湖南省衡阳市一中、八中2011-2012学年高一下学期期中联考数学试题

湖南省衡阳市八中高一下学期期中考试高一数学考生注意：本卷共三道大题，满分100分，考试时间120分钟。

一.选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.sin 240o的值是( )A. 21-B. 21C. 23-D. 232.下列函数中，最小正周期为2π的是( ) A.4sin y x = B.sin cos y x x = C.tan 2xy = D.cos 4y x = 3.半径为10cm ，弧长为20cm 的扇形的圆心角为( )A.︒2B.2弧度C.π2弧度D.10弧度4.已知在平行四边形ABCD 中，若AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AB =u u u r( )A.1()2a b →→-B.1()2b a →→-C. 12a b →→+D.1()2a b →→+5.已知向量a =(3, 2),b =(x, 4)，若a 与b 共线,则x 的值为( ) A.6 B.-6 C.38-D.386.若(2,2)a =-r，则与a r 垂直的单位向量的坐标为( )A.cos4ππ（，sin ）4B.2222（，）C.2222（-- D.( 1, 1)或(-1,-1)7.函数)sin(ϕω+=x A y ，（πϕω<>,0）在一个周期内的图象如右图所示，此函数的解析式为( ) A.)322sin(2π+=x y B.)32sin(2π+=x yC.)32sin(2π-=x y D.)32sin(2π-=x y8.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，由此定义了正弦（sin α）、余弦（cos α）、正切（tan α），其实还有另外三个三角函数，分别是：余切（cot xyα=）、正割（1sec x α=）、余割（1csc y α=）. 则下列关系式错误的是( )A.cos cot sin ααα=B.1sec cos αα=C.1csc sin αα= D.22cot csc 1αα-=二.填空题：本大题共7个小题，每小题3分，共21分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

俯视图 正视图 侧视图4 54 4衡阳市第八中学第二学期 高一年级数学期中试题（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试范围：必修2。

第Ⅰ卷一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）1.若直线l 经过()(5,3),4,0A B 两点，则直线l 的倾斜角为（ ）A ． 45B ．30C ．60D ．135 2.在空间中，下列命题正确的是（ ）A ．没有公共点的两条直线平行B ．分别在两个平面内的两条直线是异面直线C ．垂直于同一平面的两条直线平行D ．平行于同一平面的两条直线平行 3.下图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )A. B. C. D.4.直线145x y+=与,x y 轴所围成的三角形的面积等于（ ） A. 6 B. 10 C. 18 D. 205.已知圆心为(2,3)C -，半径5r =的圆方程为（ ）A. ()()22235x y ++-=B. ()()22235x y -++= C. ()()222325x y ++-= D. ()()222325x y -++=6.直线2=-y x 与圆22(1)(1)4x y -+-=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．直线过圆心 7.123,,l l l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A. 122313,//l l l l l l ⊥⊥⇒B. 122313,//l l l l l l ⊥⇒⊥C. 123123////,,l l l l l l ⇒共面D. 123,,l l l 共点123,,l l l ⇒共面8.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A ．42π B ．43π C ．44π D ．45π 9.直线()32y kx k k R =-+∈必过定点（ ）A. ()3,2B. ()3,2-C. ()3,2--D. ()3,2-10.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB 与C D 的(2,2,1)-A (1,0,3)B A. 异面且垂直 B. 异面且成60°角 C. 平行 D. 相交成60°角11.半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是（ ）A. 22R πB.252R π C. 23R π D. 272R π 12.已知()00,P x y 是圆()22:41C x y +-=外一点，过点P 作圆C 的切线，切点为,A B ，记四边形PACB的面积为()f P ，当()00,P x y 在圆()()22:414D x y ++-=上运动时， ()f P 的取值范围为（ ）A. 22,43⎡⎣B. 32,43⎡⎣C. 32,33⎡⎣D. 22,33⎡⎤⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）请将每道小题答案的最简结果填在答题纸的相应位置上．13.空间中，点 与点 的距离为 ．14.若长方体一个顶点上三条棱的长分別是3,4,5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是_____.15.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为______．16.在平面直角坐标系xoy 中，设圆M 的半径为1，圆心在直线240x y --=上,若圆M 上不存在点N ，使12NO NA =,其中A （0，3），则圆心M 横坐标的取值范围 .三、解答题（共6个大题，共52分）17.（8分）已知直线l 的方程为. （Ⅰ）求过点，且与l 垂直的直线的方程；（Ⅱ）求与l 平行，且到点的距离为的直线的方程. 18．（8分）如图，正方形ABCD 的边长为1，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 互相垂直，H G ,是FC DF ,的中点．（1）求证：//GH 平面CDE ； （2）求证：BC CDE ⊥平面； （3）求三棱锥ABC G -的体积．19.（8分）已知圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax . (1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程. 20．（8分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且12AA AB ==， ,E F 分别是1,CC BC 的中点．GA PA(1,0,3)B (2,2,1)-A（1）求证：平面1AB F ⊥平面AEF ；（2）求点C 到平面AEF 的距离．21.（10分）已知四棱锥P ABCD -底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD ， AD ＝2，AB ＝1，E,F 分别是线段AB ．BC 的中点，（1）证明：PF ⊥FD ；（2）设G 是PA 上一点，使得EG ∥平面PFD ，求 的值；（3）若PB 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角A PD F --的余弦值．22．（10分）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。

高一期中考试试卷高一数学时量：120分钟分值：150分注意事项：请把答案填写在答题卡上！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，为实数，（i 为虚数单位）是关于的方程的一个根，则m n 1i -x 20x mx n -+=m n +=（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 4【答案】D 【解析】【分析】由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个1i -x 20x mx n -+=1i +x 20x mx n -+=根，结合根与系数的关系求解即可.【详解】由是关于的方程的一个根， 1i -x 20x mx n -+=则是关于的方程的一个根， 1i +x 20x mx n -+=则，， 1i 1i 2m =-++=(1i)(1i)2n =-⨯+=即，，则，2m =2n =4m n +=故选：D.2. 如图所示，四边形OABC 是上底为1，下底为3，底角为的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯45 形的直观图，在直观图中的梯形的高为O A B C ''''A.B.C.D.【答案】A 【解析】【详解】试题分析：∵四边形OABC 是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，故ABCD 的高为1，面积，故其直观图的面积113122S =⨯+⨯=（）2S '==h ，则A ． 1132h ⨯+⨯=（）h =考点：平面图形的直观图．3. 已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A BCD -M AB CM ADA.B.C.D.1223【答案】C 【解析】【分析】设正四面体的棱长为2，取的中点，连接，则，所以A BCD -BD N MN CN //MN AD 是直线与所成的角（或其补角），设的中点为，则， CMN ∠CM AD MN E CE MN ⊥在中，解三角形即可得答案．CME △【详解】解：如图，设正四面体的棱长为2，取的中点，连接，，A BCD -BD N MN CN是的中点，M AB ，//MN AD ∴是直线与所成的角（或其补角），CMN ∴∠CM AD 设的中点为，则， MN E CE MN ⊥在中，，， CME △12ME =CM =cos ME CME CM ∴∠===直线与．∴CM AD 故选：C ．4. 在△ABC 中，，则△ABC 的形状一定是（ ）()2BC BA AC AC +⋅= A .直角三角形B. 等腰三角形 C .等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】【分析】注意到，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到22=AC AC ，进而得到结论.0BA AC ⋅=【详解】()2BC BA AC AC +⋅-()BC BA AC AC =+-⋅()BC BA CA AC =++⋅2BA AC =⋅0=∴BA ⊥AC ,∴△ABC 为直角三角形， 故选：A 5. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，-P ABC PA ⊥平面，，三棱锥P -ABC 的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为ABC 2,4PA AB AC ===O O （ ） A. B.C.D.8π12π20π24π【答案】C 【解析】【分析】先分析出三棱锥的外接球是一个长方体的外接球，是其外接球的直径，求出长方-P ABC PC 体的外接球的半径，再由球的表面积公式求解即可. R 【详解】将三棱锥放在一个长方体中，如图所示， -P ABC 则是长方体外接球的直径， PC 因为是直角三角形，且， ABC A π2ABC ∠=所以，BC ==所以球的直径，O PC ===所以半径，球的表面积为.R O 224π4π20πR ==故选：C6. 已知向量，，则的最大值为（ ）()1,2a x = ()0,2b =2a ab⋅A. B. 2C.D. 1【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案. 22441a xab x ⋅=+ 0x ≤0x >【详解】解：由向量，， ()1,2a x = ()0,2b =得， 22441a x ab x ⋅=+ 当时，，0x ≤20a a b⋅≤当时，， 0x >224411414a b x x x x a ⋅==≤=++当且仅当，即时，取等号， 14x x =12x =综上的最大值为1.2a ab⋅故选：D .7. 已知菱形的边长为，菱形的对角线与交于点，，点是线段上ABCD 2AC BD O 1BA BO ⋅=E BD 靠近的三等分点，则在上的投影向量的模长为（ ） D AEABA.B.C. D.834312【答案】B 【解析】【分析】先根据数量积定义和题干条件算出菱形的四个内角，然后直接利用投影向量的模长1BA BO ⋅=公式计算.【详解】菱形对角线相互垂直，即，根据数量积的定义，AOB 90∠= ，故，即，又为锐角，则()21cos BA BO BO BA ABO BO ⋅==⋅⋅∠= 1BO =1cos 2ABO ∠=ABO ∠，根据投影向量的模长公式，在上的投影向量的模长为：，依π3ABO ∠=AE AB2AE AB AE AB AB ⋅⋅=题意，，即，故，于是2BE ED = 22BA AE EA AD +=+1233AE AB AD =+ ，即投影向量的模长为.212421822333323AE AB AB AB AD ⋅=+⋅=+⋅⋅⋅= 43故选：B8. 如图，在棱长为a 的正方体中，P ，Q 分别为，上的动点，则周1111ABCD A B C D -1BD 1BB 1C PQ A 长的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】的三边都在三棱锥的三个侧面上，将三棱锥的侧面展开成平面图1C PQ A 111B B C D -111B B C D -形，根据共线时最短求解.【详解】连接11,,BD B D 由图易得，的三边都在三棱锥的三个侧面上， 1C PQ A 111B B C D -将三棱锥的侧面展开成平面图形，如图，111B B C D -可得四边形为直角梯形，111BC D C '当四点共线时，的周长最小， 11,,,C P Q C '1C PQ A，=故选:B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复数(为虚数单位)，为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有1z =-+i z z zw z=（）A. 在复平面内对应的点位于第二象限B.w 1w =C. 的实部为D.w 12-w 【答案】ABC 【解析】【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复,A 1=2w -+B 1w =,C数的实部为，判断得解；对选项,判断得解. w 12-D w【详解】对选项由题得,A 1,z =-.12w ∴===-+所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确； w 1(2-A对选项，因为，所以选项正确； B 1w ==B 对选项复数的实部为，所以选项正确； ,C w 12-C对选项,,所以选项错误. D w D故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10. 设向量，，则（ ）()2,0a = ()1,1b =A.B. 与的夹角是a b = a b 4πC.D. 与同向的单位向量是 ()a b b -⊥ b11,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，直接求出两向量的模判断即可，对于B ，利用两向量的夹角公式计算判断，对于C ，能过计算判断，对于D ，利用判断()a b b -⋅ bb【详解】对于A ，因为，，所以，所以，所以A 错误，()2,0a = ()1,1b =2,a b == ab ≠ 对于B ，因为，，所以， ()2,0a = ()1,1b = cos ,a b a b a b ⋅===因为，所以，即与的夹角是，所以B 正确，[],0,a b π∈ ,4a b π= a b 4π对于C ，因为，，所以，()2,0a = ()1,1b = (1,1)a b -=-所以，所以，所以C 正确，()110a b b -⋅=-=()a bb -⊥对于D ，因为，所以与同向的单位向量是，所以D 错误， ()1,1b = bb b =故选：BC11. 设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（ ）1a = 2b = b a cA.B.a c cb ⋅=⋅a b a c ⋅=⋅r r r rC.D.2a c ⋅≤a c a c ⋅=⋅ 【答案】BC 【解析】【分析】根据数量积的定义和投影向量的定义逐个分析判断即可. 【详解】设与的夹角为，b aθ对于A ，当为锐角时，，不一定相等，所以A 错误，θ2,cos a c a c c c b c b c θ⋅==⋅==对于B ，当为锐角时，，，所以， θcos cos a b a b b c θθ⋅=== a c a c c ⋅== a b a c ⋅=⋅r r r r 当为钝角时，，，所以，θcos cos a b a b b c θθ⋅===- a c a c c ⋅=-=- a b a c ⋅=⋅r r r r当为直角时，，综上B 正确，θ0a b a c ⋅=⋅=r r r r对于C ，，所以C 正确， 2a c a c c b ⋅⋅≤===对于D ，若，则，所以D 错误，,a c π= a c a c ⋅=-⋅故选：BC12. 已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（ ） 1111ABCD A B C D -O O A. 所得的截面可以是五边形 B. 所得的截面可以是六边形C. 该截面的面积可以为D. 所得的截面可以是非正方形的菱形【答案】BCD 【解析】【分析】利用正方体的对称性逐一判断即可.【详解】过正方体中心的平面截正方体所得的截面至少与四个面相交，所以可能是四边形、五边形、六边形，又根据正方体的对称性，截面不会是五边形，但可以是正六边形和非正方形的菱形（如图）故A 错误，BD 正确；因为四边形的面积为，当截面过中心且平行与底面时，截面为矩形（此时也是正1111D C B A 4O ABCD方形），且面积为旋转，转到与四边形重合，此时面积为4<O 11A B CD，所以在转动过程一定存在截面面积为C 正确．>故选：BCD ．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知向量，满足，，与的夹角为，，则_______.a b 2a = 1b = a b60︒()a b a λ⊥- λ=【答案】4 【解析】【分析】利用向量垂直以及数量积的运算法则，可得，在结合题目所给的模，代入即可求得.2a a b λ=⋅【详解】， 即，又()a b a λ⊥- ()0a b a λ∴⋅-= 2a a b λ=⋅2,1a b ==1cos 602112a b a b ⋅==⨯⨯= 24aa bλ∴==⋅ 故答案为：414. 在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝BD 1.则以下四个说法： 23①MN ∥平面APC ； ②C 1Q ∥平面APC ； ③A ，P ，M 三点共线； ④平面MNQ ∥平面APC .其中说法正确的是________(填序号)． 【答案】②③ 【解析】【分析】连接MN ，AC ，则MN ∥AC ，连接AM ，CN ，易得AM ，CN 交于点P ，从而可知MN ⊂平面APC ，所以①错误；由M ，N 在平面APC 上，由题易知AN ∥C 1Q ，从而可得C 1Q ∥平面APC ，所以②正确；由于前的证明可知A ，P ，M 三点共线是正确的，从而可知③正确；由于MN ⊂平面APC ，MN ⊂平面MNQ ，从而可判断④【详解】①连接MN ，AC ，则MN ∥AC ，连接AM ，CN ，易得AM ，CN 交于点P ，即MN ⊂平面APC ，所以MN ∥平面APC 是错误的；②由①知M ，N 在平面APC 上，因为在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点，所以≌，所以，因为∥，所以AN ∥C 1Q ，因为1AA N A 1C CQ A 11ANA C QC ∠=∠1NA QC AN ⊂平面APC ，所以C 1Q ∥平面APC 是正确的； ③由①知A ，P ，M 三点共线是正确的； ④由①知MN ⊂平面APC ， 又MN ⊂平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面APC 是错误的． 故答案为：②③【点睛】此题考查线面平行、面面平行的判断，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题 15. 异面直线a 、b 所成角为，直线c 与a 、b 垂直且分别交于A 、B ，点C 、D 分别在直线a 、b 上，若3π，，，则________．1AC =2AB =3BD =CD =【解析】【分析】过B 作BE //AC 且过D 作DE ⊥BE 于E ，连接BE 、CE ，要注意E 、C 在AB 的同侧或异侧两种情况，结合已知有，再过C 作CF ⊥BE 于F ，求出DE 、EC 的长度，在Rt △DEC 中应用勾股3DBE π∠=定理求.CD 【详解】由题意，过B 作BE //AC 且过D 作DE ⊥BE 于E ，连接BE 、CE ，如下示意图，∴由题设知：面ABEC 为直角梯形且，3DBE π∠=过C 作CF ⊥BE 于F ，则CF =AB =2，，可得DE BE =，3BD =32∴如图1，易得EF =，则EC ， 12在Rt △DEC 中，CD .=如图2，易得EF =，则EC52在Rt △DEC 中，CD =16. 如图，在平面四边形中，．若点为边ABCD ,,120,1AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=︒==E 上的动点，则的最小值为_________．CD EA EB ⋅【答案】2116【解析】【分析】设，根据条件找出，，且与的夹()01DE DC λλ=≤≤ DC BC ==DE = DE AB 角为，与的夹角为，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出6πDA AB3π，然后表示为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值即()()EA EB DA DE ED DA AB ⋅=-⋅++λ可解决问题.【详解】延长交于点，因为，所以，,CD BA H ,,120AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=︒60BCD ︒∠=，30DHA ︒∠=在中，，，所以Rt ADH A 30DHA ︒∠=1AD =2,AH DH ==在中，，，所以Rt BCH △30CHB ︒∠=3BH =CH BC ==所以，不妨设，则，且与的夹角为，DC BC ==()01DE DC λλ=≤≤ DE = DE AB 6π与的夹角为， DA AB 3π则()()EA EB DA DE ED DA AB ⋅=-⋅++DA ED DA DA DA AB DE ED DE DA DE AB =⋅+⋅+⋅-⋅-⋅-⋅220cos 30cos 36DA DA AB DE AB ππλ=++⋅+--⋅，221331303222λλλ=++-=-+所以时，取最小值. 14λ=EA EB ⋅ 21313213424216⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭故答案为：. 2116四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知平面向量，满足，，.a b1a = 2b = ()()223a b a b +⋅-=- （1）求；a b -r r（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. b a b λ+λ【答案】（12）. ()()4,00,-+∞U 【解析】【分析】(1)由给定条件求出，再根据向量模的计算公式即可得解； a b ⋅(2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答.【详解】（1）依题意，，得，()()2222242363a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=⋅-=- 1a b ⋅=，a b -====所以；a b -= （2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，b a b λ+()0b a b λ⋅+> 40λ+>4λ>-而当向量与同向时，可知，b a b λ+0λ=综上所述的取值范围为.λ()()4,00,-+∞U 18. 锐角中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足：．ABC A πsin cos ,16a B b A c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（1）求A ；（2）求面积取值范围． ABC A 【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角，利用两角和差关系得，即，结合角度范sin A A=tan A =围即可得角A ；（2）根据正弦定理及三角形面积公式转化为关于角的正切函数，根据锐角得角的范围，即可求得C C 面积取值范围．ABC A 【小问1详解】解：因为，由正弦定理得：，πsin cos 6a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为， (0,),sin 0B B π∈≠所以，1sin cos sin 62A A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭化简得，所以，sin A A=tan A =因为，所以， (0,π)A ∈π3A =【小问2详解】 解：由正弦定理，得 1sin sin sin b c B C C ==sin sin B b C=又()2πsin sin π13sin 2sin sin ABCC A C S bc A C C⎛⎫- ⎪--⎝⎭=====A ，13128tan C ⎫==+=⋅⎪⎪⎭因为锐角，所以解得，则 ABC A π022ππ032C B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩ππ,62C⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎭所以.S ∈19. 已知圆锥SO 的底面半径，高．5R =12H =（1）求圆锥SO 的母线长；（2）圆锥SO 的内接圆柱的高为h ，当h 为何值时，内接圆柱的轴截面面积最大，并求出最大'OO 'OO 值．【答案】（1）13 （2）；最大值为306h =【解析】 【小问1详解】∵圆锥SO 的底面半径，高， 5R =12H =∴圆锥SO 的母线长；13L ==【小问2详解】作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中，，． 12SO =5OA OB ==()012OK h h =<<设圆柱底面半径为r ，则，即． 12512r h-=()51212h r -=设圆柱的轴截面面积为．()()()2255'21263601266S r h h h h h ⎡⎤=⋅=-=--+<<⎣⎦∴当时，有最大值为30．6h ='S 20. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，的面积，BC 边上的中线长为3． ABC A ABC A tan S A =（1）求a ；（2）求外接圆面积的最小值． ABC A【答案】（1）（2）64π9【解析】【分析】（1）根据已知，利用三角形的面积公式向量的线性运算以及模长公式，再利用余弦定理求解. （2）根据第（1）问的结论，利用基本不等式、正弦定理以及进行计算求解. 22sin cos 1A A +=【小问1详解】因为的面积，所以， ABC A tan S A =1sin sin tan 2cos Abc A A A==因为，所以，所以， ()0,πA ∈sin 0A ≠cos 2bc A =因为BC 边上的中线长为3，不妨设BC 边中点为D ，所以，两边平方有：，2AD AB AC =+ 22242AD AB AC AB AC =++⋅ 即，所以，22362cos b c bc A =++2232b c +=由余弦定理有：，即， 2222cos a b c bc A =+-2322228a =-⨯=解得. a =【小问2详解】由（1）有：，所以，即， 2232b c +=22322b c bc +=≥16bc ≤当且仅当时取等号，b c =由（1）有：，所以，解得， cos 2bc A =216cos bc A =≤1cos 18A ≤<又，，所以()0,πA ∈22sin cos 1A A +=0sin A <≤设外接圆的半径为，由正弦定理有：， ABC A R 2sin aR A=所以，所以外接圆面积的最小值为.83R =≥=ABC A 64π921. 如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为CD ，PB 的中点．（1）求证：EF ∥平面PAD ．（2）在线段PC 上是否存在一点Q 使得A ，E ，Q ，F 四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请PQQC说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在点符合题意，且此时 Q :2:1PQ QC =【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证得四边形为平行四边形，可得∥PA M ,MD MF DEFM EF MD ，再由线面平行的判定理可证得结论；（2）取的中点，连接交于，在上取点，使，连接，AB H PH AFG PC Q :2:1PQ QC =,GQ HC 则四点共面，然后证明即可. ,,,A E Q F 【小问1详解】证明：取的中点，连接， PA M ,MD MF 因为分别为的中点， ,F M ,PB PA 所以∥，， FM AB 12FM AB =因为四边形为平行四边形， ABCD 所以∥，， AB CD AB CD =因为为的中点， E CD 所以， 12DE CD =所以∥，， FM DE FM DE =所以四边形为平行四边形， DEFM 所以∥，EF MD 因为平面，平面， EF ⊄PAD MD ⊂PAD 所以∥平面， EF PAD 【小问2详解】存在点符合题意，且此时， Q :2:1PQ QC =取的中点，连接交于，在上取点，使，连接，则AB H PH AFG PC Q :2:1PQ QC =,GQ HC 四点共面，,,,A E Q F 证明如下：因为在平行四边形中，分别为的中点， ABCD ,E H ,CD AB 所以∥，， AH CE AH CE =所以四边形为平行四边形， AHCE 所以∥，CH AE 因为为的中点，所以点为的重心，且， F PB G PAB A :2:1PG GH =因为， :2:1PQ QC =所以∥， GQ HC 因为∥， CH AE 所以∥，GQ AE 所以和确定一个平面， GQ AE α因为在直线上， F AG 所以，F α∈所以四点共面，,,,A E Q F 所以在线段PC 上存在一点Q 使得A ，E ，Q ，F 四点共面.22. 后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如AOB 图所示，平行四边形OMPN 区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点在弧AB 上，点P M 和点分别在线段和线段上，且，．记． N OA OB 90cm OA =π3AOB ∠=POB θ∠=（1）请写出顾客的休息区域OMPN 的面积S 关于的函数关系式，并求当为何值时，S 取得最大值； θθ（2）记，若存在最大值，求的取值范围． OP xOA yOB =+()0t x y μμ=+>μ【答案】（1），， π26S θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π03θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭π6θ=（2） 1,22μ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）在中，正弦定理可得，，通过三角恒等PMO △OM θ=π3PM θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭变换可得，从而可求其最大值； π226PMO S S θ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭A π03θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭（2）根据向量的运算，由得，，从而OP xOA yOB =+x θ=π3y θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解． πsin 3t θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【小问1详解】由题可知，在中，，，，， PMO △90OP =2π3PMO ∠=MPO θ∠=π3MOP ∠θ=-则由正弦定理，sin sin sin OP OM PMPMO MPO MOP ∠∠∠==πsin sin 3OM PMθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭故可得， OM θ=π3PM θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故 1πsin 23PMO S PMO MP MO ∠θθ⎛⎫=⨯⨯=-⨯ ⎪⎝⎭A 2π1sin cos sin 32θθθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭11cos244θθ⎫=+-⎪⎪⎭1π1sin2264θ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= π26θ⎛⎫+- ⎪⎝⎭π03θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭即． π226PMO S S θ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭A π03θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时，，此时取得最大值．π6θ=πsin 216θ⎛⎫+=⎪⎝⎭S 【小问2详解】由（1）知，， OM θ=π3ON θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵， OP xOA yOB =+∴， x θ=π3y θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴πsin3t θμθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π1πsin 323θμθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦令，π3αθ=-π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴1sin 2t αμα⎤⎛⎫=+-⎥ ⎪⎝⎭⎦当时，关于递减，不存在最大值 12μ≤t α当时， 12μ>)t αα=+，其中()αϕ=+tan 12ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵， π03α<<π3ϕαϕϕ<+<+要使存在最大值，只需，即 t ππ32ϕ+>π6ϕ>∴ 解得 tan ϕ>12>1,22μ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数中的最值问题，难度较大，第一小问的关键是利用正弦定理求出，用表示，利用辅助角公式转换后再求最值；第二小问的关键是利用平面向量的运算得出OM ON θ，用表示，再通过换元，利用辅助角公式得到与的关系，根据的范围求解． x y θπ3αθ=-tan ϕμϕ。

湖南省衡阳市2011届高中毕业班联考试卷（一）数学理本试卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分。

选择题部分第2页。

非选择题部分第3至4页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，且，则a的值为A. 2B. -2C. 4D.2. 已知向量f a=(l，l),向量b=(2，x)，若a-b与a互相垂直，则实数x的值为A. -2B. 0C. 1D. 23. 若函数)是定义在R上的偶函数,在上是增函数，且.=0，则使得.>0的％的取值范围是A. B.C. D..4. 在极坐标系中，曲线. 与:的交点的极坐标为A. (1,1)B. (1,)C. ()D.()5. 在平面直角坐标系中，不等式组（a为正常数）表示的平面区域的面积是4，则2x+y的最大值为A. 2B. -2C. 6D. 06. 若b<a <0则下列结论不平碼的是A. B. C. D.7. 小王在练习电脑编程.其中有一道程序题的要求如下：它由.A,B,C,D,E,F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后,程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D.按此要求，小王有多少不同的编程方法A.20种B. 12种C. 30种D.90种8. 已知函数的定义域为的导函数为，且对任意正数X均有，则下列结论中正确的是A.在(0，）上为增函数B.在(0，）上为减函数C 若则D 若，则二、填空题：本大题共7小题，每小题5分,共M分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9. =__________.10. 为了得到某特定用途的钢，用黄金分割法考察特定化学元素的最优加人量.若进行若干次试验后存优范围[1000，m]上的一个好点为比1618，m=___________.11 AB是的直径，弦，垂足为M，AM=4,BM =9,则弦CD的长为___________.12. 若复数是纯虚数(i是虚数单位），则a =___________.13. 程序框图如图：输出的结果是___________.14. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为___________15. 对于数列，定义.，并对所有整数K>1定义.若，那么对所有，使得成立的k的最小值是___________.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分）巳知函数(1) 求.的值域；(2) 求...的单调递增区间.17. (本小题满分12分）在医学生物学实验中,经常以小老鼠作为实验对象.在甲笼子里关有7只小老鼠（其中5只白色的，2只灰色的），由于都感染了某种烈性病菌，所以想让它们自行分开.以便于进行观察、试验.现有乙笼子是空的，把甲笼子打开一个小孔（只能让小鼠钻出去,再进不来），让小鼠一只一只地往乙笼子跑(假定它们都会争先恐后地从小孔往乙笼跑），直到两只小灰鼠都跑出甲笼子，立即关闭小孔.以f表示甲笼子里还剩下的小白鼠的数目.(1) 求乙笼子里恰好只有2只小灰鼠的概率；(2) 求的分布列与数学期望.18. (本小题满分〗2分）在三棱锥S -ABC中，是边长为4的正三角形，点S在平面ABC上的射影恰为AC的中点，，M、N分别为AB、SB的中点.(1) 证明AC丄SB;(2) 求直线CN与平面ABC所成角的余弦值；(3) 求点B到平面CMN的距离19. (本小题满分13分）已知抛物线经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线.(1) 求抛物线W的方程及准线方程；(2) 当直线与抛物线W相切时,求直线的方程；(3) 设直线分别交抛物线W于B、C两点（均不与4重合），若以线段B C为直径的圆与抛物线的准线相切,求直线BC的方程.20. (本小题满分13分）古汉集团生产的A,B两种型号的口服液供出口，国家为鼓励产品出口，采用出口退税政策：出口价值为a万元的/1产品可获得万元的退税款，出口价值为b万元的B产品可获得万元的退税款.已知厂家出口总价值为100万元的A、B两种口服液，且两种口服液的出口价值都不低于10万元.(1) 当时，请你制定一个方案,使得在这次出口贸易中该企业获得的退税款最多，并求出其最大值;（精确到0.1，参考数据：)(2) 记该企业获得的退税款的最大值函数为，，求的表达式.21. (本小题满分13分）设数列的前n项和为，对一切，点（）都在函数的图象上.(1) 求的值,猜想的表达式,并证明你的猜想；(2) 设为数列的前项积，是否存在实数、使得不等式对一切都成立？若存在，求出k的取值范围，若不存在，说明理由.。