAC B．1344ADABAC

C．2133ADABAC D．1233ADABAC

（2）（2019•泰安模拟）在ABC中，M为AC中点，BCCD，MDxAByAC，则(xy )

dcba

a+b+c+db

a

c

d

a-bb

a

B

AO5

A．1 B．12 C．13 D．32

（3）（2017春•安吉县校级月考）如图所示，在ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是( ) A．AEADFA B．0DEAF C．0ABBCCA D．DEDFAD

（4）（2017•临汾二模）设D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点，则23(DAEBFC )

A．12AD B．32AD C．12AC D．32AC

（5）（2016秋•宜昌期末）已知点P在正ABC所确定的平面上，且满足PAPBPCAB，则ABP的面积与BCP的面积之比为( ) A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4

（6）（2016秋•大观区校级期末）设D为ABC的边AB的中点，P为ABC内一点，且满足，25APADBC，则(APDABCSS ) 6

A．35 B．25 C．15 D．310

（7）（2019•运城模拟）在ABC中，点O满足3AOABAC，则OBC与ABC的面积比为( )

A．12 B．13 C．23 D．34

（8）（2019春•沙坪坝区校级期中）向量,,abc正方形网格中的位置如图所示．若向量cab，则实数( )

A．2 B．1 C．1 D．2 模块三：三角形的三心 已知ABC△，角ABC，，所对的边长分别为abc，，， ⑴ 三角形的外心O：外接圆的圆心，三边中垂线的交点，满足OAOBOC； 7

⑵ 三角形的内心I：内切圆的圆心，三个内角平分线的交点，满足0aIAbIBcIC； 考点3：三角形的三心 例3.（1）（2017秋•重庆期末）设P是ABC所在平面内的一点，2BCBABP，则( ) A．P、A、C三点共线 B．P、A、B三点共线 C．P、B、C三点共线 D．以上均不正确

（2）（2019•江岸区校级模拟）过ABC内一点M任作一条直线l，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若0ADBECF恒成立，则点M是ABC的( ) A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心

（3）（2019春•金水区校级期中）已知点O是ABC内部一点，并且满足230OAOBOC，BOC的面积为1S，ABC的面积为2S，则12(SS )

A．16 B．13 C．23 D．34

（4）（2019•滨州二模）在ABC中，G为ABC的重心，M为AC上一点，且满足3MCAM，则( )

A．11312GMABAC B．11312GMABAC

C．17312GMABAC D．17312GMABAC

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人教A版高中数学必修四课件高一2.2平面向量的线性运算(3).pptx

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2a
3(2a)
6a
(a) ( )a
二、实数与向量的积的运算律：
a (2 3)a 2a 3a?
5a
2a
3a
(
)a
Байду номын сангаас
a
a
二、实数与向量的积的运算律：
2 a b 2a 2b?
ab
2a 2b
ab b
2b
(a
a b)
2aa
b
二、实数与向量的积的运算律：
设a,
b 为任意向量，、为
任意实数，则有：
空白演示
在此输入您的封面副标题
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接
C
a
b
b
B
a
C 特点:共起点
b
a
b
b
A
a
B
O a A
r a
3.向量减法三角形法则:
rB
b
uuur r r
r
O
r
BA a b
aA
b
特点：共起点，连终点，方向指向被减数
思考题1:已知向量如ar,何作出和
实数与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下：
1a
a
2当 0时，a的方向与a的方向相同；
当 0时，a的方向与a的方向相反；
特别地，当
0或a
0时，a
0.
注意：
实数与向量a，可以作积， 但不可以作加减法，即＋a， －a是无意义的．
二、实数与向量的积的运算律：
a 3(2a) 6a?
AB CD AB // CD
AB与CD不在同一直线上
高中数学全套讲义 必修4 向量的数量积与坐标运算 中等学生版

高中数学全套讲义 必修4 向量的数量积与坐标运算 中等学生版

目录平面向量的数量积与坐标运算 (2)模块一：平面向量的数量积 (2)考点1：求向量数量积、模长及夹角 (2)模块二：平面向量的坐标运算 (3)考点2：向量的坐标运算 (4)课后作业： (6)平面向量的数量积与坐标运算模块一：平面向量的数量积1．两个非零向量的夹角：已知两个非零向量a b ，，作OA a OB b ==，，则AOB ∠称作向量a 和向量b 的夹角，记作a b 〈〉，，并规定0πa b 〈〉≤，≤．当π2a b 〈〉=，时，称a b ⊥． 2．向量数量积（内积）：a b ，的数量积记作a b ⋅，定义为cos a b a b a b ⋅=⋅⋅〈〉，． 3．向量的数量积满足的运算律： ⑴交换律：a b b a ⋅=⋅；⑵与数乘的结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；注意：数量积本身不满足结合律！ ⑶对加法的分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．考点1：求向量数量积、模长及夹角例1.（1）（2018秋•静宁县校级期末）设非零向量,a b 满足||||a b a b +=-，则( ) A ．a b ⊥ B ．||||a b = C ．//a b D ．||||a b >（2）（2019春•内江期末）若向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a =，||3b =，则|2|(a b -= )A ．B ．14C ．D ．8（3）（2019春•拉萨期末）已知向量||||1a b ==，12a b =-，则|3|(a b += )A B C D（4）（2019春•辽宁期末）已知向量||||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则|2|(a b -= )A ．3B ．2CD ．1（5）（2019春•博望区校级月考）设向量,a b 的夹角为1,||||2a b θ=，且不等式||||a b ma b ++对任意θ恒成立，则实数m 的值为( )A ．1B ．1-C ．13D ．3-模块二：平面向量的坐标运算已知1212()()a a ab b b ==，，，，则：1122()a b a b a b ±=±±，；12()a a a λλλ=，；1122a b a b a b ⋅=+； 12210a b a b a b ⇔-=∥；11220a b a b a b ⊥⇔+=；21a a a a =⋅=+121cos a b a b a ba ⋅〈〉==⋅+，．考点2：向量的坐标运算例2.（1）（2019春•重庆期末）已知向量(2,3)a =，(,4)b m =，若,a b 共线，则实数(m =)A ．6-B ．83-C ．83D ．6（2）（2019春•昆明期末）已知向量(1,)a x =，(2,4)b =-，//()a a b -，则(x = ) A ．1 B ．2C ．1-D ．2-（3）（2019•咸阳三模）已知平面向量(,)a l x =，(4,2)b =，若向量2a b +与向量b 共线，则(x = ) A ．13-B ．12C ．25 D ．27-（4）（2018秋•盐城期末）向量a 与b 不共线，若ma b +与2a b -平行，则m 等于( ) A ．2- B ．2 C ．12 D ．12-（5）（2018•和平区一模）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD DC ⊥，2AD DC AB ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λμ+的值为( )A ．65 B ．85C ．2D ．83（6）（2019春•和平区校级期中）已知α是锐角，3(,sin )4a α=，3(,cos )b α=，且//a b ，则α为( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．30︒或60︒（7）（2019春•赤峰期末）已知向量(1,0),(1,1)a b ==，则下列结论正确的是( ) A ．||||a b =B ．2a b =C ．a b -与a 垂直D ．//a b（8）（2019春•莲都区校级月考）已知向量(1,1)a =-，(1,)b m =，若()a b a -⊥，则实数m 的值是( ) A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-（9）（2018秋•东湖区校级期末）已知(5,12)m =，则与m 方向相同的单位向量是例3.（1）（2018秋•深圳期末）若(2,3)a =，(4,7)b =-，则a 在b 上的投影为 ．（2）（2019春•玉溪期末）已知向量(2,0)a =，||1b =，1a b =-，则a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π课后作业：1.（2019春•内江期末）若向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a =，||3b =，则|2|(a b -= )A ．B ．14C ．D ．82.（2019春•重庆期末）已知向量(2,3)a =，(,4)b m =，若,a b 共线，则实数(m = ) A ．6- B ．83-C ．83D ．63.（2018•和平区一模）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD DC ⊥，2AD DC AB ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λμ+的值为( )A．65B．85C．2D．834.（2018秋•深圳期末）若(2,3)a=，(4,7)b=-，则a在b上的投影为．。

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算3课件新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算3课件新人教A版必修4


四、向量的线性运算 问题思考
向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意
向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a+λμ2b.
一
二
三
四
思维辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)对于任意向量a和任意实数λ,λa与a一定是共线向量. ( )
(2)向量λa与a的方向不是相同就是相反. ( )
(3)若向量a和b共线,则必有b=λa. ( )
(4)若向量a和b不共线,且λa=μb,则必有λ=μ=0. ( )
(5)若向量 ������������, ������������ 共线,则A,B,C,D四点共线. ( )
(6)实数既可以与向量相乘,也可以相加减. ( )
思维辨析
3.做一做:(1)若|a|=3,|b|=14,则|-2a|=
,|3b|=
.
(2)若 a 与 b 是相反向量,则 5a 与-4b 的方向
.
解析(1)因为|a|=3,|b|=14,所以|-2a|=2|a|=6,|3b|=3|b|=34. (2)5a 与 a 同向,-4b 与 b 反向,而 a 与 b 是相反向量,所以 5a 与-4b
解(1)∵b=-2a,∴a与b共线. (2)∵a= 16b,∴a与b共线.
(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0. ∵e1与e2是两非零不共线向量, ∴1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
高中数学北师大版必修四 平面向量线性运算的坐标表示 课件(32张)

高中数学北师大版必修四 平面向量线性运算的坐标表示 课件(32张)


→ → 2． 已知 A(－1, －1), B(1,3), C(1,5) ， D(2,7) ， 向量AB与CD 平行吗？直线 AB 平行于直线 CD 吗？ → 解：∵AB＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2, 4)，
引入参数“ λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具
有代数化的特点，程序化的特征．
x 1 y1 (3)当 x2y2≠0 时， 即两向量的相应坐标成比例． 这 x2＝y2， 种形式容易记忆．
做一做 (1) 已 知 a ＝ ( － 1,2) ， b ＝ (2 ， y) ， 若 a∥b ， 则 y 的 值 是 ______． 解析：∵a∥b，∴－y－4＝0，即y＝－4.
向量共线的判定方法
1．若向量 a＝( 3，1)，b＝(0，－2)，则与 a＋2b 共线的 向量可以是( ) B．(－1，－ 3) D．(－1， 3)
A．( 3，－1) C．(－ 3，－1)
解析：方法一：∵a＋2b＝( 3，－3)， ∴ 3× 3－(－1)×(－3)＝0.∴(－1， 3)与 a＋2b 是共线 向量． 方法二：∵a＋2b＝( 3，－3)＝－ 3(－1， 3)， ∴向量 a＋2b 与(－1， 3)是共线向量．
解：∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋3b＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)． 由两向量平行得 3(k－2)－7×(－1)＝0. 1 ∴k＝－3.
7 此时，ka－b＝－3，－1
1 1 ＝－3(7,3)＝－3(a＋3b)． ∴它们是反向的．
第二章 平面向量 平面向量线性运算的坐标表示
1．通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量，以及两直
线平行与两向量共线的判定．(易混点) 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并会应用．(重 点) 3．会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．(难点)