函数一致连续性研究

函数的一致收敛性与一致连续性函数的一致收敛性和一致连续性是数学分析中重要的概念，它们对于函数的性质和性质的分析具有重要的作用。

本文将从定义、性质以及与其他概念之间的联系等多个方面对函数的一致收敛性和一致连续性进行探讨。

一、一致收敛性的定义与性质函数序列的一致收敛性是指对于给定函数序列{fn(x)}，当自变量x趋向于某个值a时，函数值fn(x)的极限也趋向于某个值f(x)，且这种趋向对序列中的每一个函数都成立。

更正式地说，对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，对于所有的x，有|fn(x)-f(x)|<ε成立。

函数序列的一致收敛性具有以下性质：1. 一致收敛性是逐点收敛性的强化。

如果函数序列一致收敛于f(x)，那么它也是逐点收敛的，即对于每个x，极限lim⁡(n→∞)fn(x)=f(x)成立。

2. 一致收敛性是逐点收敛性的逆命题不成立的。

即逐点收敛的函数序列未必一致收敛。

3. 一致收敛性的极限函数是唯一的。

一致收敛序列的极限函数f(x)是唯一的，即若序列{fn(x)}和{gn(x)}一致收敛于f(x)，则它们极限相等。

4. 一致收敛的函数序列在有界集上一致有界。

若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都有界，则极限函数f(x)在A上有界。

5. 一致收敛的函数序列在有界集上一致可积。

若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都可积，则极限函数f(x)在A上可积。

二、一致连续性的定义与性质函数的一致连续性是指对于给定函数f(x)，当自变量x取值在某个区间上时，函数的变化量可以任意小，并且这种性质对区间上的所有点都成立。

更正式地说，对于任意ε>0，存在Δ>0，使得当|x1-x2|<Δ时，对于所有的x1和x2，有|f(x1)-f(x2)|<ε成立。

函数的一致连续性具有以下性质：1. 一致连续性是局部性质。

浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州121000中国）摘要:在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。

本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。

首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。

其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打卜'了坚实的基础。

再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。

最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。

使人们能够对它们有个全面的了解。

关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。

Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable people to have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。

函数一致连续性问题的思考山晓东(包头师范学院数学系)函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质。

本文进一步分析了一致连续的摘要本质意义以及一致连续性的运算法则的讨论。

连续，一致连续关键词1 定义????xxff在点连续。

根据连续定义：在区间I设函数连续，函数????????????x????ffx??x:.有无限多，（满足连续定义的有取较大者）0?,?????0?从连续的定义不难看出，的大小，一方面与给定的有关；另一方面与点的位???置也有关，也就是说当暂时?22?????????? X??????附近函数图像较“缓”对应的较大，在点附近函数图像较当“陡”暂时固定时,在点??????????????fxf??xx,?,????0?:?成较小。

于是当对应的暂时固定时有???页11 共页1 第中是否存在最小的呢？立。

对于无限多个，存在无限多个，那么无限多个?0???????上的任意一对区间一般说来，区间上的连续函数并不具有这种性质：对??,?0??使得点点，存在共同的即最小的适合于连续性定义的要求。

xx,?000就是说这是一种不同于连续性的新的性质，这种新的性质叫做一致连续性。

??，上的任意一点在区间I上有定义，若对使对区间设函数xxf?,0???0,???0???????上一致连续。

当时恒有在区间I成立，则称函数??x??,x?ff?x?xx?xf00来，显然是无关紧要的。

因此我们不加区分，而用这里，哪个是哪个是xx,xx021表示它们。

这就是我们常见的一致连续性定义。

??xf上的任意两点设函数上有定义，若对对区间I在区间I定义：,0??0,???????????f?x?x?fxx??就有成立，则称函数I只要上一致连续。

在区间x,xxf2121212 一致连续的条件我们便可以考察满足什么条件的连续函数在其定义域上是有了一致连续的定义，一致连续的。

最常见的莫过于闭区间上的连续函数了，我们有以下定理：????????xxff ba,ba,定理1：若函数连续，则函数一致连续。

1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUPx f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUPx x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f S U P x f x f S U P x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列nx '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管nx x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()Mx x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()Mx x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f .令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()MK K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()Mx x x f x f >''-'''-'时恒有()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()Mx x x f x f >''-'''-'时恒有()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()Mx x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀，都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２５数学分析函数的一致连续性探讨数学分析函数的一致连续性探讨Һ许奕喆㊀（湖南科技大学，湖南㊀湘潭㊀４１１１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ以函数的一致连续性分析为研究切入点，结合实例将函数连续㊁一致连续二者区别所在，分析函数一致连续性的几何意义，包括有限区间㊁无限区间的一致连续性函数判定，通过讨论得出一致连续函数判定的方法，可以为更多同学能够快速对一致连续函数概念知识点的理解提供参考．ʌ关键词ɔ数学分析函数；一致连续性；实例数学分析作为一门需要学习中抽象理解的学科，具有较强的逻辑思维性与严密性，通过运用简单明了的数学语言，对用冗长的文学语言也无法定量描述的事物发展过程进行准确表达．所以了解几何意义，作为数学分析课程的入门引导，能够帮助我们理解抽象的数学概念，也可以帮助我们在数学学习中发散思维．本文将结合自身所学，对函数的一致连续性相关问题展开探讨．一㊁连续概念引出一致连续一致连续是基于函数连续概念派生所获，主要指的是对于微小变化界限中，假若函数定义域内部的任何两点间距离都不会超出该界限，那么两点之间的对应函数值产生的差值，就可以达到任意小点．函数一致连续性作为函数具备的重要基本特征，表示了一个连续函数变化速度是否发生 突变 ．在数学问题中针对函数一致连续性来讲，不仅要求对于每一个区间函数都能够保持连续一点，还要求所属区间点临近大体呈均匀变化．用数学语言表达就是说针对一个任意给出的正数ε，要求存在ｘ个无关的正数δ，只要ｘ和δ二者之间距离条件满足ｘᶄ－ｘᵡ＜δ，相对应函数值ｆ（ｘᶄ）－ｆᶄ（ｘᵡ）＜ε．显而易见，一致连续要强于连续条件，目前数学学科教材中，仅仅给出一致连续概念和运用定义证明ｆ（ｘ）函数所处某区间的一致连续的方法，呈现了完美的函数一致性逻辑结果，所以我们很难理解到定义中的δ，需要教师将概念内的隐含知识点逐一解释，才能够让我们更加快速地对这一概念成功掌握．二㊁一致连续函数等价条件定理１㊀函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上一致连续的充要条件：对于区间Ｉ上任何两数列｛ｘｎ｝和｛ｙｎ｝，在ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０条件下，ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］＝０．证㊀显而易见必要性，现证明充分性．假设函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上非一致连续，那么∃ε０＞０，∀δ＞０，ｘ，ｙɪＩ：｜ｘ－ｙ｜＜δ，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）ȡε０．（１）根据以上对于δ取值为１的情况下，存在ｘ１，ｙ１ɪＩ：ｘ１－ｙ１＜１，有ｆ（ｘ１）－ｆ（ｙ１）ȡε０．（２）根据以上对于δ取值为１２的情况下，存在ｘ２，ｙ２ɪＩ：ｘ２－ｙ２＜１２，有ｆ（ｘ２）－ｆ（ｙ２）ȡε０．（３）根据以上对于δ取值为１ｎ的情况下，存在ｘｎ，ｙｎɪＩ：ｘｎ－ｙｎ＜１ｎ，有ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）ȡε０．所以在区间Ｉ上也就成功构造了｛ｘｎ｝和｛ｙｎ｝这两个数列，显而易见ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０，但是ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］ʂ０，与已知条件自相矛盾，所以ｆ（ｘ）函数在区间Ｉ上一致连续．推出结论：函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上不一致连续，充要条件是区间Ｉ上存在两个数列｛ｘｎ｝和｛ｙｎ｝，在ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０条件下，ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］ʂ０．例１㊀函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ２在Ｒ上不一致连续．证㊀假设ｘｎ＝２ｎπ＋π２，ｙｎ＝ｓｉｎ２ｎπ，那么ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０．但是ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］＝ｌｉｍｎңɕ[ｓｉｎ２ｎπ＋π２()－ｓｉｎ２πｎ]＝１ʂ０．推出结论：ｓｉｎｘ２在Ｒ上不一致连续．三㊁有限区间上判定一致连续函数定理２㊀函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致连续的充要条件：ｆ（ｘ）函数在［ａ，ｂ］上连续．定理３㊀函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续的充要条件：ｆ（ｘ）函数在（ａ，ｂ）上连续并且均存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ）．证（１）必要性：由于函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续，∃ε＞０，∀δ＞０，ｘ１，ｘ２ɪ（ａ，ｂ）：｜ｘ１－ｘ２｜＜δ，有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜＜ε．在ｘ１，ｘ２ɪ（ａ，. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２５ａ＋δ）情况下，当然存在ｘ１－ｘ２＜δ，也就有ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＜ε．以柯西收敛准则为依据，证实存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），同理证实存在ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ）．（２）充分性：由于均存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ），各自设为Ａ，Ｂ，建立函数公式如下：Ｆ（ｘ）＝Ａ㊀ｘ＝ａｆ（ｘ）㊀ｘɪ（ａ，ｂ）Ｂ㊀ｘ＝ｂ{．显然发现［ａ，ｂ］上函数Ｆ（ｘ）连续，根据定理２能够获得Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致连续，进而推断得出函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续．推导结论①㊀函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ］（［ａ，ｂ））上一致性连续的充要条件：函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ］（［ａ，ｂ））上连续并且均存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ）．推导结论②㊀假若在有限区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）连续，单调，有界，那么区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）一致连续．四㊁无限区间判定一致连续函数定理４㊀假若函数ｆ（ｘ）在［ａ，＋ɕ）上连续，并且ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）存在且有限，那么函数ｆ（ｘ）在（ａ，＋ɕ）上一致连续．推导结论①㊀假若函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，ｂ］上连续，并且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）存在且有限，那么函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，ｂ］上一致连续．推导结论②㊀假若函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上连续，并且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ），ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）存在且有限，那么ｆ（ｘ）函数在（－ɕ，＋ɕ）上一致连续．推导结论③㊀假若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ定义，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）存在垂直渐近线，那么区间Ｉ中不一致连续存在函数ｆ（ｘ）．定理５㊀假若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ定义，均存在∀ｘɪＩ，ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ），ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ），并且有限个角点，那么在区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）一致连续．证㊀可以假设Ｉ＝（－ɕ，＋ɕ），由于函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上任何一点都存在左右导数，那么在区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）连续存在，只有有限个角点，分别设为ｘ１，ｘ２， ｘｋ，ｋɪＮ．记为ｍ＝ｍｉｎｘɪ１，２， ，ｋ（ｘｉ），ｎ＝ｍｉｎｘɪ１，２，３ ，ｋ（ｘｉ），根据（－ɕ，＋ɕ）＝（－ɕ，ｍ－１］ɣ［ｍ－２，ｎ＋２］ɣ［ｎ＋１，＋ɕ］，那么在［ｍ－２，ｎ＋２］上连续存在函数ｆ（ｘ），必然一致连续．在［ｎ＋１，＋ɕ）上可导函数ｆ（ｘ），有界，得∃Ｍ＞０，ｘɪ［ｎ＋１，＋ɕ），ｆ（ｘ）ɤＭ，∀ｘ１，ｘ２ɪ［ｎ＋１，＋ɕ）．据此可以假设ｘ１＜ｘ２能够在［ｘ１，ｘ２］上可导，根据拉格朗日中值定理可得∃ζɪ（ｘ１，ｘ２），ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＝ｆ（ζ）（ｘ２－ｘ１）．所以ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）ɤＭｘ２－ｘ１，∀ε＞０，∃δ＝εＭ，ｘ２－ｘ１＜δ，ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＜ε，那么在［ｎ＋１，＋ɕ）上函数ｆ（ｘ）一致连续．根据以上推论过程，同理在（－ɕ，ｍ－１］上函数ｆ（ｘ）一致连续，根据一致连续性质能够知道（－ɕ，＋ɕ）上函数ｆ（ｘ）一致连续．五㊁总㊀结根据几何形象层面可以粗略表示，假若函数是连续的，那么就形成了连绵不断的连续曲线图像，那所得一致连续函数图像又如何？根据本次分析，笔者认为可以这样描述：一条一致连续的曲线，可以采用一系列长㊁宽各为２ε，δ并且平行于ｘ轴的小矩形覆盖（δ与ε是随之变化而变化的关系）．这样在对函数的一致连续性的学习中，加深了对该理论知识点的理解，如同在一个函数区间刻画了全局性的一致连续函数图像．六㊁结㊀论综上所述，在本次研究中探讨了数学分析中函数的一致连续性知识点，这是数学分析中的热点问题，函数又作为数学学科知识中的重要组成，所以有必要进一步展开本次讨论．只有对函数基本性质充分了解，才能够在不断的解题计算中逐渐理解并熟练掌握，加深探索可以将其具象地呈现出来，更好地帮助我们理解数学知识点，有效地转化新问题为旧问题，简化复杂问题，掌握函数一致连续性，熟悉解题思路和数学思想，真正做到举一反三地解决数学问题．ʌ参考文献ɔ［１］李一帆．函数一致连续性证明方法探究及推广［Ｊ］．知识文库，２０１８（１４）：１８１－１８２．［２］钟满田．山区高职院校函数一致连续性教学研究［Ｊ］．新教育时代电子杂志（教师版），２０１９（１８）：１９７．［３］段炼，方贤文．例析函数连续及一致连续的判别［Ｊ］．科技风，２０１８（３１）：２２．［４］李书馨．证明函数在无界区间一致连续的一种方法［Ｊ］．赢未来，２０１８（１５）：１８．［５］费时龙，洪佳音，朱少娟．多元函数列的一致收敛性及相关极限性质的研究［Ｊ］．廊坊师范学院学报：自然科学版，２０２０（２）：８－１０．［６］王海权，付英．一个修正的周期Ｃａｍａｓｓａ⁃Ｈｏｌｍ系统解对初值的不一致连续依赖性［Ｊ］．聊城大学学报：自然科学版，２０２０（２）：１－６．［７］米合甫孜㊃胡达拜地．函数的连续和一致连续的差别和关系［Ｊ］．考试与评价，２０１８（１）：６５－６６．［８］舒天军，莫智文．结构元线性生成的模糊值函数的连续性［Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２０１８（３）：５１－５７．. All Rights Reserved.。

二元函数与多元函数的连续性与一致连续性研究连续性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数图像在数轴上的连贯性。

在数学中，我们常常研究一元函数的连续性，即定义域和函数值都在实数集上进行的函数。

然而，在现实生活中，我们经常需要考虑多元函数，即定义域和函数值都在多维空间中的函数。

因此，了解二元函数和多元函数的连续性以及一致连续性非常重要。

1. 二元函数的连续性考虑一个定义域为二维平面上的函数f(x,y)，我们可以将其表示为z=f(x,y)。

如果对于每一个点(x₀,y₀)，只要(x,y)足够靠近(x₀,y₀)，那么f(x,y)就会足够靠近f(x₀,y₀)。

换句话说，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，当||(x,y)-(x₀,y₀)||<δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|<ε成立。

这就是二元函数在某点连续的定义。

2. 多元函数的连续性对于一个定义域为n维空间上的函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，我们可以将其表示为y=f(x₁,x₂,...,xₙ)。

类似于二元函数的定义，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，当||(x₁,x₂,...,xₙ)-(x₁₀,x₂₀,...,xₙ₀)||<δ时，有|f(x₁,x₂,...,xₙ)-f(x₁₀,x₂₀,...,xₙ₀)|<ε成立。

这就是多元函数在某点连续的定义。

3. 二元函数的一致连续性如果对于二元函数f(x,y)，在定义域上的任意两个点(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，只要||(x₁,y₁)-(x₂,y₂)||足够小，有|f(x₁,y₁)-f(x₂,y₂)|足够小，那么称f(x,y)在定义域上一致连续。

换句话说，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，当||(x₁,y₁)-(x₂,y₂)||<δ时，有|f(x₁,y₁)-f(x₂,y₂)|<ε对于定义域上的所有点都成立。

4. 多元函数的一致连续性类似于二元函数的定义，对于多元函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，如果在定义域上的任意两个点(x₁₁,x₂₁,...,xₙ₁)和(x₁₂,x₂₂,...,xₙ₂)，只要||(x₁₁,x₂₁,...,xₙ₁)-(x₁₂,x₂₂,...,xₙ₂)||足够小，有|f(x₁₁,x₂₁,...,xₙ₁)-f(x₁₂,x₂₂,...,xₙ₂)|足够小，那么称f(x₁,x₂,...,xₙ)在定义域上一致连续。

函数的一致连续性函数的一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它反映了函数在定义域内的整体的性质和变化情况。

本文将从一致连续性的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。

一、一致连续性的定义一致连续性是一种特殊的连续性，它描述了在任意给定的公差范围内，函数值与自变量之间的变化情况。

具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<ε，则称函数f在区间I上是一致连续的。

二、一致连续性的性质1.一致连续函数的一致连续区间如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数ε和负数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<max{ε, -ε}。

因此，一致连续函数的定义域内存在一个一致连续区间。

2.一致连续函数的性质一致连续函数具有以下性质：(1) 如果函数f在区间I上是一致连续的，则f在I上也是连续的。

这是因为当x从左侧逼近于某个点x₀时，一致连续性保证了f(x)与f(x₀)之间的差的绝对值小于任意给定的正数ε。

(2) 如果两个函数f和g在区间I上是一致连续的，那么它们的和、差、积也在这个区间上是一致连续的。

这个性质可以由绝对值不等式的性质得到。

(3) 如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数M和负数m，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有max{f(x₁), f(x₂)}<M和min{f(x₁), f(x₂)}>m。

这个性质说明了函数值的变化范围可以被任意给定的上下界所限制。

三、一致连续性的应用1.微分方程的解的性质一致连续性在微分方程的求解中有着重要的应用。

例如，如果微分方程描述的是一个物理系统在一组时间段上的状态变化，那么解的一致连续性就保证了系统状态的平滑变化，避免了突变和跳跃。

2.函数的逼近和级数求和一致连续性也是函数逼近和级数求和中的一个重要概念。

连续函数与一致连续性的研究分析在数学领域中，连续函数是一种重要的概念，它在分析学、微积分和实变函数等学科中都有广泛的应用。

连续函数的研究对于理解数学的发展和应用具有重要的意义。

而一致连续性是连续函数的一个重要性质，它在实际问题的建模和解决中也起到了关键的作用。

首先，我们来探讨连续函数的定义和性质。

在数学中，连续函数是指在定义域上的任意一点，函数值都能无限接近于其函数极限。

具体来说，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，总有|f(x)-f(x0)|<ε成立，那么我们称函数f(x)在点x0处连续。

连续函数具有一些重要的性质。

首先，连续函数的和、差、积仍然是连续函数。

其次，连续函数的复合函数也是连续函数。

这些性质使得连续函数在数学分析中有着广泛的应用。

例如，在微积分中，我们需要对函数进行求导和积分，而连续函数的这些性质保证了这些运算的合法性。

然而，仅仅满足上述定义的连续函数并不能满足一些特殊情况下的需求。

例如，考虑函数f(x) = 1/x，它在定义域上是连续函数。

但是，当x趋近于0时，f(x)的变化速度变得非常快，这导致了在一些问题中的数值计算的不稳定性。

为了解决这个问题，我们引入了一致连续性的概念。

一致连续性是连续函数的一种更强的性质。

对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，对于区间[a, b]上的任意两个点x和y，总有|f(x)-f(y)|<ε成立，那么我们称函数f(x)在区间[a, b]上一致连续。

一致连续性的引入解决了连续函数在局部变化剧烈的情况下的数值计算问题。

它保证了函数在整个定义域上的变化是平缓的，从而提高了数值计算的稳定性。

例如，在数学建模中，我们经常需要对连续函数进行数值逼近，而一致连续性保证了逼近的精度和稳定性。

探讨幂函数y=x^α在[0,+∞)上一致连续性
幂函数y=x^α是一类十分重要的函数，它们在数学研究中有着广泛的应用。

下面让我们来探讨一下y=x^α在[0,+∞)上的一致连续性。

要判断y=x^α在[0,+∞)上的一致连续性，首先要考虑幂函数的定义域与连续性。

幂函数的
定义域是x>0或x=0，同时它的重点是元α的取值范围，其取值范围可以任意实数，分母
可以是任意实数，但必须大于0。

因此，可以推论出y=x^α在[0,+∞)上是一致连续的。

根据定义，任何一个函数一致连续都需要满足以下三个条件：（1）函数自变量的取值范
围不变；（2）在定义范围内，函数表达式连续变化；（3）函数值在定义范围内是连续的。

前面我们已经分析过，y=x^α的取值是任意实数，α的取值范围是任意实数，因此第一个
条件也一定满足。

其次，由于α的取值范围是任意实数，而x的取值范围是[0,+∞)，因此
函数x^α在定义范围内也是连续变化的，符合第二个条件。

最后，y=x^α在[0,+∞)内也是
连续变化的，因此满足第三个条件。

综上所述，y=x^α在[0,+∞)上是一致连续的。

通过以上分析，我们可以看出，y=x^α具有一致连续性，是一个很有用的函数，在数学中有着广泛的应用。

函数的一致连续性一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它不仅在微积分中有着广泛的应用，而且在函数论和拓扑学等领域也扮演着关键的角色。

本文将对一致连续性的定义、性质及其与普通连续性的关系进行深入探讨，并通过例子说明其在实际中的应用。

一致连续性的定义传统的连续性涉及到函数在某一点的邻域内的行为，而一致连续性则进一步扩展了这一概念。

设 ( f: A ) 是定义在集合 ( A ) 上的一个函数。

如果对任意的 ( > 0 )，存在一个 ( > 0 )，使得对于所有的 ( x, y A )，只要满足 ( |x - y| < )，就有 ( |f(x) -f(y)| < )，那么我们称函数 ( f ) 是在 ( A ) 上一致连续的。

这种定义与普通的连续性不同，普通的连续性要求在特定点附近都能找到适合的 ( ) 值，而一致连续性则要求这个 ( ) 值能够适用于整个区间或集合。

这种“整体”性质使得一致连续性在分析中极具吸引力。

一致连续性的性质性质一：一致连续性的充要条件一致连续性最重要的一个性质是其与有界闭集上连续性的关系。

即如果函数 ( f: [a, b] ) 在区间上是连续的，并且该区间是有界闭集，那么函数 ( f ) 是一致连续的。

这一性质也可以称为“海涅-博尔查诺定理”的一种表现。

性质二：复合函数的一致连续性如果 ( f: A B ) 和 ( g: B C ) 都是显式一致连续的函数，那么复合函数 ( g(f(x)) ) 也是一致连续的。

这为我们提供了在处理复杂问题时的一种手段，可以将多个容易处理的一致连续函数组合起来。

性质三：一致连续函数的有限性如果一组函数 ( f_n: A_n B_n ) 是一致连续的，并且它们都定义在相同的集合上，则它们的一致收敛也将保持一致性，即如果( f_n(x) f(x) )（对所有 ( x A_n )），那么 ( f(x) ) 同样是一致连续的。

一致连续性与普通连续性的关系虽然所有的一致连续函数都是普通连续函数，但并非所有普通连续函数都是一致连续函数。

关于函数一致连续性证明的几个方法
一、函数的一致性证明
函数的一致性证明是指，在给定的区间中，确定函数在每一点的导数相同，使得函数自变量到因变量之间的变化是平滑的，函数设定值恒定，函数在其给定的区间上连续。

1.齐次可导定理：
齐次可导定理指出，若一函数是多元的，它在给定区间上的所有阶导数相等，则它在该区间上连续。

该定理的证明方法有三种：
（1）函数单调性：如果在区间上的所有阶导数相等，那么函数的一阶导数不会在区间上发生变化，也就是函数在该区间上单调递增或者单调递减。

即函数的单调性完全由函数的一阶导数决定，从而证明了函数的一致性。

（2） Taylor 展开：将给定函数准确的利用 Taylor 展开式近似表示，然后对展开式取极限，若极限值等于原函数，则证明函数在给定区间上连续。

（3）原函数定义域：若一函数在给定区间的导数都相等，则这个函数可以由它在定义域的一系列点来构成，从而得出定义域的任意两点之间的条件都一样，再由此可知函数的一致性。

2.高斯-约旦多项式
高斯-约旦多项式是一种常用的求解多项式拟合函数的算法。

该算法可以用来可以得到函数的函数曲线，从而能够完成一致性检验。

连续函数的一致连续性与逼近性连续函数是数学中非常重要的一类函数，它在各个领域都有广泛的应用。

在研究连续函数的性质时，一致连续性与逼近性是两个重要的概念。

本文将就连续函数的一致连续性与逼近性进行论述，并进行相关的分析。

1. 一致连续性连续函数的一致连续性是指函数在整个定义域上满足一致性条件，并且对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，当|x-y|<δ时，总有|f(x)-f(y)|<ε。

一致连续性的定义表明了函数在整个定义域上对于任意小的ε值都能找到相应的δ值，使得函数值的差距小于ε。

这种性质保证了函数的连续性在整个定义域上都是平滑的，避免了在某些特定点处出现跳跃或不连续的情况。

2. 逼近性逼近性是指连续函数能够用一系列接近它的函数来逼近。

对于给定的连续函数f(x)，存在一列连续函数{f_n(x)}，使得当n趋向于无穷大时，f_n(x)逐渐逼近于f(x)。

逼近性的概念体现了连续函数的近似性质。

通过逼近，我们可以用一系列更加简单或易于计算的函数来近似描述原函数，简化问题的求解过程。

逼近理论在数学分析、数值计算等领域有着广泛的应用。

3. 连续函数的一致连续性与逼近性的关系一致连续性是逼近性的基础。

如果一个函数在定义域上是一致连续的，那么它是可逼近的。

这是因为对于给定的ε>0，由于函数的一致连续性，我们可以找到一个δ>0，使得当|x-y|<δ时，总有|f(x)-f(y)|<ε/2成立。

然后通过选取适当的函数n，我们可以使得当n足够大时，|f_n(x)-f(x)|<ε/2。

因此，当|x-y|<δ时，有：|f_n(x)-f(x)| ≤ |f_n(x)-f(y)| + |f(y)-f(x)| < ε/2 + ε/2 = ε因此，函数f_n(x)在定义域上是一致连续的，并且逐渐逼近于函数f(x)。

综上所述，连续函数的一致连续性与逼近性是密切相关的。

一致连续性为函数提供了逼近的基础，使得我们可以使用一系列逼近函数来近似描述原函数。

对函数一致连续性的讨论Discussion of the uniform continuityof the function函数的一致连续性概念是数学分析中的一个重要概念，但是由于它没有像连续函数、可导函数那样直观的几何意义，所以对一致连续概念只是从字面上掌握了其抽象定义，对其实质则很难透彻理解．本文从一致连续的定义、几何意义两个方面进行了详细阐述，希望能加深对一致连续性概念的理解．1、对定义的理解首先给出连续与一致连续的概念【1】：定义1 函数()f x 在区间I 上连续是指：0x I "?，0e ">，0d $>，当x I "?： 0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．定义2 函数()f x 在区间I 上一致连续是指：0e ">，0d $>，当12x x I "?、： 12x x d -<时，有12()()f x f x e -<．（1）由定义可知，在区间I 上一致连续的函数一定是连续的．事实上，由一致连续性定义将1x 固定，令2x 变化，即知函数()f x 在1x 连续，又1x 是区间I 的任意一点，从而函数()f x 在I 连续．但反之则不成立，即在区间I 上连续的函数不一定一致连续．（2）比较两个定义可知：函数连续定义中的d 不仅与e 有关，还与0x 有关，即对于不同的0x ，d 一般是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在该区间连续；而一致连续定义中的d 只与e 有关，与0x 的选取无关，即对于不同的0x ，d 是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求在每点的连续要具有“一致性”，即对不同的0x ，能找到共同的d ，使得当0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．而所谓共同的d ，就是所有d 的最小值，当最小值不存在时，函数就非一致连续．（3）函数一致连续的实质就是，当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上函数值的差的绝对值可以任意小，即12x x I "?、，当12x x d -<时，有12()()f x f x e-<【5】．（4）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定叙述就是非一致连续，即设函数()f x 在区间I 有定义，若00e $>，0d ">，12,x x I $?：12x x d -<，有()120()f x f x e -?，则称函数()f x 区间I 上非一致连续．总的来说，函数的连续性反映了函数的局部性质，而函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质，两者之间既有区别又有联系。

函数一致连续性判断方法探究作者：钱耀飞来源：《现代职业教育·高职高专》2017年第05期[关键词] 函数；一致连续性；判断方法[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）13-0129-01一致连续性作为函数的整体性质，是各类考试的重点考查内容，一方面概念本身很容易产生错误的理解和应用，特别是在与连续性做比较时，一致连续性比连续性要求更严格；另一方面，这个性质是第一次出现“一致”这个概念，这对后面研究其他“一致”的性质是特别重要的基础。

有关一致连续性的题目，简单可以分为两类，一类是判断函数是否是一致连续的，另一类就是已知函数具有一致连续性，给出相关应用或得出关于函数的其他性质。

一、常见证明一致连续的方法（一）一致连续的定义函数f在I上一致连续：？坌ε>0，？埚δ>0，当x′，x″∈■（x0；δ）时，|f（x′）-f（x″）|（二）康托定理（一致连续性定理）若函数f在闭区间[a，b]上连续，则f在区间[a，b]上一致连续.（三）利普希茨（Lipschitz）条件存在常数L>0，使得对I上任意两点x′，x″都有|f（x′）-f（x″）|≤|x′-x″|则f在I上一致连续。

（四）综合多区间的不同性质，得出一致连续二、一致连续的否定定义？埚ε0，？坌δ>0（无论δ多么小），在I上总存在两点x′和x″，尽管|x′-x″|三、函数连续性与一致连续性的异同点（一）相同点若f（x）在I上一致连续，则f（x）在I上连续；反之不成立（即若f（x）在I上连续，f （x）不一定在I上一致连续）。

（二）不同点1.定义函数f（x）在I上连续？坌x0∈I，？埚ε>0，？埚δ>0，当x′∈■（x0；δ）时，|f（x′）-f（x″）|函数f（x）在I上一致连续？坌ε>0，？埚δ>0，当x′，x″∈■（x0；δ）时，|f（x′）-f（x″）|2.对δ的要求若函数f（x）在上I连续，对于I上的不同的点x0，相应的δ是不同的，也就是δ的取值除依赖于ε外，还与点x0有关，可记做δ=δ（ε，x0）若函数f（x）在I上一致连续，δ的取值只与ε有关，而与x0无关，即存在适合于I上所有的点x0的公共的δ，记做δ=δ（ε），它对任意的x0适用。