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椭圆应用参考试题(选修1-1)

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椭圆应用参考试题（选修1-1）一．解答题（共30小题）1．已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AB，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值．2．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A为上顶点，AF1交椭圆E于另一点B，且△ABF2的周长为8，点F2到直线AB的距离为2．（I）求椭圆E的标准方程；（II）求过D（1，0）作椭圆E的两条互相垂直的弦，M、N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过定点，并求出定点的坐标．3．已知抛物线C：x2=2py（p为正常数）的焦点为F，过F做一直线l交C于P，Q两点，点O为坐标原点．（1）当P，Q两点关于y轴对称时，|PQ|=4，求抛物线的方程；（2）若△POQ的面积记为S，求的值．4．定义变换T：可把平面直角坐标系上的点P（x，y）变换到这一平面上的点P′（x′，y′）．特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程．并求出当时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；（2）当时，求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T：（，k∈Z）下的不动点的存在情况和个数．5．经过点M（﹣2，1）作直线l交椭圆于S、T两点，且M是ST的中点，求直线l的方程．6．如图，已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探求λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点．7．由椭圆（a＞b＞0）的顶点B（0，﹣b）引弦BP，求BP长的最大值．8．已知F1（﹣2，0），F2（2，0）是椭圆C的两个焦点，过F1的直线与椭圆C的两个交点为M，N，且|MN|的最小值为6．（I）求椭圆C的方程；（II）设A，B为椭圆C的长轴顶点．当|MN|取最小值时，求∠AMB的大小．9．已知椭圆的右焦点为F，右准线与x轴交于E点，若椭圆的离心率e=，且|EF|=1．（1）求a，b的值；（2）若过F的直线交椭圆于A，B两点，且与向量共线（其中O为坐标原点），求与的夹角．10．设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．11．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．12．已知椭圆M：的面积为πab，M包含于平面区域Ω：内，向平面区域Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆内的概率为．（Ⅰ）试求椭圆M的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点，点为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问：k1+k2是否为定值？请证明你的结论、13．设圆M：x2+y2=8，将曲线上每一点的纵坐标压缩到原来的，对应的横坐标不变，得到曲线C．经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交曲线C于A、B两个不同点．（1）求曲线C的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．14．已知动点M到两个定点F1（﹣3，0），F2（3，0）的距离之和为10，A、B是动点M轨迹C上的任意两点．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若原点O满足条件，点P是C上不与A、B重合的一点，如果PA、PB的斜率都存在，问k PA•k PB 是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由．15．已知，动点P满足|PF 1|+|PF2|=4，记动点P的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）曲线E的一条切线为l，过F1，F2作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F1M|•|F2N|的值；（3）曲线E的一条切线为l，与x轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时切线的斜率．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为A（0，3），左、右焦点分别为B、C，离心率为．（1）试求椭圆的标准方程；（2）若直线PC的倾斜角为α，直线PB的倾斜角为β，当β﹣α=时，求证：①点P一定在经过A，B，C三点的圆M上；②PA=PB+PC．17．设椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一动点P（x0，，y0）关于直线y=2x的对称点为，求3x1﹣4y1的取值范围．18．已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）如果圆E：被椭圆C所覆盖，求圆的半径r的最大值．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，且经过点A（2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AO（O是坐标原点）与椭圆C相交于点B，试证明在椭圆C上存在不同于A、B的点P，使AP2=AB2+BP2（不需要求出点P的坐标）．20．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l 在y轴上的截距为m（m≠0），直线l交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当MA⊥MB时，求m的值．21．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1作倾斜角为60°的直线l 交椭圆于A，B两点，ABF2的内切圆的半径为 c（I）求椭圆的离心率；（II）若|AB|=8，求椭圆的标准方程．22．在△ABC中，顶点A，B，C所对三边分别是a，b，c．已知B（﹣1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列．（I）求顶点A的轨迹方程；（II）设直线l过点B且与点A的轨迹相交于不同的两点M、N如果满足|+|=|﹣|，求l的方程．23．在直角坐标系xOy中，点M到点F1、F2的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：与轨迹C交于不同的两点P和Q．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在常数k，使？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．24．已知椭圆+=1（0＜b＜2）的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F、B、C作圆P．（I）当b=时，求圆P的方程；（II）直线AB与圆P能否相切？证明你的结论．25．已知F1、F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的任意一点，椭圆的离心率为．以P为圆心PF2长为半径作圆P，当圆P与x轴相切时，截y轴所得弦长为．（1）求圆P方程和椭圆方程；（2）求证：无论点P在椭圆上如何运动，一定存在一个定圆与圆P相切，试求出这个定圆方程．26．已知椭圆上三点A（x1，y1），B（4，y2），C（x3，y3）和焦点F（4，0）的距离依次成等差数列．①求x1+x3；②求证线段AC的垂直平分线过定点，并求出此定点的坐标．27．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），平行于OM直线ℓ在y轴上的截距为m（m＜0），设直线ℓ交椭圆于两个不同点A、B，（1）求椭圆方程；（2）求证：对任意的m的允许值，△ABM的内心I在定直线x=2上．28．已知椭圆的左焦点与短轴的两个端点构成边长为2的等边三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），（x1≠x2）是椭圆上不同的两点，且x1x2+4y1y2=0．（1）求椭圆C的方程．（2）求证：x12+x22=4．（3）在x轴上是否存在一点P（t，0），使？若存在，求出t的取值范围，若不存在，说明理由．29．已知，为坐标原点，动点M满足．（1）求动点M的轨迹C；（2）若点P、Q是曲线C上的任意两点，且，求的值．30．如图所示：已知椭圆方程为，A，B是椭圆与斜轴的两个交点，F是椭圆的焦点，且△ABF为直角三角形．（1）求椭圆离心率；（2）若椭圆的短轴长为2，过F的直线与椭圆相交的弦长为，试求弦所在直线的方程．椭圆应用参考试题（选修1-1）参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AB，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值．，从而．由题设条件可以求出，的方程为．，从而．，则，从而．，∴，∴=．当且仅当时等号成立k=时，线段的长度取最小值．2．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A为上顶点，AF1交椭圆E于另一点B，且△ABF2的周长为8，点F2到直线AB的距离为2．（I）求椭圆E的标准方程；（II）求过D（1，0）作椭圆E的两条互相垂直的弦，M、N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过定点，并求出定点的坐标．的标准方程：．由题设条件可知的方程为的距离，．∴，∴过定点过定点3．已知抛物线C：x2=2py（p为正常数）的焦点为F，过F做一直线l交C于P，Q两点，点O为坐标原点．（1）当P，Q两点关于y轴对称时，|PQ|=4，求抛物线的方程；（2）若△POQ的面积记为S，求的值．的面积，最后代入即可求得答案．设距离，4．定义变换T：可把平面直角坐标系上的点P（x，y）变换到这一平面上的点P′（x′，y′）．特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程．并求出当时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；（2）当时，求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T：（，k∈Z）下的不动点的存在情况和个数．的标准方程为）时，利用（）是双曲线在变换下的不动点，推出（，代入，推出时，方程无解；时，要使不动点存在，则需，，故当时，双曲线在变换的标准方程为（由椭圆定义知焦距，即的标准方程为．两个焦点的坐标分别为和：，当可得和到．于是，，即的坐标为即的坐标为．下的不动点，则当⇒得：的不动点共有两个，分别为和．⇒因为，故不妨设双曲线方程为（代入得则有，故当时，方程时，要使不动点存在，则需，，故当时，双曲线在变换轴上时，；轴上时，5．经过点M（﹣2，1）作直线l交椭圆于S、T两点，且M是ST的中点，求直线l的方程．∴=的方程：6．如图，已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探求λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点．b=）由题设条件想办法证明点于定点抛物线的焦点坐标，∴的方程轴交于∴又由∴同理∴∵∴的值为定值）∵时，=同理可证，点相交于定点∵相交于定点7．由椭圆（a＞b＞0）的顶点B（0，﹣b）引弦BP，求BP长的最大值．（解：设椭圆（|BE|=．．8．已知F1（﹣2，0），F2（2，0）是椭圆C的两个焦点，过F1的直线与椭圆C的两个交点为M，N，且|MN|的最小值为6．（I）求椭圆C的方程；（II）设A，B为椭圆C的长轴顶点．当|MN|取最小值时，求∠AMB的大小．的方程为=1的方程为+，代入+），，即．，代入++|MN|=•．的最小值为．的方程为=1=，=，AMB=9．已知椭圆的右焦点为F，右准线与x轴交于E点，若椭圆的离心率e=，且|EF|=1．（1）求a，b的值；（2）若过F的直线交椭圆于A，B两点，且与向量共线（其中O为坐标原点），求与的夹角．）由题意知消去依题意：，故，故与的夹角为10．设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．，其中，设，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．，得，其中两点坐标满足方程组，所以11．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．两点得+=1）a﹣∴，即椭圆方程为+）满足题设条件，由=1﹣）（﹣|时，﹣a±，∴＜12．已知椭圆M：的面积为πab，M包含于平面区域Ω：内，向平面区域Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆内的概率为．（Ⅰ）试求椭圆M的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点，点为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问：k1+k2是否为定值？请证明你的结论、：依题意及几何概型，可得的方程为：的方程与椭圆方程得：∴依题意及几何概型，可得．因为所以，的方程为的方程为：由韦达定理得：所以，13．设圆M：x2+y2=8，将曲线上每一点的纵坐标压缩到原来的，对应的横坐标不变，得到曲线C．经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交曲线C于A、B两个不同点．（1）求曲线C的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．的方程为的方程为．，的方程为由，，，=．14．已知动点M到两个定点F1（﹣3，0），F2（3，0）的距离之和为10，A、B是动点M轨迹C上的任意两点．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若原点O满足条件，点P是C上不与A、B重合的一点，如果PA、PB的斜率都存在，问k PA•k PB 是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由．为焦点的椭圆，其中，为定值﹣的轨迹方程为，当∴在椭圆上，∴，∴∴为定值﹣．15．已知，动点P满足|PF 1|+|PF2|=4，记动点P的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）曲线E的一条切线为l，过F1，F2作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F1M|•|F2N|的值；（3）曲线E的一条切线为l，与x轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时切线的斜率．为焦点的椭圆，，所以）知，，此时斜率为）∵又∵为焦点的椭圆，（，）知，当且仅当，此时斜率为16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为A（0，3），左、右焦点分别为B、C，离心率为．（1）试求椭圆的标准方程；（2）若直线PC的倾斜角为α，直线PB的倾斜角为β，当β﹣α=时，求证：①点P一定在经过A，B，C三点的圆M上；②PA=PB+PC．=，）x）=2y+6+2，，，所以椭圆的标准方程为+=1（﹣=，所以．因为==．化简得））=2y+6+2PC=2，因为PC=417．设椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一动点P（x0，，y0）关于直线y=2x的对称点为，求3x1﹣4y1的取值范围．由此可求出椭圆的对称点为上，能够铁推出∵∴的方程为．的对称点为∴，：上，18．已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）如果圆E：被椭圆C所覆盖，求圆的半径r的最大值．的离心率上任意一点，则，的离心率，椭圆，∴，的方程为，，∵∴）=．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，且经过点A（2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AO（O是坐标原点）与椭圆C相交于点B，试证明在椭圆C上存在不同于A、B的点P，使AP2=AB2+BP2（不需要求出点P的坐标）．可得，又由点）在椭圆上，可得）依题意，，）在椭圆上，所以，，知的方程为，即20．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l 在y轴上的截距为m（m≠0），直线l交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当MA⊥MB时，求m的值．）设椭圆方程为，设直线，即）设椭圆方程为，椭圆方程为…）依题意y=，∴∴代入椭圆方程，消得：（（﹣…21．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1作倾斜角为60°的直线l 交椭圆于A，B两点，ABF2的内切圆的半径为 c（I）求椭圆的离心率；（II）若|AB|=8，求椭圆的标准方程．y=代入椭圆（=）知利用弦长公式代入椭圆，=∴=∴∴∴椭圆的离心率）知，∴|AB|=椭圆的标准方程为．22．在△ABC中，顶点A，B，C所对三边分别是a，b，c．已知B（﹣1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列．（I）求顶点A的轨迹方程；（II）设直线l过点B且与点A的轨迹相交于不同的两点M、N如果满足|+|=|﹣|，求l的方程．|+|=|﹣•=0，）≠）由题知．．）∵||=|﹣∴|+|=|﹣，展开得•=0，于是==，××±，或，）∴=））y=﹣23．在直角坐标系xOy中，点M到点F1、F2的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：与轨迹C交于不同的两点P和Q．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在常数k，使？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．的方程，整理得．然后利用根与系数的关系的椭圆，其方程为．．①，代入上式，解得24．已知椭圆+=1（0＜b＜2）的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F、B、C作圆P．（I）当b=时，求圆P的方程；（II）直线AB与圆P能否相切？证明你的结论．b=x=，）b=时，圆心坐标为（，）﹣）…，=相切，则25．已知F1、F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的任意一点，椭圆的离心率为．以P为圆心PF2长为半径作圆P，当圆P与x轴相切时，截y轴所得弦长为．（1）求圆P方程和椭圆方程；（2）求证：无论点P在椭圆上如何运动，一定存在一个定圆与圆P相切，试求出这个定圆方程．）∵，r=椭圆方程为，方程为26．已知椭圆上三点A（x1，y1），B（4，y2），C（x3，y3）和焦点F（4，0）的距离依次成等差数列．①求x1+x3；②求证线段AC的垂直平分线过定点，并求出此定点的坐标．||+|﹣＜两者作差得，故，（y+（y=）（﹣y=﹣过定点27．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），平行于OM直线ℓ在y轴上的截距为m（m＜0），设直线ℓ交椭圆于两个不同点A、B，（1）求椭圆方程；（2）求证：对任意的m的允许值，△ABM的内心I在定直线x=2上．∴所以，椭圆方程为，所以直线的方程为，，=28．已知椭圆的左焦点与短轴的两个端点构成边长为2的等边三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），（x1≠x2）是椭圆上不同的两点，且x1x2+4y1y2=0．（1）求椭圆C的方程．（2）求证：x12+x22=4．（3）在x轴上是否存在一点P（t，0），使？若存在，求出t的取值范围，若不存在，说明理由．与根与系数的关系，化简可得，令其的方程为，使得，∴是方程的两个根，得，使得，且29．已知，为坐标原点，动点M满足．（1）求动点M的轨迹C；（2）若点P、Q是曲线C上的任意两点，且，求的值．）∵）的轨迹方程是．，∴=30．如图所示：已知椭圆方程为，A，B是椭圆与斜轴的两个交点，F是椭圆的焦点，且△ABF为直角三角形．（1）求椭圆离心率；（2）若椭圆的短轴长为2，过F的直线与椭圆相交的弦长为，试求弦所在直线的方程．∴==，∴。

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数学椭圆的定义 例题解析人教版选修1-1(A文)

数学椭圆的定义 例题解析人教版选修1-1(A文)

椭圆的定义例题解析例1过椭圆4x2＋y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2的周长是[ ]略解：∵|AF1|＋|AF2|=2，|BF1|＋|BF2|=2，∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|=4，即|AB|＋|AF2|＋|BF2|=4．∴选B．评注：此题明是求周长，实际上是用椭圆的定义．题中提现了转化的思想．例2M点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F1，F2．且2a=10,2c=6,点I为△MF1F2解：如图，I为△MF1F2的内心，∴∠1=∠2，比较①、②，并应用等比定理，得评注：此题三步用到了椭圆的定义，内角平分线定理，等比定理．等比定理是桥梁把内角平分线分线段比与椭圆的第一定义联系起来．例3已知椭圆两焦点为F1，F2，M点为椭圆上一点(不在直线F1F2上)，∠F1MF2=θ，|F1F2|=2c，|MF1|＋|MF2|=2a．求△MF1F2的面积．解：由余弦定理，得(2c)2=|F1F2|2=|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos∠F1MF2=(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cosθ)=(2a)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cosθ)评注：例4已知方程2(k2－2)x2＋k2y2＋k2－k－6=0表示椭圆，求实数k的取值范围．解：按题意，得评注：解这种类型的题目，要注意椭圆的两种类型，同时要注意椭圆与圆的区别．例5解：设所求椭圆方程为Ax2＋By2=k，①评注：此题不知道椭圆的类型，因此采取这种“模糊”的设法，简化了计算．例6分析：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，m＋n=20，即m2＋n2－mn=144．(1) ∴(m＋n)2－3mn=144．评注：在上述方法中运用了椭圆的定义和余弦定理，这是解决椭圆中三角形问题时常求|PF1|·|PF2|的最大值．解：∵a=10，∴|PF1|＋|PF2|=20．当且仅当|PF1|=|PF2|时“=”号成立，∴|PF1|·|PF2|的最大值为100．例7证在椭圆外，(1)∵P在椭圆内，(2)∵P评注：1．本题涉及的知识点是椭圆方程与坐标概念．2．这是常用的知识点，了解坐标概念和曲线方程概念即不难证明．例8时，求|AM|＋2|MF|的最小值，并求此时点M的坐标．解析：本题按常规思路，设M(x，y)，则又M在椭圆上，y可用x表示，这样|AM|＋2|MF|可表示为x的一元函数，再求此函数的最小值．虽说此法看上去可行，但实际操作起来十分困难，但我们可以由椭圆的第二定义，转化到点到直线的距离来求，如图．∴|AM|＋2|MF|=|AM|＋d由于点A在椭圆内，过A作AK⊥l，K为垂足，易证|AK|即为|AM|＋d的最小值，其值为8－(－2)=10例9[ ]A．椭圆 B．双曲线C．线段 D．抛物线略解：即点P(x，y)到定点F(1，1)的距离与到定直线l：x＋y＋2=0的距离的比值∴点P的轨迹是椭圆，故选A．评注：此题很妙：妙在利用椭圆的第二定义，定义不能直接运用，必须进行变形后，才知答案．若利用两边平方解会很麻烦的．例10离为[ ] A．8略解：如图|PF1|＋|PF2|=2a=10，∴|PF1|=2．∴|PF2|=10－|PF1|=10－2=8．选A．评注：此题是椭圆第一定义与第二定义的综合运用．例11如图椭圆中心为O，F是焦点，A为顶点，准线l交OA延长线于B，P、Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥OA于F，则椭圆离心率为[ ] A．0 B．2C．2 D．5答案：D．评注：此题灵活利用离心率、深化对椭圆第二定义的理解．例12则有|PF1|=a＋ex，|PF2|=a－ex．证明：由椭圆第二定义，得评注：有的书中把上述结论叫做焦半径公式．按照人民教育出版社出版的教材要求这样做是不科学的，容易陷入单纯记忆公式，忽视椭圆第二定义的理解和应用．由于叙述的方便，后面我们还是采用焦半径的提法．但是要注重理解．实际上，上述结论是椭圆第二定义的延伸，抓住椭圆第二定义，及点与直线位置关系极易推导和记住，使用时，前面冠以“根据椭圆第二定义，得”即可应用．|PF1|=a＋ex，|PF2|=a－ex，例13分析：只要解方程组即可．此种方法，思路自然，但计算量较大，需要换一个角度，寻求新的解法．解：由椭圆第二定义，得评注：充分理解椭圆第二定义，可记忆有关结论．。

高二文科数学选修1-1椭圆单元练习卷

高二文科数学选修1-1椭圆单元练习卷

椭圆单元练习卷一、选择题：1162522=+y x 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ ）A. 22143x y +=B. 22134x y +=C. 2214x y +=D. 2214y x += ３.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( )A1858014520125201202522222222=+=+=+=+y x D y x C y x B y x ４．椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ ）A. 1-B. 1C.5 D.５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )A.12B.C. D. 2 ６．椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ ）A.221169x y += B . 221259x y += C . 2212516x y += D . 221254x y += ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）。

A 16x 2＋9y 2＝1B 16x 2＋12y 2＝1C 4x 2＋3y 2＝1D 3x 2＋4y 2＝1８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( )(A)450 (B)600 (C)900 (D)120９．椭圆221259x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为…… （ ） A. 4 B . 2 C. 8 D . 2310．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( )（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 二、填空题：11．方程221||12x y m +=-表示焦点在y 轴的椭圆时，实数m 的取值范围是____________ 12．过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同的焦点的椭圆的标准方程为_____________ 13．设(5,0)M -,(5,0)N ,△MNP 的周长是36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程为_______14．如图：从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连线AB ∥OM ，则该椭圆的离心率等于_____________三、解答题：） 15.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程。

选修1_1椭圆测试题

选修1_1椭圆测试题

. WORD 格式.资料 .2014-2015学年度高二文科选修1-1第二章椭圆自主测试一、选择题（每小题5分，共60分）1.椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．14 B ．12C ． 2D ．4 2．若椭圆x 216＋y 2m2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 53．椭圆kx 2＋(k ＋2)y 2＝k 的焦点在y 轴上，则k 的取值范围是( ) A ．k >－2 B ．k <－2 C ．k >0 D ．k <04. ,“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的短轴的长为( ) A ．2 3 B ．2 6 C ．4 2 D ．4 36．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）A ．23 B ．22 C ．31D ．21 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A （－4，0）和C （4，0），顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A CB +=（ ）A ．34B ．23C ．45D ．548．设椭圆22221x y m n +=,(m >0,n >0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为A ．1161222=+y x B ．1121622=+y x C ．1644822=+y x D ．1486422=+y x 9、过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A .22 B .33 C .12 D.1310.已知实数4，m , 9构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为A . 6B .C .6或D. 56或711．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC ＝2CB ，则点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线12．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴 的长分别为A1和A 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶 点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是 ( )A ．A 1＋c 1>A 2＋c 2B ．A 1－c 1＝A 2－c 2C ．A 1c 2<A 2c 1D ．A 1c 2>A 2c 1 二、填空题（每小题4分，共16分）13.如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是14.与椭圆229436x y +=有相同的焦点，且短轴长为的椭圆方程是 .15.已知121m n+=(m >0, n >0,),则当mn 取得最小值时，椭圆22221x y m n +=的离心率是 .16.以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k-=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程2x 2-5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点. 其中真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号） 一、选择题答案（每小题5分，共60分）二、填空题答案（每小题4分，共16分）（13） （14） （15） （16） 三、解答题（写出必要的文字和步骤，只给出结果不得分）17、（满分12分）已知P 为椭圆221214x y F F +=上任意一点，，是椭圆的两个焦点，求： （1）12PF PF ⋅的最大值；（2）2212PF PF +的最小值.18、（满分12分）已知椭圆22132x y +=过左焦点的直线l 的倾角为45与椭圆相交于A ,B 两点 （1）求AB 的中点坐标；（2）求2ABF ∆的周长与面积. WORD 格式.资料 .19、（满分12分）已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12-. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C .（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3时，求直线l 的方程.20、（满分12分）已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，离心率为23． （I ）求椭圆方程；（II ）设椭圆在y 轴的正半轴上的焦点为M ，又点A 和点B 在椭圆上，且MB AM 2=， 求线段AB 所在直线的方程．21、（满分12分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴,且（0，）是椭圆M 的一个焦点,又点A )在椭圆M 上.(Ⅰ)求椭圆M 的方程;(Ⅱ)已知直线l ,若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点,求∆ABC 面积的最大值.22、（满分14分）己知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>旳离心率e =2,左、.右焦点分别为F 1，F 2，点., P (2，，点F 2在线段PF 1的中垂线上。

椭圆测试题

椭圆测试题

高中数学选修1-1.椭圆检测题一、选择题：.1.下列方程表示椭圆的是（）A.22199x y += B.2228x y --=- C.221259x y -= D.22(2)1x y -+= 2.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D.不能确定3.已知椭圆的标准方程22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为（）A.(B.(0,C.(0,3)±D.(3,0)±4.椭圆222222222222211()x y x y a b k a b a k b k+=+=>>--和的关系是 A ．有相同的长.短轴B ．有相同的离心率 C ．有相同的准线D ．有相同的焦点5.已知椭圆22159x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（）A.3B.2C.3D.66.如果22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--⋃+∞ C.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ D.任意实数R 7.“m>n>0”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 8.椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32倍，则椭圆的焦距是（）4 C.6D.9.关于曲线的对称性的论述正确的是（） A.方程220x xy y ++=的曲线关于X 轴对称B.方程330x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2210x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程338x y -=的曲线关于原点对称第11题10.方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22221x y a b+=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）.A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴；D.有相同的顶点. 二、填空题：（本大题共4小题，共20分.）11.（6分）已知椭圆的方程为：22164100x y +=，则a=___，b=____，c=____，焦点坐标为：___ __，焦距等于______;若CD 为过左焦点F1的弦，（如图）则∆2F CD 的周长为________.12.（6分）椭圆221625400x y +=的长轴长为____，短轴长为____，焦点坐标为 四个顶点坐标分别为___ ，离心率为 ；椭圆的左准线方程为 13.（4分）比较下列每组中的椭圆：（1）①229436x y += 与②2211216x y += ，哪一个更圆 （2）①221610x y +=与②22936x y +=，哪一个更扁 14.（4分）若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是2F CcD1F三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（30分）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，-3），（0,3），椭圆的短轴长为8；（2）两个焦点的坐标分别为（），），并且椭圆经过点2)3（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点12P P 、16.（12分）已知点M 在椭圆221259x y +=上，M 'P 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为'P ，并且M 为线段P 'P 的中点，求P 点的轨迹方程17.（12分）设点A ，B 的坐标为(,0),(,0)(0)a a a ->，直线AM,BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为(01)k k k ->≠且求点M 的轨迹方程，并讨论k 值与焦点的关系.18.（12分）当m 取何值时，直线l ：y x m =+与椭圆22916144x y +=相切，相交，相离？ 19.(14分)椭圆221(045)45x y m m +=<<的焦点分别是1F 和2F ，已知椭圆的离心率e =O 作直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为原点，若2ABF 的面积是20， 求：（1）m 的值（2）直线AB 的方程高中新课标选修（1-1）椭圆部分测试题第1题. 已知两点(02)M ，，(02)N -，，且点P 到这两点的距离和等于6．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若A B ，是动点P 的轨迹上的两点，且M 分有向线段AB 的比为2，求线段AB 所在直线的方程．答案：(1)22195y x +=；(2)23y x =±+．第2题.22:4O x y +=．(10)A -，，(10)B ，，动抛物线过A B ，两点，且以O 的切线为准线，则抛物线焦点F 的轨迹方程为______________．答案：221(0)43x y y +=≠．第3题. 过点(10)，的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2的椭圆C 相交于A B ，两点，直线20x y -=过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，求直线l 与椭圆C 的方程.答案：直线l 的方程为1y x =-+； 椭圆C 的方程为22816199x y +=．第4题. 已知F 是椭圆222516400x y +=在x 轴上方的焦点，Q 是此椭圆上任意一点，点P 分QF 所成的比为2，求动点P 的轨迹方程.答案：动点P 的轨迹方程为222251445761760x y y +-+=．第5题. 在ABC △中，A B C ∠∠∠，，所对的三边分别是a b c ，，，并且(10)(10)B C -，，，，求满足ca b ，b a c ，，成等差数列时，顶点A 的轨迹.答案：A 点的轨迹方程是221(00)43x y y x +=≠，，其轨迹是椭圆的右半部分，且除去(20)，这一点．第6题. 一动圆与圆221:650C x y x +++=外切，同时与圆222:6910C x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹.答案：动圆圆心的轨迹是椭圆.第7题. 若椭圆221169x y +=上每一个点()P x y ，，都能使0x y c ++成立，则c 的取值范围是_______.答案：5c ．第8题. 椭圆222(0)2y x a a +=>和连接(11)A ，，(34)B ，两点的线段没有公共点，那么a 的取值范围是_____________.答案：0(17)a ⎛∈+∞ ⎝⎭，．第9题. 已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，点P 是以12F F ，为直径的圆与椭圆的一个交点，且12215PF F PF F ∠=∠，则a b :等于( )答案：Ｄ第10题. 椭圆22143x y +=的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标是( )Ａ．⎛ ⎝⎭Ｂ．-⎭ Ｃ．312⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｄ．312⎛⎫- ⎪⎝⎭，答案：Ｄ第11题. 从集合{}12311，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n+=中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{}()|119B x y x y =<<且，内的椭圆个数为（ ） Ａ．43 Ｂ．72Ｃ．86Ｄ．90答案：Ｂ．第12题. 已知1(0)2A -，，B 是圆221()42F x y -+=∶（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 ． 答案：22413x y +=第13题. 椭圆221123x y +=的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ） Ａ．7倍Ｂ．5倍Ｃ．4倍Ｄ．3倍答案：A .第15题.求中心在原点，过点1⎛ ⎝⎭40-=的椭圆方程．答案：解法1：设椭圆方程为222222b x a y a b +=，点1⎛ ⎝⎭在椭圆上，222234b a a b ∴+=，即222341a b a =- ①又240a c -=∴=，24c a = ②将①，②代入222a b c =+，得2222334116a a a a ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即42319280a a -+=，2212743a a ∴==，．代入①得221221116b b ==，．所求椭圆方程为2222117214316x x y y +=+=，． 解法2：如图所示，设椭圆右焦点为(0)F c d ，，为1⎛ ⎝⎭到椭圆右准线的距离，则PF cd a=．c a = ①曲准线方程为2a x c ==22c a = ②②代入①，化简得212210c -+=解得12c c ==，代入②及222a b c =+，得2221221274321116a a b b ⎧=⎪⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩，．所求椭圆的方程为222217214316x x y y +=+=，第16题. 已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点(30)A ，，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．答案：解：若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意22232901a b a b =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解得31a b =⎧⎨=⎩，．∴椭圆的方程为2219x y +=；若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为22221(0)y x a b a b+=>>，由题意22232091a b a b=⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解得93a b =⎧⎨=⎩，．∴椭圆方程为221819y x +=．故椭圆方程为2219x y +=，或221819y x +=．第17题. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P，2(P ．求椭圆方程．答案：解：设椭圆方程221(00)mx ny m n m n +=>>≠，，．1(61)P ，，2(P 在椭圆上，∴由题意可知61321m n m n +=⎧⎨+=⎩，，解得1913m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．∴椭圆方程为2211193x y +=．即22193x y +=．故所求椭圆方程为22193x y +=．第18题. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内有一点A ，1F 为左焦点，在椭圆上求一点P ，使1PF PA +取得最值．答案：解：如图所示，设2F 为椭圆的右焦点，且2AF 与椭圆相交于12P P ，两点，点M 是不同于点12P P ，的椭圆上的任一点． 根据椭圆的定义知，11122PF PF a +=，1111112222PF PA PF PF F A a F A ∴+=++=+．在2AMF △中，22MA MF F A <+，112222MF MA MF MF F A a F A ∴+<++=+． M 是椭圆上任一点，122MF MA a F A ∴+<+，1111MF MA PF PA ∴+<+． ∴点1P 是使1PF PA +取得最大值的点．同理：2122122222P F P A P F P F AF a AF +=+-=-． 在2AMF △中，22MA MF AF >-，112222MF MA MF MF AF a AF ∴+>+-=-．1212MF MA P F P A ∴+>+．∴点2P 是使1PF PA +取得最小值的点．第19题. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，P 为椭圆上任一点，12F PF θ∠=，求12F PF S △（12F F ，为焦点）． 答案：解：12121sin 2F PF S PF PF θ=△， 又2221212(2)2cos c PF PF PF PF θ=+-． ① 由定义122PF PF a +=，222121224PF PF PF PF a ∴++=． ②由①②得222122()21cos 1cos a c b PF PF θθ-==++．1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∴===+△．第20题. 过椭圆221164x y +=内一点(21)M ，引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程．答案：解：设所求直线的方程为1(2)y k x -=-， 代入椭圆方程并整理，得2222(41)8(2)4(21)160k x k k x k +--+--=．设直线与椭圆的交点为11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x ，是直线方程的两根，于是21228(2)41k k x x k -+=+．又M 为AB 的中点，21224(2)2241x x k k k +-∴==+，解得12k =-． 故所求直线的方程为240x y +-=．第21题. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点F ，如图所求，求连结F 和椭圆上任意一点P 的线段FP 的中点Q 的轨迹方程．答案：解：设00()P x y ，，()Q x y ，，则0022x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．0022x x c y y =-⎧∴⎨=⎩，．代入22221x y a b +=，得2222(2)41x c y a b-+=．即22222122c x y a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为所求的轨迹方程．第22题. 倾斜角为π4的直线交椭圆2214x y +=于A B ，两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．答案：解：设倾斜角为π4的直线交椭圆于11()A x y ，，22()B x y ，，由221114x y +=，①222214x y +=， ②①－②得12121212()()()()4x x x x y y y y -+=--+．又设中点()M x y ，，则1212121224()84y y x x x xx x y y y y-+=-=-=--+．又1212y y x x --为AB 连线斜率，即πtan 14k ==，14xy∴-=，即40x y +=（其中包含在椭圆内部和椭圆上）．椭圆检测题参考答案1.选择题：二.填空题：11 10,8，6，（0，6±），12，40 12 10，8，（3,0±），（-5,0）.（5,0）.（0，-4）.（0,4），35，253x =- 13 ②，② 14 35 三.解答题：15.（1）解：由题意，椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>由焦点坐标可得3c =，短轴长为8，即28,4b b ==，所以22225a b c =+=∴椭圆的标准方程为2212516y x += （2）由题意，椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>由焦点坐标可得c=2a ==6所以2b =22a c -=9-5=4，所以椭圆的标准方程为22194x y += (3)设椭圆的方程为221mx ny +=（0,0m n >>），因为椭圆过12P P 、61321m n m n +=+=⎧∴⎨⎩解得1913m n ==⎧⎨⎩所以椭圆的标准方程为：22193x y += 16.解：设p 点的坐标为(,)p x y ，m 点的坐标为00(,)x y ，由题意可知000022y y x x x x y y ====⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩ ① 因为点m 在椭圆221259x y +=上，所以有 22001259x y += ② ， 把①代入②得2212536x y +=，所以P 点的轨迹是焦点在y 轴上，标准方程为2212536x y +=的椭圆.17.解：设点M 的坐标为(,)x y ，因为点A 的坐标是(,0)a -，所以，直线AM 的斜率()AM y k x a x a =≠-+，同理直线BM 的斜率()BM y k x a x a=≠-.由已知有(),y yk x a x a x a=-≠±+-化简得点M 的轨迹方程为22221()x y x a a ka +=≠±当01k <<时，表示焦点在x 轴上的椭圆；当1k >时，表示焦点在y 轴上的椭圆.18.解：{22916144y x m x y =++=…… … … ①②①代入②得22916()144x x m ++=化简得222532161440x mx m ++-=222(32)425(16144)57614400m m m ∆=-⨯-=-+当0,∆=即5m =±时，直线l 与椭圆相切； 当0∆>，即55m -<<时，直线与椭圆相交； 当0∆<，即5m <-或5m >时，直线与椭圆相离. 19.解：（1）由已知ce a ==，a ==5c =， 所以222452520m b a c ==-=-=（2）根据题意21220ABF F F BSS==，设(,)B x y ，则121212F F B S F F y =，12210F F c ==，所以4y =±，把4y =±代入椭圆的方程2214520x y +=，得3x =±，所以B 点的坐标为34±±（，），所以直线AB 的方程为4433y x y x ==-或 涟西南中学高二数学椭圆测试题二一.选择题（每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知椭圆的准线是x ＝4, 对应焦点是F(2,0), 离心率是1/2, 则椭圆的方程是……［D ］2. 过椭圆内一点，作弦，使被平分，那么弦之长等于．．．．x y M AB AB M AB A B C D 224010141442323+=-()[]A x y x y x C x y x x y x (22)222222841328600227403480+=--+=+-+=+-= B D选B3．设椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的两个焦点是F 1和F 2，长轴是A 1A 2，P 是椭圆上异于A 1、A 2的点，考虑如下四个命题：①|PF 1|-|A 1F 1|=|A 1F 2|-|PF 2|； ②a-c<|PF 1|<a+c ；③若b 越接近于a ，则离心率越接近于1； ④直线PA 1与PA 2的斜率之积等于-22b a．其中正确的命题是……………………………………………………………………[ A]A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①④4．12,F F 是椭圆22x ＋y 2＝1的两个焦点，过2F 作倾斜角为4π的弦AB ，则△F 1AB 的面积[ B ]A ．B ．C ．D ． 5．若圆22()9x a y -+=与椭圆22194x y +=有公共点，则实数a 的取范围是……[B ] A ． B ．[－6，6] C ． D ．∅ 6．设P 是椭圆22194x y +=上任意一点，1F 、2F 是椭圆的两上焦点，则cos ∠1F P 2F 的最小值是……………………………………………………………………………………[ D ]A ．B ．C ．D ．二.填空题（每题4分,满分16分,把答案填在题中横线上）7．P (x ，y )是椭圆2223x y +＝12上一动点，则x ＋2y 的最大值和最小值分别是__________ ，－22，228.方程22||13x y a a +-+＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 (－3，－2) ,9. 已知x 轴上的一定点(1,0),A Q 为椭圆2214x y +=上的动点，则AQ 中点M 的轨迹方程 , 10. 已知椭圆E 的一个焦点是1F (0，－，对应准线是y ＝－94，并且23和43的等比中项是离心率e ．则椭圆E 的方程 .3313-43()-∞+∞，55,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12195919-221412x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭229y x +＝1；三.解答题（17-21题每题12分,22题14分,满分74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）11.已知直线l ：y x m =+，椭圆221169x y C +=：，若l 与C 有一个交点，求m 的值． m ＝±512.已知椭圆221mx ny +=与直线1x y +=相交于A 、B 两点，C 是AB 的中点．若||AB =，OC斜率为2(O 为原点)，求椭圆方程． 分析：本例是一道综合性比较强的问题，求解本题要利用中点公式求出C 点坐标，从而得OC的斜率，另外还要用到弦长公式12|||AB x x =-，同时有一定的运算量．①，又12|||AB x x =-===,1= ②．解①、②得13m n ==，213x ∴+=所求的椭圆方程为．13.已知29x +25y =1的焦点F 1、F 2，在直线l ：x+y-6=0上找一点M ，求以F 1、F 2为焦点，通过点M 且长轴最短的椭圆方程．解：由29x +25y =1，得F 1（2，0），F 2（-2，0），F 1关于直线l 的对称点F 1/（6，4），连F 1/F 2交l于一点，即为所求的点M ，∴2a=|MF 1|+|MF 2|=|F 1/F 2c=2，∴b 2=16，故所求椭圆方程为220x +216y =1．{222112200121212121()210121()()()222()2mx ny y m n x nx n x y n n A x y B x y C x y x x x x m n m n n my y x x m n m n+=+-+-=+=-+=⋅=+++=-+=-=++ 解：由方程组消去整理得:，设，、，、，， 则，，．121200222x x y y n m m x y m n m n n ++∴=====++，，则由题设得高中新课标选修（1-1）椭圆部分测试题第1题. 已知两点(02)M ，，(02)N -，，且点P 到这两点的距离和等于6．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若A B ，是动点P 的轨迹上的两点，且M 分有向线段AB 的比为2，求线段AB 所在直线的方程．答案：(1)22195y x +=；(2)23y x =±+．第2题.22:4O x y +=．(10)A -，，(10)B ，，动抛物线过A B ，两点，且以O 的切线为准线，则抛物线焦点F 的轨迹方程为______________．答案：221(0)43x y y +=≠．第3题. 过点(10)，的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2的椭圆C 相交于A B ，两点，直线20x y -=过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，求直线l 与椭圆C 的方程.答案：直线l 的方程为1y x =-+； 椭圆C 的方程为22816199x y +=．第4题. 已知F 是椭圆222516400x y +=在x 轴上方的焦点，Q 是此椭圆上任意一点，点P 分QF 所成的比为2，求动点P 的轨迹方程.答案：动点P 的轨迹方程为222251445761760x y y +-+=．第5题. 在ABC △中，A B C ∠∠∠，，所对的三边分别是a b c ，，，并且(10)(10)B C -，，，，求满足ca b ，b a c ，，成等差数列时，顶点A 的轨迹.答案：A 点的轨迹方程是221(00)43x y y x +=≠，，其轨迹是椭圆的右半部分，且除去(20)，这一点．第6题. 一动圆与圆221:650C x y x +++=外切，同时与圆222:6910C x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹.答案：动圆圆心的轨迹是椭圆.第7题. 若椭圆221169x y +=上每一个点()P x y ，，都能使0x y c ++成立，则c 的取值范围是_______.答案：5c ．第8题. 椭圆222(0)2y x a a +=>和连接(11)A ，，(34)B ，两点的线段没有公共点，那么a 的取值范围是_____________.答案：0(17)2a ⎛∈+∞ ⎝⎭，，．第9题. 已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，点P 是以12F F ，为直径的圆与椭圆的一个交点，且12215PF F PF F ∠=∠，则a b :等于( )Ａ．3Ｂ．2 Ｃ．3答案：Ｄ第10题. 椭圆22143x y +=的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标是( )Ａ．⎛⎝⎭Ｂ．-⎭Ｃ．312⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｄ．312⎛⎫- ⎪⎝⎭，答案：Ｄ第11题. 从集合{}12311，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n+=中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{}()|119B x y x y =<<且，内的椭圆个数为（ ） Ａ．43 Ｂ．72Ｃ．86Ｄ．90答案：Ｂ．第12题. 已知1(0)2A -，，B 是圆221()42F x y -+=∶（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 ． 答案：22413x y +=第13题. 椭圆221123x y +=的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ） Ａ．7倍Ｂ．5倍Ｃ．4倍Ｄ．3倍答案：A第14题. 若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -，，，，椭圆的弦的AB 过点1F ，且2ABF △的周长为20，那么该椭圆的方程为 ．答案：221259x y +=． . .第16题. 已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点(30)A ，，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．答案：解：若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意22232901a b a b=⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解得31a b =⎧⎨=⎩，．∴椭圆的方程为2219x y +=；若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为22221(0)y x a b a b+=>>，由题意22232091a b a b=⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解得93a b =⎧⎨=⎩，．∴椭圆方程为221819y x +=．故椭圆方程为2219x y +=，或221819y x +=．第17题. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P，2(P ．求椭圆方程．答案：解：设椭圆方程221(00)mx ny m n m n +=>>≠，，．1(61)P ，，2(P 在椭圆上，∴由题意可知61321m n m n +=⎧⎨+=⎩，，解得1913m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．∴椭圆方程为2211193x y +=．即22193x y +=．故所求椭圆方程为22193x y +=．第18题. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内有一点A ，1F 为左焦点，在椭圆上求一点P ，使1PF PA +取得最值．答案：解：如图所示，设2F 为椭圆的右焦点，且2AF 与椭圆相交于12P P ，两点，点M 是不同于点12P P ，的椭圆上的任一点． 根据椭圆的定义知，11122PF PF a +=，1111112222PF PA PF PF F A a F A ∴+=++=+．在2AMF △中，22MA MF F A <+，112222MF MA MF MF F A a F A ∴+<++=+． M 是椭圆上任一点，122MF MA a F A ∴+<+，1111MF MA PF PA ∴+<+． ∴点1P 是使1PF PA +取得最大值的点．同理：2122122222P F P A P F P F AF a AF +=+-=-． 在2AMF △中，22MA MF AF >-，112222MF MA MF MF AF a AF ∴+>+-=-． 1212MF MA P F P A ∴+>+．∴点2P 是使1PF PA +取得最小值的点．第19题. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，P 为椭圆上任一点，12F PF θ∠=，求12F PF S △（12F F ，为焦点）．答案：解：12121sin 2F PF S PF PF θ=△， 又2221212(2)2cos c PF PF PF PF θ=+-． ① 由定义122PF PF a +=，222121224PF PF PF PF a ∴++=． ②由①②得222122()21cos 1cos a c b PF PF θθ-==++．1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∴===+△．第20题. 过椭圆221164x y +=内一点(21)M ，引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程．答案：解：设所求直线的方程为1(2)y k x -=-， 代入椭圆方程并整理，得2222(41)8(2)4(21)160k x k k x k +--+--=．设直线与椭圆的交点为11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x ，是直线方程的两根，于是21228(2)41k k x x k -+=+．又M 为AB 的中点，21224(2)2241x x k k k +-∴==+，解得12k =-．故所求直线的方程为240x y +-=．第21题. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点F ，如图所求，求连结F 和椭圆上任意一点P 的线段FP 的中点Q 的轨迹方程．答案：解：设00()P x y ，，()Q x y ，，则0022x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．0022x x c y y =-⎧∴⎨=⎩，．代入22221x y a b +=，得2222(2)41x c y a b-+=．即22222122c x y a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为所求的轨迹方程．第22题. 倾斜角为π4的直线交椭圆2214x y +=于A B ，两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．答案：解：设倾斜角为π4的直线交椭圆于11()A x y ，，22()B x y ，，由221114x y +=，①222214x y +=， ②①－②得12121212()()()()4x x x x y y y y -+=--+．又设中点()M x y ，，则1212121224()84y y x x x xx x y y y y-+=-=-=--+．又1212y y x x --为AB 连线斜率，即πtan 14k ==，14xy∴-=，即40x y +=（其中包含在椭圆内部和椭圆上）．。