数值分析第5章习题

数值分析课后习题全解（可编辑优质文档）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）第5章 数值分析课后习题全解第5章：解线性方程组的直接方法1． 证明：由消元公式及A 的对称性得(2)211,,2,3,..........,1111111a a j i a a a a a a i j na a ijij j j iji =-=-== 故2A对称2．证明：（1）因A 对称正定，故,)0,1,2,......,e i ni >=aii=(Ae i其中i e =（0,…,0,1,0,...,0）T 为第i 个单位向量.(2)由A 的对称性及消元公式得111211122222n n nn n n u u u d d u u d d u d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2)ij a =ija -1111i j a a a =ji a -111j a a 1i a =(2)ji a ，I,j=2,…,n故2A 也对称.又 11120Ta a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1L A 1TAL其中 1L =211111111.....1n a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦显然1L 非其异,从而对任意的x ≠0,有1TL X ≠0,(x,1L A 1TL X)=(1TL x, A 1TL X)>0 (由A 的正定性) 故11T L AL 正定.又11T L AL =11200a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而11a >0,故2A 正定. 3.证明 由矩阵乘法简单运算即得证.4.解 设有分解4232125316⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=123431231αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1231111βββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由公式11,1111,2,3,,,2,3,.1i i i i ii i b a c b i n c i n αβαβααβ-==⎧⎪=+=⎨⎪==-⎩其中i b ,i a ,i c 分别是系数矩阵的主对角线元素及下边和上边的次对角线元 素.故有112233414,272,27397,7138513αβαβαβα⎧==⎪⎪⎪=-=-⎪⎨⎪==⎪⎪⎪=⎩从而有4232125316⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=4732392785113⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦11221771131⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故 1y =64=32, 2y =12372y --=573y =21022039137y -=, 4y =3518513y +=故4x =1,3x =420711313x -=,2x =352177x +=,1x =231122x -= 5. 解 (1)设U 为上三角阵1112112222n n nn n u u u x u u x u x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=12n d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因nn n u x =n d ，故n x =nnnd u . 因 10001010302171101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎦⎣ii i u x +1n ij j j i u x =+∑=id ,故i x =1ni ij ij i iid u xu =+-∑,i=n-1,n-2,,1当U 为下三角阵时11212212n n nn u u u u u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦= 12n d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得,1x =111d u , 1x =11i i ij jj iid u x u -=-∑,i=2,3,…,n.(2)除法次数为n,乘法次数为1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2 故总的乘法次数为n+n(n-1)/2=n(n+1)/2. (3)设U 为上三角阵,1U-=S,侧S 也是上三角阵.由11121222n n nn u u u u s u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11121222n n nn s s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得 1ii iis u =, i=1,2,…,nij s =-1jik kjk i iiusu =+∑,j=i+1,i+2,…,n; i=n-1,n-2,…,1当U 为下三角阵时,由11212212n n nn d d d d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11212212n n nn s s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦= 111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得 1ii iis u =,i=1,2,…,n ij s =11i ik kjk iiusu -=-∑,i=2,3,…,n;j=1,2,…,i-16. 证明 (1)因A 是对称正定阵,故存在唯一的分解A=L TL ,其中L 是具有正对 角元素的下三角阵.从而 1A -=(L TL )1-=(TL )1-L 1-=(L 1-)TL 1-(A 1-)T =11()TT L L --⎡⎤⎣⎦=11()T L L --=1A -故1A -是对称矩阵.又1L -非奇异,故对任意的 x ≠0,有1L -x ≠0,故1Tx A -X=11()T T x L L x --=11()()T L x L x -->0故1A -是对称正定矩阵,即1A -也对称正定.(2)由A 对称正盯,故A 的所有顺序主子式均不为零,从而A 有唯一的 Doolittle 分解A=L U.又U=1122nn u u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1121111222111n n u u uu u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=D 0U 其中D 为对三角阵, 0U 为单位上三角阵,于是 A=U L =D L 0U又 A=TA =TO U D TL由分解的唯一性即得T O U =L从而有 A=D L TL 又由A 的对称正定性知 1d =1D >0, i d =1ii D D ->0 (i=2,3,…,n) 故 D=12n d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣=12D 12D 故A=L D TL =L12D12D TL =(L 12D )(L 12D )T =LL T其中L=L 12D 为三角元为正的下三角矩阵.7. 解[A|I]=21311000310701001242001010150001⎡--⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎢⎦⎣-> 101500010138010302330011011111002⎡-⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎦⎣-> 1015010138010300319021700431101⎡-⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥---⎢⎦⎣->421410003333010110114192170010333385542500013333⎡⎤---⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦-> 410231685178517100033641130100851785170010191538851785170001314585178517⎤--⎥⎥⎡⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎥⎥--⎦->1A -=4102316851785173364113851785171953885178517314585178517⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=0.04705890.58823530.27058820.94117650.38823530.35294120.48235290.76470590.22352940.29411760.03529410.47058820.03529410.05882350.04705890.2941176--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦8． 解 设有分解2112112112112-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦= 123451111ααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123451111βββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由公式11,1111,(2,3,4,5),(2,3,4)i i i i i i i b c b i c i ααβαβααβ-==⎧⎪=+=⎨⎪==⎩其中i b ，i a ，i c 分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元 素，则有12α=， 232α=， 343α=， 454α=， 565α= 112β=-， 223β=-， 334β=-， 445β=-由12345231120410305140615y y y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦得1y =12，213y =，314y =，415y =，516y = 由112213314415⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦123451213141516x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得5x =16，4x =13，3x =12，2x =23，1x =569．解 设211123131-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=121312123231323111111d l l l d l l l d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由矩阵乘法得1d =2， 2112l =-， 3112l = 252d =-，3275l =-3275d =由123141152617125y y y ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦得 14y =，27y =，3695y = 由12311122245717256927155x x x ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 得 123111222247514175256927123559x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故3x =239=2.555 555 6，279x ==0.777 777 8，1x =109=1.111 111 1 10． 解 A 中2∆=0，故不能分解。

第4章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：(1) ∫f (x )ⅆx h−h ≈A −1f (−h )+A 0f (0)+A 1f (h )解：将f(x) = 1，x ，x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得： A −1+A 0+A 1=2ℎ −ℎA −1+ℎA 1=0 ℎ2A −1+ℎ2A 1=23ℎ3解得A -1 = ℎ3 ，A 0 = 4ℎ3，A 1 = ℎ3. 即所求公式至少具有2次代数精度， 又由于：∫x 3ⅆx ℎ−ℎ=ℎ3(−ℎ)3+ℎ3⋅ℎ3 且 ∫x 4ⅆx ℎ−ℎ≠ℎ3(−ℎ)4+ℎ3⋅ℎ4∴ ∫f (x )ⅆx ℎ−ℎ≈A −1f (−ℎ)+A 0f (0)+A 1f (ℎ) 具有3次代数精度(2) ∫f (x )ⅆx 2h−2h ≈A −1f (−h )+A 0f (0)+A 1f (h )解：将f(x) = 1，x ，x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得： A −1+A 0+A 1=4ℎ −ℎA −1+ℎA 1=0 ℎ2A −1+ℎ2A 1=163ℎ3解得A -1 = 8ℎ3 ，A 0 = -4ℎ3，A 1 = 8ℎ3. 即所求公式至少具有2次代数精度， 又由于：∫x 3ⅆx 2ℎ−2ℎ=8ℎ3(−ℎ)3+8ℎ3⋅ℎ3 且 ∫x 4ⅆx 2ℎ−2ℎ≠8ℎ3(−ℎ)4+8ℎ3⋅ℎ4∴ ∫f (x )ⅆx 2ℎ−2ℎ≈A −1f (−ℎ)+A 0f (0)+A 1f (ℎ) 具有3次代数精度2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： (2)∫√x ⅆx 91，n = 4解：h =b−a n=9−14= 2根据复合梯形公式：∫√x ⅆx 91= ℎ2[f (1)+f (9)+2∑f (x k )3k=1] =(1 + 3 + 2√3+2√5+2√7) ≈17.228 根据复合辛普森求积公式： ∫√x ⅆx 91= ℎ6[f (1)+4∑f(x k+12)3k=0+2∑f (x k )3k=1+f (9)]= 13(1 + 4√2+4√4+4√6+4√8 + 2√3+2√5+2√7 + 3) ≈ 17.3326. 若用复合梯形公式计算积分I = ∫ⅇx ⅆx 10，问区间[0, 1]应分多少等份才能使截断误差不超过12×10-5 ？若改用复合辛普森公式，要达到同样精度区间[0, 1]应分多少等份？解：f(x) = e x , f’’(x) = f (4)(x) = e x , b-a = 1, h = 1n , ∴根据复合梯形公式： | R n (f) | = | -b−a 12ℎ2f ′′(η) | =ⅇx 12n≤ ⅇ12n≤ 12× 10-5 求得n ≥ 212.85, 取n = 213, 即将区间[0, 1]分为213等份时，用复合梯形公式计算，截断误差不超过12×10-5。

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n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
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因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
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例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.

习题51．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。

(1) 左矩形公式：⎰-≈ba ab a f dx x f ))(()((2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f ba-≈⎰(3) 中矩形公式：⎰-+≈baa b ba f dx x f ))(2()( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f baba -=≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=--ba ba ba ba dx a f x f dx a f dx x f ab a f dx x f ))()(()()())(()(),()(21)()()()(2ηηξf a b dx a x f dx a x f ba b a'-=-'=-'=⎰⎰),(,b a ∈ηξ(2) )()(b f x f ≈，⎰⎰-=≈b abaa b a f dx b f dx x f ))(()()(⎰⎰⎰⎰-=-≈--b a b a b a ba dxb f x f dx b f dx x f a b b f dx x f )]()([)()())(()()()(21)()()()(2ηηξf a b dx b x f dx b x f ba b a'--=-'=-'=⎰⎰，),(,b a ∈ηξ(3) 法1 )2()(ba f x f +≈ ， ⎰⎰-+=+≈ba baa b b a f dx b a f dx x f ))(2()2()(⎰-+-baa b b a f dx x f ))(2()(⎰⎰+-=b a b a dx b a f dx x f )2()( dx b a f x f b a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)2()( dx b a x f b a x ba fb a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-''++-+'=2)2)((21)2)(2(ξ dx b a x f dx b a x b a f ba b a 2)2()(21)2()2(⎰⎰+-''++-+'=η3))((241a b f -''=η 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。