湖南高一期未考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､坐位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用像皮擦干浄后，再选涂其他答察标号.回答非选掸题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.本试卷主要考议内容：人教A 版必修第一､二册，选择性必修第一册第一章第3节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,5,,4a b m =-=，若a b ⊥，则m =（ ） A.10 B.10 C.85 D.85- 2.已知()()2,1,3,1,1,4A B --，则AB =（ ）A.()3,0,1B.()1,2,1--C.()1,0,7-D.()3,2,1-3.已知集合{32},{2}A xx B x m x m =+>=-<<∣∣，若A B ⋂=∅，则m 的取值范围是（ ） A.[)1,∞+ B.()1,∞+ C.(],1∞-- D.(),1∞--4.已知m 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，且m α⊥，则“m ∥β”是“αβ⊥”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知空间问量()()2,1,1,,3,3a b m =-=-，若a 与b 的夹角是钝角，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,3∞--⋃- B.(),3∞- C.()()3,66,∞⋃- D.()3,∞+6.已知()sin 3π2cos 0αα++=，则tan 2α=（ ） A.43 B.34 C.43- D.34- 7.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶能够中奖，现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件是互斥但不对立的是（ ） A.“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖” B.“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖” C.“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖” D.“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”8.已知()()2213,1,log 93,1a a x a x f x x a x ⎧-+=⎨+->⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ）A.(]1,2B.(]1,3C.(]10,1,32⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦ D.(]10,1,23⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数()2(2i)1i z =+-，则（ ）A.z 的实部是1B.z =C.z 的共轭复数是1i --D.z 在复平面内对应的点位于在第一象限10.已知函数()()cos (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则（ ）A.π6ϕ=B.2A =C.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D.不等式()1f x >的解集是()πππ,π124k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 11.有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若2AB =，则（ ）A.该几何体的表面积为B.该几何体的体积为4C.直线HM 与直线GN 所成的角为π3D.二面角B EF H --的余弦值为13三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.生活质量指数是用于衡量人们生活质量水平的一种指标体系.某机构对某地进行生活质量指数调查，得到该地15个地区的生活质量指数为68,68,69,71,73,75,75,76,78,80,85,85,87,91,93，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是__________.13.如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥平面,ACD ACD 是边长为4的等边三角形，3,,AB E F =分别是棱,AD BC 的中点，则EF =__________.14.在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,4,ABCD AB PD ==E 在线段PD 上，PB ∥平面EAC ，则四面体ABCE 外接球的表面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在[]45,95内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）；（3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数.16.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PC =，四边形ABCD 是正方形，E 是PD 的中点.（1）证明：PB ∥平面ACE . （2）证明：平面PBD ⊥平面ACE . 17.（15分）已知函数()πsin 22sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间7π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域. 18.（17分）端午节，又称端阳节､龙舟节､重午节，端午节是中华民族传统文化的重要组成部分.某校打算举办有关端午节的知识竞答比赛，比赛规则如下：比赛一共进行两轮，每轮比赛回答一道题，每轮比赛共有A ，B ，C 三类题目，参赛选手随机从这三类题目中选择一类作答，第一轮中被选中的题目在第二轮比赛开始前工作人员会用同一类型的题目替换，参赛选手答对一道A 类题目得10分，答对一道B 类题目得20分，答对一道C 类题目得40分，两轮比赛后，若选手累计得分不低于50分，则通过比赛，已知甲､乙两位同学都参加了这次比赛，且甲答对A 类题目的概率是34，答对B 类题目的概率是34，答对C 类题目的概率是12，乙答对每类题目的概率都是35.假设甲､乙选择哪类题目作答相互独立，且每轮比赛结果也是相互独立的. （1）求甲第一轮答对A 类题目的概率； （2）求甲通过比赛的概率；（3）求甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率. 19.（17分）A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与,P Q 两点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=-.（1）若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 的延长线上，且22AB BM ==，由1A 对AB 施以视角运算，求(),;A B M 的值；（2）若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 上，且2AB =，由1A 对AB 施以视角运算，得到()1,;2A B M =，求AM MB的值； （3）若1231,,,,n M M M M -是ABC 边BC 的n 等分点，由A 对BC 施以视角运筫，证明：()()(),;,;11,2,3,,1k n k B C M B C M k n -⨯==-.湖南高一期末考试 数学参考答案1.A 由题意可得2540a b m ⋅=-+⨯=，解得10m =.2.D 由题意可得()3,2,1AB =-.3.C 由题意可得{1}A xx =>-∣.因为A B ⋂=∅，所以1m -. 4.B 由,m m α⊥∥β，得αβ⊥；由,m ααβ⊥⊥，得m ∥β或m β⊂.故“m ∥β”是“αβ⊥”的充分不必要条件.5.A 由题意可得2330,6,m m --<⎧⎨≠-⎩解得6m <-或63m -<<.6.C 因为()sin 3π2cos 0αα++=，所以sin 2cos 0αα-+=，所以tan 2α=，则22tan 4tan21tan 3ααα==--. 7.C “至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”可以同时发生，则“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”不是互斥事件.“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖”是对立事件.“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖”是互斥但不对立事件.“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”可以同时发生，则“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”不是互斥事件.8.D 当()f x 是R 上的单调递增函数时，2210,1,21393,a a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-+-⎩解得12;a <当()f x 是R 上的单调递减函数时，2210,01,21393,a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+-⎩解得103a <.综上，a 的取值范围是(]10,1,23⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦.9.BD 因为()()()()()222(2i)1i 44i i1i 34i 1i 33i 4i 4i7i z =+-=++-=+-=-+-=+，所以z 的实部是7,7i,z z z ===-在复平面内对应的点()7,1位于在第一象限. 10.BC 由图可知7ππ2π1212T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则2ω=.因为点π,012⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 的图象上，所以ππcos 0126f A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()πππ62k k ϕ+=+∈Z ，解得()ππ3k k ϕ=+∈Z ，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，则A 错误.因为点()0,1在()f x 的图象上，所以()π0cos 13f A ==，解得2A =，则B 正确.因为5π5πππ2cos 2cos 012632f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则C 正确.由()1f x >，即π2cos 213x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即π1cos 232x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得2πk ()πππ22π333x k k -<+<+∈Z ，解得()πππ3k x k k -<<∈Z ，所以不等式()1f x >的解集是()ππ,π3k k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ，则D 错误.11.ABC 因为2AB =，所以BE =.该几何体的表面积为2244⨯⨯=A 正确.该几何体的体积为3112121432-⨯⨯=，B 正确.因为HM ∥BD ，所以直线HM 与直线GN 所成的角即直线BD 与直线DN 的夹角，其大小为π3.故直线HM 与直线GN 所成的角为π,3C 正确. 设EF 的中点为O ，连接,OB OH （图略），BOH ∠即为二面角B EF H --的平面角.2221223OB OH BH OB OH BOH OB OH ∠+-====-⋅，D 错误.12.79 因为1560%9⨯=，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是7880792+=. 13.52 因为,E F 分别是棱,AD BC 的中点，所以11,22AE AD BF BC ==，则()11111112222222EF EA AB BF AD AB BC AD AB AC AB AB AC AD =++=-++=-++-=+-.因为AB ⊥平面ACD ，所以,AB AC AB AD ⊥⊥，所以0AB AC AB AD ⋅=⋅=.因为ACD 是边长为4的等边三角形，所以8AC AD ⋅=.因为22222111111111252224442224EF AB AC AD AB AC AD AB AC AB AD AC AD ⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅=⎪⎝⎭，所以52EF =. 14.34π 连接BD 交AC 于点O ，连接OE .因为,PE OE 共面，且PB ∥平面EAC ，所以PB ∥OE ，易知O 为BD 的中点，所以E 为PD 的中点.设四面体ABCE 外接球的球心为Q ，则OQ ⊥平面ABC ，设OQ h =，则222OQ OC QE +=，所以2222(h h +=+，解得2h =，故四面体ABCE 外接球的表面积为(24πh +8）34π=.15.解：（1）由频率分布直方图可得()0.01020.0250.035101a +++⨯=，解得0.015a =. （2）由题意，估计平均分500.1600.15700.25800.35900.1573x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.（3）由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.015100.15⨯=，则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15，故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为12000.15180⨯=. 16.证明：（1）记AC BD O ⋂=，连接OE . 因为四边形ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点. 因为E 是PD 的中点，所以OE ∥PB .因为OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以PB ∥平面ACE .（2）连接OP .因为四边形ABCD 是正方形，所以O 是AC 的中点. 因为PA PC =，所以OP AC ⊥.因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥.因为,OP BD ⊂平面PBD ，且OP BD O ⋂=，所以AC ⊥平面PBD . 因为AC ⊂平面ACE ，所以平面PBD ⊥平面ACE . 17.解：（1）由题意可得13()sin 22sin 2sin 222226f x x x x x x x π⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （2）令()ππ3π2π22π262k x k k +-+∈Z ， 解得()π5πππ36k x k k ++∈Z ， 故()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （3）因为7π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π4ππ2,636x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.当π4π263x -=-，即7π12x =-时，()f x 取得最大值，最大值为7π7ππ1266f ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32=当ππ262x -=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值，最小值为πππ636f ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=故()f x 在区间7π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.解：（1）甲第一轮答对A 类题目的概率为131344⨯=. （2）甲通过比赛的情况有以下三种：第一种情况是甲答对1道A 类题目和1道C 类题目，其概率1131112343212P =⨯⨯⨯⨯=； 第二种情况是甲答对1道B 类题目和1道C 类题目，其概率2121122333227P =⨯⨯⨯⨯=；第三种情况是甲答对2道C 类题目，其概率231113236P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 故甲通过比赛的概率为123527P P P ++=. （3）乙通过比赛的概率为2131313131312235353535355⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 甲､乙都没有通过比赛的概率为518811275135⎛⎫⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率为88471135135-=. 19.（1）解：如图1，因为22AB BM ==，所以113,AM A B AM ===由正方体的定义可知1AA AB ⊥，则190A AB ∠=，所以11sin 22AA B AA B ∠∠==，11sin AA M AA M ∠∠==. 因为111BA M AA M AA B ∠∠∠=-，所以()111sin sin BA M AA M AA B ∠∠∠=-=， 则()11112sin ,;3sin A A AA M A B M A B MA B ∠∠=-==-.（2）解：如图2，设()01AM a a =，则11sin AA M AA M ∠∠==因为111BA M AA B AA M ∠∠∠=-，所以()111sin sin 24BA M AA B AA M a ∠∠∠=-=+则()11112sin 1,;sin 22A A AA Ma A B M A B MA Ba ∠∠====-，解得2,3a = 故122AM a MB a ==-.（3）证明：如图3， 因为1231,,,,n M M M M -是BC 的n 等分点，所以k n k BM CM -=,k k k k n k BC BM CM BC n n--===. 在k ABM 中，由正弦定理可得sin sin k k k BM ABBAM AM B∠∠=，则sin sin k k k AB BAM BM AM B ∠∠=.在k ACM 中，同理可得sin sinkk k AC CAM CM AM C ∠∠=.因为πk k AM B AM C ∠∠+=，所以sin sin k k AM B AM C ∠∠=， 则()sin sin ,;sin sin k k k k k k k k k AB BAM BM AM B BM k B C M AC CAM CM AM C CM n k∠∠∠∠====-. 同理可得(),;n k n k n k BM n k B C M CM k ----==. 故()()(),;,;11,2,3,,1k n k k n k B C M B C M k n n k k --⨯=⨯==--.。
