断裂的概念04
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1.054/1.541 混凝土结构力学与设计 (3-0-9)
内容提要4
断裂的概念
断裂力学
混凝土的破坏通常包括在达到最大载荷前裂纹的扩展和大开裂区的发育。
为混凝土结构设计的需要，断裂力学已经被用于更精确的预测混凝土的开裂稳定性。
将断裂力学引入混凝土设计的一些原因：
1．裂纹形成所需的能量
2．为确保有限元解的客观性
3．无屈服平台
4．有必要合理预测延性和吸能能力
5．结构尺寸对标准强度、延性和吸能能力的影响
断裂问题
断裂力学问题的关键在于研究裂纹周围应力的分布及裂纹的扩展。
Æ材料中的裂纹的几何形态是确定的。
Æ基于能量的裂纹扩展（破坏）准则在该方法中得以运用。
Æ 该方法可用于研究裂纹传播过程中发生的以下现象：
1．因分散开裂引起的应变软化；
2．局部开裂发展为破坏前的大断裂；
3．裂纹前端的桥接应力。
Æ 按惯例，尺寸效应已由统计理论，根据强度分布的随机性，得以解释。
威布尔统计理论（威布尔最弱联系统计论）
威布尔型破坏理论
荷载P 和正应力均值作用下的结构的破坏概率为：
0(,)Pr ob()1exp m V r P x dV P V σσ =−−
∫ []011Pr ob()N P P dP bd bd σ∞
==−∫ 式中，N σ=正应力均值；
P =荷载均值；
V =结构的体积；
r V =材料体积的代表值；
m =材料的威布尔模量；
0σ=比例参数；
(,)P x σ=荷载P 作用下点x 的应力函数。
Æ 反映尺寸效应的威布尔型统计表达式不能用于混凝土结构，是因为：
1．它忽略了破坏前应力重分布引起的尺寸效应；
2．它忽略了由此引发的结构的能量释放。
混凝土结构脆性破坏假定
1．断裂或裂纹带的扩展需要对断裂面每单位面积提供近乎恒定的能量。
2．结构因断裂或裂纹带的扩展所释放的势能是一个与断裂长度和裂纹前端断裂进程区的尺寸有关的函数。
3．不同尺寸但几何相似的结构的破坏模式也是几何相似的。
4．结构在开裂初期并未失效。
裂纹扩展过程中的最大应力
σ= 式中，E = 杨氏模量，2a = 裂纹的特征长度，γ = 表面能密度，γ 是材料特性和裂纹几何形状的函数。
开裂模式
模式I ： 模式II ： 模式III ：
张开模式 滑开模式 撕开模式
线弹性断裂力学
假定：
1．所有的断裂过程始于裂纹尖端；
2．物体的总体积维持线性。
Æ 在这些假定下，裂纹扩展和结构破坏可用线弹性的方法进行研究。
应力奇异性
在裂纹尖端附近的一个微小区域，无论物体的形状和加载方式如何，各应力分量是相同的。
()I I
ij K f θσ=
()
II II
ij K f θσ=
，()
III III
ij K f θσ=
其中，I ，II ，III 代表基本模式，
,r θ=裂纹尖端附近点的极坐标，
I K ，II K ，III K ＝应力强度因子，
I ij f ，II ij f ，III ij f 的函数表达式相同（无论物体的形状和加载方式如何）。
能量准则
随着裂纹尖端的扩展，能量流入裂纹尖端并经断裂过程而耗散掉。
能量流动可通过能量释放率来描述：
()122a a a Gb a a a a ∂Π ∆∆ =−≅−Π+−Π− ∂∆
式中，U W Π=−=结构的势能，
U ＝结构的应变能，其为裂纹长度a 的函数，
W ＝外力功。
临界能量释放率
定义G ＝能量释放率，G c ＝临界能量释放率
Æ 若G<G c ，裂纹是稳定的，
Æ 若G>G c ，裂纹在扩散，
Æ 若G ＝G c ，裂纹处于随遇稳定状态。
假设一个存在内部裂纹（现有的裂缝）的结构，厚度为b ，裂纹增长所释放的能量可按下式计算：
a x e G
b P U ∆=∆−∆
其中，e U ∆=因裂纹增长a ∆引发的弹性能的变化
方程可改写为：
e a dU dx Gb P da da
∆=− 引入柔度函数
x c x cP P
=⇒= 应变能U e 可表示为
2
2
e cP U = 于是有，
2()2d cP d cP Gb P da da =−
2
()1()2d cP d cP Gb P da
da ⇒=− 2221122dc dc dc Gb P P P da da da
⇒=−= 22P dc G b da
⇒= G c 相应于断裂时的值。
该方法称为“临界能量释放率”方法。
应力强度
x σ =
y σ =
xy τ =
其中，K 1为模式I 的应力强度因子。
量纲分析表明：()I K g σ=→=所施加的应力，a = 特征长度，f (g ) = 表示几何特性的函数。
G i 计算
对于模式I ，2I I K G E
=′
对于模式II ，2II II K G E
=′ 对于模式III ，2III III K G µ=
其中，E E ′==杨氏模量，µ=弹性剪切模量。
对于平面应变的情况，
2
1E E ν′=
− 其中，ν=泊松比。
Æ 对于一般加载，总的能量释放率为
I II III G G G G =++
I K 的计算
应力强度因子I K 可由ij σ（或ij τ）的表达式或由()I K f g =计算得到。
此外，
()()I K αα=
=，a d
α= 其中，α=相对裂纹长度， d =结构的特征尺寸，
()(f ϕαα==无量纲函数。
Æ 对于不同尺寸几何相似的结构，应力强度因子与尺寸的平方根成正比，能量释放率
与结构尺寸成正比。
Æ 对于模式I 的情况，裂纹扩展可表示如下：
I Ic K K =
其中，Ic f K G E ′==K I 的临界值＝断裂韧性
Æ 破坏时的名义应力为
N d σ=+常数 Æ 根据线弹性断裂力学，尺寸效应图为斜率为-1/2的斜直线。
断裂进程区
在混凝土中，裂纹尖端的微裂缝的扩展进而形成“断裂进程区”。
从根本上说，
这一区域的特征对于研究混凝土的非线性断裂力学是非常重要的。
试验方法不
断得到发展。
高强度混凝土的抗拉强度可比普通强度混凝土的抗拉强度高2－5倍。
但是，断
裂能或弹性模量的增加却并不那么显著。
因此，高强度混凝土可能是脆性的。
线弹性断裂力学（LEFM ）的适用性
断裂力学中，断裂进程区的尺寸必定是有限的。
该尺寸可由材料特性来描述，譬
如最大的骨料粒径d a 。
在三点弯曲试件中，混凝土断裂进程区的长度和有效宽度分别约为12d a 和3d a 。
当断裂进程区的长度远小于混凝土的截面尺寸时，LEFM 是适用的。
但这一条件
对大多数混凝土结构尚无法满足。
脆性 Æ 脆性是断裂能的函数。
开裂混凝土的非均质性。
假想的裂纹模型
Hillerborg 提出模型－旨在描述混凝土受拉时的复杂特性
达到峰值时，裂纹扩展引起的长度变化假定为应变的线性函数
L L ε∆=
峰值过后，出现局部断裂。
断裂区的内部表现出软化行为。
这就是所谓的应变集中。
但是，在靠近尖端裂纹的区域（变形集中），该假定失效。
L ∆的修正表达式为： L L w ε∆=+
其中，w ＝ 反映断裂区变形集中影响的数值项。
线弹性断裂力学（LEFM ）
因此，需用下面两个关系来描述力学性能：
1．在断裂区外的σε−关系，
2．断裂区的w σ−关系。
0()f G w dw σ∞
=∫ 这可以采用刻痕试件通过试验来确定。
