分段线性插值
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1.4分段插值 一.分段线性插值
即用折线代替曲线。
设f （x ）连续 优点：计算简单，适用于光滑性要求不高的插值问题。
缺点：分段插值函数只能保证连续性，失去了原函数的光滑性。
二.分段三次（Hermite ）插值
不少实际插值问题不仅要求函数值相等，而且还要求导数值也相等。
这就导致下面的Hermite 插值。
并满足： 从而
由此条件可得： 类似可得的表达式。
下面是matlab 函数pieceline （x ，y ，u ）实现分段线性插值多项式的计算。
function v=pline(x,y,u) delta=diff(y)./diff(x); n=length(x); k=ones(size(u)); for j=2:n-1
k(x(j)<=u)=j; end
s=u-x(k);
v=y(k)+s.*delta(k);
在每个区间 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):
]
,[1+i i x x 1111
1)()(++++--+--=≈i i
i i
i i i i y x x x x y x x x x x P x f ]
,[for 1+∈i i x x x 记 易证：当 ||max 1i i x x h -=+0→h )()(1x f x P h →一致
给定
000
,...,;,...,;,...,,n n n x x y y y y ''在 上利用两端点的 y 及 y' 构造3次Hermite 函数。
]
,[1+i i x x 31111()()()()()i i i i i i i i S x y x y x y x y x ααββ++++=+++'
'
3311'331 1.
(), (),(), ()i i i i i i i i S x y S x y S x y S x y ++++===='''
1111111111111()1, ()0, ()0, ()0,()0, ()1, ()0, ()0,
()0, ()0, ()1, ()0,
()0, ()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x x x x ααββααββααββαα+++++++++++++==============''''''1110, ()0, () 1.i i i i x x ββ+++==''
1111122()12,2()().i i i i i i i i i i i
i x x x x x x x x x x x x x x x x αβ+++++--⎛⎫⎛
⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭-⎛⎫
=- ⎪-⎝⎭
程序中，pline是分段线性插值函数；
输入参数x——给定的数据点的横坐标所组成的向量
Y——给定的数据点的纵坐标所组成的向量
U——需要计算的点所组成的向量
输出参数v——u所对应的分段线性插值多项式的值，即v（i）=s1（u（i）），其中s1是未来满足分段线性插值多项式
Detla是计算差商的最后计算s、v。
