高一数学上学期期中试卷2

2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。

2024年下学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2}A =，{,}B xy x A y A =∈∈，则集合B 中元素的个数为（）A.4B.3C.2D.12.设,a b ∈R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（）A.a ∀∈R ，210ax +≠有实数解 B.a ∃∈R ，210ax +=无实数解C.a ∀∈R ，210ax +=无实数解D.a ∃∈R ，210ax +≠有实数解4.已知集合{1,2}M =，{1,2,4}N =，给出下列四个对应关系：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）A. B.C. D.6.若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.02a << B.111a b+≤2≤ D.228a b +≤7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A.(,2)(2,)-∞-+∞B.(0,2)(2,)+∞ C.(2,0)(2,)-+∞ D.(,2)(0,2)-∞-8.若函数2(21)2(0)()(2)1(0)b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+--≤⎩，为在R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（）A.1,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.[]1,2 D.[2,)+∞二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()bf x x x=+，下列说法正确的是（）A.若1b =，则函数()f x 的最小值为2B.若1b =，则函数()f x 在(1,)+∞上单调递增C.若1b =-，则函数()f x 的值域为RD.若1b =-，则函数()f x 是奇函数10.已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的部分图象如图所示，则（）A.0abc >B.0a b +>C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+>的解集为112x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x >.则下列说法正确的是（）A.(0)0f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n D.()2(21)20f x f x -+->的解集为{31}x x -<<三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若36a ≤≤，12b ≤≤，则a b -的范围为________.13.定义在R 上的函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②()f x 在(0,)+∞上单调递减；③(0)1f =，请写出一个满足条件的函数()f x =________.14.对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B =-，则B 的“小和数”为________，B 的“大和数”为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合{3}A x a x a =≤≤+，集合{1B x x =<-或5}x >，全集R U =.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知幂函数()2()253mf x m m x =-+是定义在R 上的偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,4上，()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围.17.（15分）已知关于x 的不等式(2)[(31)]0mx x m ---≥.（1）当2m =时，求关于x 的不等式的解集；（2）当m ∈R 时，求关于x 的不等式的解集.18.（17分）为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x 元，实际支付金额为y 元.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a 、b 元，且a 、b 满足关系式45085b a a =++-320(90)a ≥，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额-甲乙拼单后实际支付的总额）19.（17分）经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()y f x =是奇函数”.（1）若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x =+，求()f x 的解析式；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()y f x =的图象关于点(,0)a 成中心对称图形”的充要条件是“()y f x a =+为奇函数”.若定义域为R 的函数()g x 的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且当1x >时，1()1g x x=-.（i ）求()g x 的解析式；（ii ）若函数()f x 满足：当定义域为[],a b 时值域也是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()tg()(0)h x x t =>在(0,)+∞上存在保值区间，求t 的取值范围.2024年下学期期中考试参考答案高一数学1.B2.A3.C4.D【详解】对于①，1y x =，当2x =时，1N 2y =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110N y =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，2N y =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，4N y =∈，故④满足题意. D.5.A6.C 【详解】因为0a >，0b >，当3a =，1b =时，3ab =，1114133a b +=+=，2210a b +=，所以ABC 选项错误.由基本不等式a b +≥22a b+≤=，选C.7.A 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，故函数在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，故(2)(2)0f f -=-=，函数在(2,0)-和(2,)+∞上满足()0f x <，在(,2)-∞-和(0,2)上满足()0f x >.()0xf x <，当0x <时，()0f x >，即(,2)x ∈-∞-；当0x >时，()0f x <，即(2,)x ∈+∞.综上所述：(,2)(2,)x ∈-∞-+∞ .故选A.8.C 【详解】21020221b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得12b ≤≤.∴实数b 的取值范围是[]1,2，故选C.9.BCD 10.ACD11.ABD解：因为函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，所以(0)(0)(0)f f f +=，即2(0)(0)f f =，则(0)0f =；令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，故()f x 为奇函数；设12,x x ∈R ，且12x x <，则1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-+，即1212())()(0f x f x f x x -=->，所以()f x 在R 上是减函数，所以()f x 在区间[],m n 上有最大值()f m ；由2(21)(2)0f x f x -+->，得2(23)(0)f x x f +->，由()f x 在R 上减函数，得2230x x +-<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，所以2(21)(2)0f x f x -+->的解集为{31}x x -<<，故选ABD.12.[1,5]13.21x -+（答案不唯一）14.5，80【详解】由题意可知，B 的“小和数”为(1)01235-++++=，集合B 中一共有5个元素，则一共有52个子集，对于任意一个子集M ，总能找到一个子集M ，使得M M B = ，且无重复，则M 与M 的“小和数”之和为B 的“小和数”，这样的子集对共有54222=个，其中M B =时，M =∅，考虑非空子集，则子集对有421-对，则B 的“大和数”为4(21)5580-⨯+=.故答案为：5；80.15.【详解】（1）因为3a a <+对任意a ∈R 恒成立，所以A ≠∅，又A B =∅ ，则135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤；（2）若x A ∀∈，x B ∈是真命题，则有A B ⊆，则31a +<-或5a >，所以4a <-或5a >.16.【详解】（1）因为2()(253)mf x m m x =-+是幂函数，所以22531m m -+=，解得2m =或12，又函数为偶函数，故2m =，2()f x x =；（2）原题可等价转化为220x kx -+>对[1,4]x ∈恒成立，分离参数得2k x x <+，因为对[1,4]x ∈恒成立，则min 2(k x x<+，当0x >时，2x x +≥=当且仅当2x x=即x =时取得最小值.故k <17.【详解】（1）解：当2m =时，不等式可化为(1)(5)0x x --≥解得1x ≤或5x ≥，所以当2m =时，不等式的解集是{1x x ≤或5}x ≥.（2）①当0m =时，原式可化为2(1)0x -+≥，解得1x ≤-；②当0m <时，原式可化为2((31)]0x x m m ---≤，令231m m =-，解得23m =-或1；1）当23m <-时，231m m -<.故原不等式的解为231m x m -≤≤；2）当23m =-时，解得3x =-；3）当203m -<<时，231m m <-，原不等式的解为231x m m≤≤-；③当0m >时，原式可化为2((31)]0x x m m---≥，1）当01m <<时，231m m >-，2x m∴≥或31x m ≤-；2）当1m =时，不等式为2(2)0x -≥，x ∈R ；3）当1m >时，231m m <-，31x m ∴≥-或2x m≤.综上，当23m <-时，原不等式的解集为231x m x m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-≤≤；当23m =-时，不等式的解集为{}3x x =-；当203m -<<时，解集为231x x m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤-；当0m =时，解集为{}1x x ≤-；当01m <<时，不等式的解集是{2x x m ≥或31}x m ≤-；当1m =时，不等式的解集为R ；当1m >时，解集是{31x x m ≥-或2}x m≤.18.【详解】（1）由题意，当0300x <≤时，y x =；当300500x <≤时，3000.8(300)0.860y x x =+-=+；当500x <时，3000.8(500300)0.7(500)0.7110y x x =+-+-=+.综上，,03000.860,300500 0.7110,500x x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪+<⎩.（2）甲乙购买商品的金额之和为4502320(90)85a b a a a +=++≥-.45045023202(85)3201708585a b a a a a +=++=-+++--490230490550≥=⋅+=（元）当且仅当4502(85)85a a -=-即8515a -=±时，原式取得最小值.此时100a =（或70a =，舍去），550450b a =-=（元）因为550500>，则拼单后实付总金额0.7550110495M =⨯+=（元）故折扣省下来的钱为55049555-=（元）.则甲乙拼单后，甲实际支付5510072.52-=（元），乙实际支付55450422.52-=（元）而若甲乙不拼单，因为100300<，故甲实际应付100a '=（元）；300450500<<，乙应付0.845060420b '=⨯+=（元）.因为420元<422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额b 比不拼单时的实付金额b '还要高，因此该分配方式不公平.（能够答出“乙购买的商品的金额是甲购买商品的金额的4.5倍，则乙应减的价钱应是甲的4.5倍，故不公平”之类的答案的可酌情给分）答：当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平.19.【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，所以()()f x f x =--()2211x x ⎡⎤=--+=--⎣⎦，又()00f =，所以()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩；（2）（i ）因为定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，所以()1y g x =+为奇函数，所以()()11g x g x +=--，即()()2g x g x =--，1x <时，21x ->，所以()()1121122g x g x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪--⎝⎭.所以()11,111,12x xg x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪-⎩；（ii ）()()()11,1tg 011,12t x x h x x t t x x ⎧⎛⎫⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==>⎨⎛⎫⎪⋅-+< ⎪⎪-⎝⎭⎩，a ）当()0,1x ∈时，()11()11022h x t t t x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+=⋅--> ⎪ --⎝⎭⎝⎭在()0,1单调递增，当()[,]0,1a b ⊆时，则112112t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅--= ⎪⎪-⎝⎭⎩，即方程112t x x ⎛⎫⋅--= ⎪-⎝⎭在()0,1有两个不相等的根，即()220x t x t +--=在()0,1有两个不相等的根，令()()()22,0m x x t x t t =+-->，因为()()0011210m t m t t ⎧=-<⎪⎨=+--=-<⎪⎩，所以()220x t x t +--=不可能在()0,1有两个不相等的根；b ）当()1,x ∈+∞时，()()110h x t t x ⎛⎫=⋅-=> ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递增，当()[,]1,a b ⊆+∞时，则1111t a a t bb ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即方程11t x x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭在()1,+∞有两个不相等的根，即20x tx t -+=在()1,+∞有两个不相等的根，令()()2,0n x x tx t t =-+>，则有()2110022212n t t t t t n t t t⎧=-+>⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+<⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得4t >.c ）当01a b <<<时，易知()g x 在R 上单调递增，所以()()()tg 0h x x t =>在()0,+∞单调递增，此时11211t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()()2222211221111111211112111a a a a a t a a a a a b b b t b b b b ⎧---+-====-+⎪⎪----⎨-+-+⎪===-++⎪---⎩令()()()11,011r a a a a =--+<<-，则易知()r a 在()0,1递减，所以()()00r a r <=即0t <，又1b >时，()112241t b b =-++≥=-，当且仅当()111b b -=-，即2b =时取等，以()()110111241t a a t b b ⎧=-+<⎪⎪-⎨⎪=-++≥⎪-⎩，此时无解；t 的范围是()4,+∞.。

浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}N 12A x x =∈-≤≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}12．若函数()1f x +的定义域是{}10x x -<<，则函数()f x 的定义域为（）A ．{}01x x <<B ．{}21x x -<<-C ．{}10x x -<<D ．{}20x x -<<3．不等式20cx ax b ++>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则函数2y ax bx c =+-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知()e e x x xf x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知命题p ：0x ∃≥，111x x +<+，则（）A ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是真命题B ．命题p 的否定为0x ∃≥，111x x +≥+，且p 是真命题C ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是假命题D ．命题p 的否定为0x ∀<，111x x +≥+，p 是假命题6．已知函数2()32x a x f x ax x ⎧≤=⎨+>⎩，，是R 上的增．函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1a >B ．13a <<C ．13a -≤≤D ．13a <£7．已知,,abc 为正数，且22a b c ++=，则14a b b c +++的最小值为（）A ．52B ．52C ．92D ．948．已知函数341()=41x x f x x -++，则不等式(21)()0f x f x -+<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞二、多选题9．设,R a b ∈，若0a b ->，则下列结论正确的是（）A ．0b a ->B ．0b a +>C ．220a b ->D ．330a b +<10．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A ．三项比赛都参加的有2人B ．只参加100米比赛的有3人C ．只参加400米比赛的有3人D ．只参加1500米比赛的有3人11．设R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.51, 1.52⎡⎤=-=-⎣⎦，记{}[]x x x =-.则下列说法正确的有（）A ．R,Z x n ∀∈∈，都有[][]n x n x +=+B ．,x y ∀∈R ，都有[][][]xy x y ≥C ．*R,N x n ∀∈∈，都有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．若存在实数x ，使得23[]1,[]2,[]3,...,[]n x x x x n ====同时成立，则正整数n 的最大值为4.三、填空题12．设集合(){}22,2,N,N A x y x y x y =+≤∈∈，则A 中元素的个数为13．如果2339x x --<，则x 的取值范围为.14．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12x x D ∈,当12x x <时，有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0;f =②1()()32x f f x =；③(1)()1f x f x -+=.则21((55f f +=四、解答题15．已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A .(1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()4(0)4x xa f x a =+≠(1)当1a =时，根据定义证明函数()f x 在(0,+∞）上单调递增.(2)若()f x 有最小值4，求a 的值.17．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为7502m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间,,A B C 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中,B C 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .(1)用含有x 的代数式表示a ，并写出x 的取值范围；(2)当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？18．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈.(1)若1t =，（i ）当[0,3]x ∈时，求()f x 的最大值和最小值;（ii ）对任意的[]0,2x a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若对任意的12,[0,4]x x ∈，都有()()128f x f x -≤，求实数t 的取值范围.19．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2()4f x x x =-+.(1)求()f x 的解析式；(2)当()f x 的定义域为[,]a b （0a ）时，()f x 的值域为[,]a b ，求,a b 的取值.(3)是否存在实数,a b ，使得当()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为88[,b a，如果存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.。

浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期中联考数学质量检测试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}0,1P =，则集合{}M A A P =⊆可用列举法表示为（）A.{}0,1 B.{},0,1∅ C.{}{}{},0,1∅ D.{}{}{}{},0,1,0,1∅2.学校开运动会，设{A x x=∣是参加100米跑的同学}，{B x x =∣是参加200米跑的同学}，{C x x =∣是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（）A.()A B C =∅B.()A B C =∅C.()A B C =∅D.()A B C ⋂⋂=∅3.若a 、b 、c ∈R ，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（）A.33a c b c ->-B.()0ac bc c >≠C.a b> D.11a b>4.若实数,a b 满足0a b >>，则（）A.0a b -<B.0a b +>C.22a b > D.11a b>5.函数()r f p =的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是A.][)5,0,2,6-⎡⎣和[][]5,02,6-⋃ B.[][)5,02,6-⋃和][5,0,2,6-⎡⎤⎣⎦C.][)5,0,2,6-⎡⎣和()()5,02,6- D.[][)5,02,6-⋃和()()5,0,2,6-6.已知幂函数()()21af x a a x=--在区间()0,∞+上单调递增，则函数()1(1)x a g x b b +=->的图像过定点（）A.()2,0- B.()2,1--C.()1,0 D.()1,1-7.若“13x -<<”是“01x aa x-<+-”的一个充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A.2a ≤-或3a ≥ B.1a <-或3a > C.23a -<< D.13a -<<8.已知0x >，0y >，且311x y +=，则2xx y y++的最小值为（）A .9B.10C.12D.13二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列叙述正确的是（）A.2R,230x x x ∃∈-->B.命题“R,12x y ∃∈<≤”的否定是“R,1x y ∀∈≤或2y >”C.设,R x y ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件D.命题“2R,0x x ∀∈>”的否定是真命题10.已知a ，b 均为正实数，则下列选项正确的是（）A.2b a a b +≥ B.11b ba b a b+>+++C.2aba b≥+ D.+≥11.给定数集A =R ，(],0B ∞=-，方程2210s t ++=①，则（）A.任给s A ∈，对应关系f 使方程①的解s 与t 对应，则()t f s =为函数B.任给t B ∈，对应关系g 使方程①的解t 与s 对应，则()s g t =为函数C.任给方程①的两组不同解()11,s t ，()22,s t ，其中1s ，2s B ∈，则11221221t s t s t s t s +>+D.存在方程①的两组不同解()11,s t ，()22,s t ，其中1s ，2s B ∈，使得1212(,)22s s t t ++也是方程①的解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若102m =，103n =，则310m n -=________.13.已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b k +=-且0,0m n >>，则91m n+的最小值为______.14.已知函数()f x 是定义域为{0}xx ≠∣的偶函数，当12,x x 为两个不相等的正实数时，()()1221121x f x x f x x x -<-恒成立，若()23f =，2133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则不等式()1f x x ->的解为______四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知 ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．16.已知函数()()2,f x x x ab a b +=+∈R（1）若不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，求a ，b 的值（2）若方程()0f x =仅有一个实数解，求4a b +的最小值.17.鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度x （单位：摄氏度）与保鲜时间t （单位：小时）之间的函数关系式为()e ax b t x +=．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．（1）新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；（2）已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）参考数据：lg 20.30,lg 30.48≈≈18.已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，记集合A 为()f x 的定义域．（1）求集合A ；（2）判断函数()f x 的奇偶性；（3）当x A ∈时，求函数221()(2x xg x +=的值域．19.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，(2)cos cos 0a c B b A -+=．（1）求角B 的大小；（2）若2,a b ==且,BA CA 边上的两条中线,CM BN 相交于点G ，求MGN ∠的余弦值；（3）若ABC V 为锐角三角形，且c a >，记ABC V 的外心和垂心分别为,O H ，连接OH 的直线与线段,AB BC 都相交，求证：线段OH 的长度为c a -．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期中联考数学质量检测试卷合题目要求的．1. 若集合{}0,1P =，则集合{}M A A P =Í可用列举法表示为（ ）A. {}0,1B. {},0,1Æ C. {}{}{},0,1Æ D. {}{}{}{},0,1,0,1Æ【答案】D 【解析】【分析】根据子集关系分析求解即可.【详解】因为A P Í，则{}{}{},0,1,0,1A =Æ，所以{}M A A P =Í{}{}{}{},0,1,0,1=Æ.故选：D.2. 学校开运动会，设{A x x =∣是参加100米跑的同学}，{B x x =∣是参加200米跑的同学}，{C x x =∣是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（ ）A. ()A B C =ÆI U B. ()A B C =ÆU I C. ()A B C =ÆU U D. ()A B C ÇÇ=Æ【答案】D 【解析】【分析】根据交集的含义求解即可.【详解】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，故没有同学参加三项比赛，即()A B C ÇÇ=Æ.故选：D3. 若a 、b 、c ÎR ，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. 33a c b c ->- B. ()0ac bc c >¹C. a b > D.11a b>【答案】A【分析】利用不等式的基本性质可判断AB 选项；利用特殊值法可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为a b >，由不等式的基本性质可得33a c b c ->-，A 对；对于B 选项，因为a b >，当0c <时，由不等式的基本性质可得ac bc <，B 错；对于C 选项，取2a =，3b =-，则a b <，C 错；对于D 选项，取2a =，1b =，则11a b<，D 错.故选：A.4. 若实数,a b 满足0a b >>，则（ ）A. 0a b -< B. 0a b +>C. 22a b > D.11a b>【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ，令1,1a b ==-，举反例即可；对于D ，直接由不等式的传递性即可得证.【详解】对于ABC ，令1,1a b ==-，显然满足0a b >>，同时0a b ->，0a b +=，22a b =，故ABC 错误；对于D ，若0a b >>，则110a b>>，故D 正确.故选：D.5. 函数()r f p =的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是A. ][)5,0,2,6-éë和[][]5,02,6-È B. [][)5,02,6-È和][5,0,2,6-éùëûC. ][)5,0,2,6-éë和()()5,02,6-U D. [][)5,02,6-È和()()5,0,2,6-【答案】D【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断.【详解】定义域是函数自变量p 的取值，为[][)5,02,6-È，函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即()()5,0,2,6-.故选：D6. 已知幂函数()()21af x a a x =--在区间()0,¥+上单调递增，则函数()1(1)x ag x b b +=->图像过定点（ ）A. ()2,0- B. ()2,1--C. ()1,0 D. ()1,1-【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数定义及单调性得到方程，求出2a =，从而()21(1)x g x b b +=->，结合指数函数性质得到定点坐标.【详解】由题意得211a a --=且0a >，解得2a =，()21(1)x g x b b +=->，令20x +=得2x =-，此时()20g -=，故()1(1)x a g x b b +=->的图像过定点()2,0-.故选：A7. 若“13x -<<”是“01x aa x-<+-”的一个充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A. 2a £-或3a ≥B. 1a <-或3a > C. 23a -<< D. 13a -<<【答案】A 【解析】【分析】首先求解不等式，再根据充分不必要条件，转化为集合的包含关系，即可求解.【详解】()()0101x ax a x a a x-<Û--->+-，解得：1x a >+或x a <，由题意可知，{}13x x -<< {x x a <或1}x a >+，得3a ≥或11a £-+，即3a ≥或2a £-.的8. 已知0x >，0y >，且311x y +=，则2x x y y++的最小值为（ ）A. 9 B. 10C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.【详解】()31322261x x y x x x y x y y x y y x y yæö++=+++=++++ç÷èø337713y x x y =++≥+=，当且仅当33y xx y=，即4x y ==时，等号成立.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9. 下列叙述正确的是（ ）A. 2R,230x x x $Î-->B. 命题“R,12x y $Î<£”的否定是“R,1x y "Σ或2y >”C. 设,R x y Î，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件D. 命题“2R,0x x "Î>”的否定是真命题【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值判断A ，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B ，根据充分条件、必要条件的定义判断C ，写出命题的否定，即可判断D.【详解】对于A ：当10x =时，223770x x --=>，所以2R,230x x x $Î-->为真命题，故A 正确；对于B ：命题“R,12x y $Î<£”的否定是“R,1x y "Σ或2y >”，故B 正确；对于C ：由2x ≥且2y ≥，可以推得出224x y +≥，故“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分条件，故对于D ：命题“2R,0x x "Î>”的否定为：2R,0x x $Σ，显然200=，所以命题2R,0x x $Σ为真命题，故D 正确；故选：ABD10. 已知a ，b 均为正实数，则下列选项正确的是（ ）A.2b a a b +≥ B. 11b ba b a b+>+++C.2aba b≥+ D.+≥+【答案】AB 【解析】【分析】对A ，C ，利用基本不等式可判断；对B ，D ，利用作差比较法判断.【详解】对于A ，0,0a b >>Q ，2b a a b \+≥=，当且仅当b aa b=，即a b =时等号成立，故A 正确；对于B ，()()()()()()()1110111b a b b a b b b aa b a b a b a b a b a b ++-+++-==>+++++++++，11b b a b a b+\>+++，故B 正确；对于C ，0,0a b >>Q ，a b \+≥2ab a b £=+，当且仅当a b =时，等号成立，故C 错误；对于D ，222+-+=，()()()31220a a a a +-++=-<Q ，()()()312a a a a \+<++<，所以22+<+<，故D 错误.故选：AB.11. 给定数集A =R ，(],0B ¥=-，方程2210s t ++=①，则（ ）A. 任给s A Î，对应关系f 使方程①的解s 与t 对应，则()t f s =为函数B. 任给t B Î，对应关系g 使方程①的解t 与s 对应，则()s g t =为函数C. 任给方程①的两组不同解()11,s t ，()22,s t ，其中1s ，2s B Î，则11221221t s t s t s t s +>+D. 存在方程①两组不同解()11,s t ，()22,s t ，其中1s ，2s B Î，使得1212(,)22s s t t ++也是方程①的解【答案】AC 【解析】【分析】根据函数的定义判断A,B 易得；对于C ，由题意得到211210s t ++=，222210s t ++=，化简整理得121212()()2()0s s s s t t +-+-=，根据12,(,0]s s Î-¥推得1212()()0t t s s -->，展开即可判断；对于D ，运用反证法，假设1212(,)22s s t t ++也是方程①的解，通过22121211,22s s t t ++=-=-，替代化简推出12s s =，得出矛盾即可.【详解】对于A ，由①可得，21122t s =--，对于任意的s A Î，都有唯一确定的t 值与之对应，故()t f s =为函数，故A 正确；对于B ，由①可得221s t =--，因t B Î，若取0t =，则21s =-，此时不存在实数s 与之对应，若考虑虚数解，会出现i s =±两个虚数与之对应，不符合函数的定义，故B 错误；对于C ，依题意，211210s t ++=，222210s t ++=，两式相减，整理得121212()()2()0s s s s t t +-+-=，因12s s ¹且12,(,0]s s Î-¥，则有1212122()0t t s s s s -+=-<-，即得1212()()0t t s s -->，展开整理，即得11221221t s t s t s t s +>+，故C 正确；对于D ，由题意，12s s ¹，12,(,0]s s Î-¥，假设1212(,22s s t t ++也是方程①的解，则有21212(2()1022s s t t++++=（*），因22121211,22s s t t ++=-=-，则22121212s s t t ++=--，代入（*）式，整理得：22121220s s s s +-=，即得12s s =，这与题意不符，故D 错误.的故选：AC.【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的定义、方程的解的应用，属于难题.对于判断两个变量是否构成函数，主要根据函数的定义，检测对于每一个自变量的取值，是否一定存在唯一的另一个值与之对应；对于方程的解，一般应从字母范围，解析式特点等方面考虑.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12 若102m =，103n =，则310m n -=________.【答案】83【解析】【分析】利用指数幂的运算法则可计算得出所求代数式的值.【详解】102m =Q ，103n =，则()333310102810101033m m m n n n -====.故答案为：83.【点睛】本题考查指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题.13. 已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ¹过定点(),k b ，若m n b k +=-且0,0m n >>，则91m n +的最小值为______.【答案】16【解析】【详解】根据指数型函数定点问题，求,k b ，再结合基本不等式求最值.因为11(0x y a a -=+>且1)a ¹过定点()k b ，，则k =1，2b =，若1m n b k +=-=且0,0m n >>，则 ()91919101016n m m n m n m n m n æö+=++=++≥+=ç÷èø ，当且仅当 9n m m n=且1m n +=，即14n =， 34m =时取等号．所以91m n+的最小值为16.故答案为：1614. 已知函数()f x 是定义域为{0}xx ¹∣的偶函数，当12,x x 为两个不相等的正实数时，.()()1221121x f x x f x x x -<-恒成立，若()23f =，2133f æö-=ç÷èø，则不等式()1f x x ->的解为______【答案】()2,2,3æö-¥-+¥ç÷èøU 【解析】【分析】由题意可得1212()1()1f x f x x x --<，构造函数()1()f x g x x-=，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】设120x x <<，则120x x -<，120x x >，由122112()()1x f x x f x x x -<-，得122112()()x f x x f x x x ->-，212121()()11f x f x x x x x ->-，即1212()1()1f x f x x x --<.设()1()f x g x x-=，则()g x 在(0,)+¥上单调递增，又()f x 为定义域为{}0x x ¹的偶函数，所以()()f x f x -=，得()1()1()()f x f x g x g x x x ----==-=--，则()g x 为{}0x x ¹上的奇函数，所以()g x 在(,0)-¥上也单调递增.由21(2)3,(33f f =-=，得2(2)1,()13g g =-=，由()1f x x ->，得()1f x x ->，当0x >时，由()1f x x ->，得()11f x x ->，即()(2)g x g >，解得2x >；当0x <时，由()1f x x ->，得()11f x x -<，即2()(3g x g <-，解得23x <-，所以()1f x x ->的解集为2(,)(2,)3-¥-+¥U .故答案为：2(,)(2,)3-¥-+¥U 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由122112()()1x f x x f x x x -<-变形为1212()1()1f x f x x x --<，构造出函数()1()f x g x x-=，利用函数的单调性、奇偶性解不等式也是关键点.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知V ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）()4,3C（2）6590x y --=【解析】【分析】（1）设(),C m n ，利用点C 在AB 边上的中线CM 上和直线AC 与高线BH 垂直求解； （2）设(),B a b ，利用点B 在BH 上和AB 的中点M 在直线CM 上求解；【小问1详解】解：设(),C m n ，∵AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=．∴25011152m n n m --=ìï-í´=-ï-î，解得43m n =ìí=î．∴()4,3C ．【小问2详解】设(),B a b ，则2505125022a b a b --=ìïí++´--=ïî，解得13a b =-ìí=-î．∴()1,3B --．∴336415BC k +==+．∴直线BC 的方程为()6345y x -=-，即为6590x y --=．16. 已知函数()()2,f x x x ab a b +=-+ÎR （1）若不等式()0f x <的解集为1,12æöç÷èø，求a ，b 的值（2）若方程()0f x =仅有一个实数解，求4a b +最小值.【答案】（1）12,4a b ==或1,24a b == （2）94【解析】【分析】（1）根据二次不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数列方程求解；（2）由题意判别式为0，得出114a b+=，再由“1”的技巧及基本不等式得解.【小问1详解】因为不等式()0f x <的解集为1,12æöç÷èø，所以方程20x x ab +=的两根为1,12，所以由根与系数的关系可得11212ab =+íï=ïî，解得214a b =ìïí=ïî或142a b ì=ïíï=î.【小问2详解】因为方程()0f x =仅有一个实数解，所以240ab D =-=，即40a b ab +-=，所以114a b+=，,R a b +Î，所以()111441149554444b a a b a b a b a b +=+ææöæö+=++≥+=çç÷ç÷çèøèøè，当且仅当4b a a b =，即33,48a b ==时，等号成立，所以4a b +的最小值为94.17. 鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温的度x （单位：摄氏度）与保鲜时间t （单位：小时）之间的函数关系式为()e ax b t x +=．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．（1）新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；（2）已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）参考数据：lg 20.30,lg 30.48»»【答案】（1）499（2）2.33【解析】【分析】（1）由题意有86e 432e576a b a b ++ì=í=î，则24323e 5764a ==，代入4x =，计算即可得()4t ；（2）令e 960ax b +≥，结合指数函数的性质计算即可得.【小问1详解】依题意得86e 432e576a b a b ++ì=í=î，则24323e 5764a ==，当7x =时，()87e 7e 499e a b a b a t ++===»，即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为499小时；【小问2详解】由题意令e 960ax b +≥，得()13622e e960x a b a -+×≥，即132********x -æö×≥ç÷èø，则1323543x -æö≥ç÷èø，则13235lg lg 43x -æö≥ç÷èø，即5lg1lg 5lg 31lg 2lg 333 1.83332lg 3lg 4lg 32lg 2lg 4x ----£==»---解得： 2.334x £故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2.33摄氏度.18. 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，记集合A 为()f x 的定义域．（1）求集合A ；（2）判断函数()f x 的奇偶性；（3）当x A Î时，求函数221()()2x x g x +=的值域．【答案】（1）{}11A x x =-<<（2）奇函数（3）1(,2)8【解析】【分析】（1）由真数大于零求解其定义域即可；（2）由函数的奇偶性判断即可；（3）令22t x x =+，利用单调性求复合函数的值域即可.【小问1详解】由真数大于0可知1010x x ->ìí+>î，11x x <ìí>-î，{}11A x x =-<<.【小问2详解】()1ln 1x f x x -æö=ç÷+èø可知定义域{}11A x x =-<<关于原点对称，()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x -+--æöæö-===-=-ç÷ç÷-++èøèø，故()f x 为奇函数．【小问3详解】令22t x x =+，对称轴1x =-，在()1,1x Î-上，(1,3)t Î-，又1()2ty =在R 上递减，故221()()2x x g x +=的值域是：1(,2)8．19. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，(2)cos cos 0a c B b A -+=．（1）求角B 的大小；（2）若2,a b ==,BA CA 边上的两条中线,CM BN 相交于点G ，求MGN Ð的余弦值；（3）若ABC V 为锐角三角形，且c a >，记ABC V 的外心和垂心分别为,O H ，连接OH 的直线与线段,AB BC 都相交，求证：线段OH 的长度为c a -．【答案】（1）π3B = （2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得1cos 2B =得解，（2）根据余弦定理得5c =,进而利用向量夹角公式求解，（3）先证明垂心的性质，利用OH a b c =++uuu u r r r r ，即可利用向量模长公式，结合二倍角以及余弦定理求解.【小问1详解】由(2)cos cos 0a c B b A -+=可得sin cos 2sin cos sin cos 0A B C B B A -+=,故()sin 2sin cos sin 2sin cos A B C B C C B +=Þ=，由于()0,πC Î,故sin 0C ¹，所以1cos 2B =,由于B ∈(0,π),故π3B =【小问2详解】由余弦定理可得22222cos 1942b a c ac B c c =+-Þ=+-，解得5c =（负值舍去），因为MGN Ð即为向量CM uuuu r 与BN uuu r 的夹角q ，设BA a =uuu r r ，BC b =uuu r r，的则12552a b ×=´´=r r ，因为1122BN a b =+uuu r r r ，1122CM CB BA b a =+=-+uuuu r uuu r uuu r r r ，所以2221139||(2)(42510)444BN a b a b =++×=++=uuu r r r r r ，22212521||45444CM a b a b =+-×=+-=uuuu r r r r r ，故||BN =uuu r ，||CM =uuuu r ，所以22111111255·23cos 22244244AM BN a b a b a a b b AM BN q æöæö×=+-=-×-=--==×ç÷ç÷èèøuuuu r uuu r uuuu r uuu r r r r r r r r r ，故cos q ==．【小问3详解】先证明：设ABC V 的外心为O （三角形外接圆的圆心），以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．若,,OA a OB b OC c ===u uuu r u uuu ru r ，则点H 为ABC V 的垂心；证明：由题意可知()OH OC OD OC OA OB a b c=+=++=++uuu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r r ()AH AO OH a a b c b c=+=-+++=+uuuu r uuur uuuu r r r r r r r BC b c=-+uuu r r r 则22()()||||AH BC b c c b c b ×=+×-=-uuu u r uuu r r r r r r r 因为O 为外心，所以||||c b =r r \220||||AH BC c b ×=-=uuu u r uuu r rr 则AH BC ^uuur uuu r ，即AH BC^同理可得：CH AB^所以，点H 为ABC V 的垂心得证，因此由于H 为ABC V 的垂心，O 为ABC V 的外心，故OH a b c =++uuu u r r r r ，其中,,OA a OB b OC c ===u uuu r u uuu r u r ，设外接圆半径为r，则12sin b OA OB OC r B ======uuu r uuu r uuu r ,()2222222||()22232cos cos cos OH a b c a b c a b b c c a r r AOB COB AOC =++=+++×+×+×=+Ð+Ð+Ðuuur r r r r r r r r r r r r ()2222132cos 2cos 2cos 232cos 2cos 22r r C A B r r C A æö=+++=++-ç÷èø,由于2222222cos b a c ac B b a c ac =+-Þ=+-，222222222222222222cos 2cos 22cos 2cos 221212222a b c a b c a b c c b a C A C A ab ab ab cb éùéùæöæöæöæö+-+-+-+-êúêú+=+-=+-=+-ç÷ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøèøëûëû2222222222222222255821212122224a a c ac c c a c ac a a c c a a c ac ab cb b b b éùéùæöæöéù++--++----+-æöæöêú=+-=+-=-êúç÷ç÷ç÷ç÷êúèøèøêúêúèøèøëûëûëû故2222222222222155815581||32cos 2cos 2322132212423342a c ac b b a c ac OH r r C A r r b b éùéùæöæö+-+-æö=++-=+--=´+´--êúêúç÷ç÷ç÷èøèøèøëûëûuuur ()()222222222222222255825585558232233233a c ac a c ac b b a c ac b a c ac b a c ac a c b +--+-+--+--=´+´´===+-=-由于c a >，故OH c a=-【点睛】关键点点睛：由于H 为ABC V 的垂心，O 为ABC V 的外心，根据欧拉定理可得OH a b c =++uuu u r r r r ，即可利用向量模长公式，结合二倍角以及余弦定理求解.。