第2节 一元二次方程
一元二次方程
1．定义：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程．
2．一般形式：________________(a≠0)．
一元二次方程的解法
配方法，________法，________法．
一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：
b2－4ac＞0⇔方程有两个________的实数根；
b2－4ac＝0⇔方程有两个________的实数根；
b2－4ac＜0⇔方程________实数根．
一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝________，x1x2＝________.
一元二次方程的应用
步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答．
一元二次方程及解法
【例1】(1)(2013·遵义)已知x＝－2是方程x2＋mx－6＝0的一个根，则方程的另一个根是__3__．
(2)解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.
解：原方程化简为x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1
(1)由根的定义―→代入求值―→解方程，或由两根之积等于－6―→求另一根；
(2)化简―→观察方程特点―→利用配方法或公式法求解．
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系
【例2】(1)如果关于x的一元二次方程kx2－2k＋1x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( D )
A．k＜12 B．k＜12且k≠0
C．－12≤k＜12 D．－12≤k＜12且k≠0
(2)(2014·德州)方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x12＋x22＝4，则k的值为__1__．
(1)理解题意，观察方程特点―→k≠0，2k＋1≥0，Δ＞0；
(2)两个实数根―→Δ≥0，x12＋x22＝4―→(x1＋x2)2－2x1x2＝4，把x1＋x2，x1x2的结果代入，求出k的值．注意：所求k值必须使Δ≥0. 一元二次方程的应用
第3节 分式方程
分式方程
1．定义：分母中含有________的方程叫做分式方程．
2．思路、方法：(1)解分式方程的基本思路是将分式方程转化为________；
(2)具体的方法是________，即方程两边同乘以________．
3．解分式方程必须________．
分式方程的应用
分式方程的应用与整式方程的应用类似，关键要分清题目中的等量关系，不同的是要注意验根：
(1)检验所求的解是否是原方程的解；
(2)检验所求的解是否符合________．
分式方程及解法
【例1】(2014·连云港)解分式方程：2x－2＋3＝1－x2－x.
解：x＝32
去分母，转化为整式方程―→解这个整式方程―→验根．
分式方程的应用
【例2】(2014·徐州)几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
解：设票价为x元，由题意得360－720.6x＝360x＋2，解得x＝60，则小伙伴的人数为360－720.6×60＝8
审题确定等量关系―→设未知数―→列方程―→解方程―→验根，判断根是否合理―→确定根并作答．
解分式方程时，注意不要漏乘不含分母的项和忘记验根．
【例3】解分式方程：2＋x2－x＋16x2－4＝－1.
解：x＝2是增根，原方程无解
真题热身
1．(2012·丽水)把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( D )
A．x B．2x
C．x＋4 D．x(x＋4)
2．(2013·湘潭)分式方程5x＋2＝3x的解为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2014·青岛)某工程队准备修建一条长1200 m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务，若设原计划每天修建道路x
m，则根据题意可列方程为( D )
第3节 图形的相似及位似
比例线段及其性质
1．比例线段的定义．
2．比例的性质
基本性质：ab＝cd⇔ad＝bc.
等比性质：若ab＝cd＝„＝mn，且b＋d＋„＋n≠0，则a＋c＋„＋mb＋d＋„＋n＝ab.
3．黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果ACAB＝BCAC，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做AB的黄金分割点．AC与AB的比叫做黄金比，ACAB＝5－12≈0.618.
相似多边形
1．对应角________，对应边的比________的两个多边形叫做相似多边形．
2．性质：
(1)对应角相等，对应边成比例；
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
相似三角形
1．定义：对应角______，对应边的比______的两个三角形叫做相似三角形，______的比叫做相似比．
2．三条平行线截两条直线，所得的________的比相等．
3．判定：
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形________；
(2)两边对应______且夹角______的两个三角形相似；
(3)两角对应相等的两个三角形相似；
(4)三边对应成比例的两个三角形相似．
4．性质：
(1)对应角相等，对应边______；
(2)对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于______；
(3)周长之比等于______，面积之比等于________________________________________________________________________．
位似图形
1．两个图形是________图形，且每组对应点的连线都经过________点，这两个图形叫做位似图形，________叫做位似中心．
2．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为________，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.
包考专题(八) 圆的综合题
时间 题号 题型 分值 主要内容
2012 24 解答题 10分 切线的性质，相似三角形的性质，垂径定理，三角形全等
2013 24 解答题 10分 圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数
2014 24 解答题 10分 切线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质
【例】(2013·成都)如图，⊙O的半径r＝25，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上一点，且∠PDA＝∠ABD.
(1)试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若tan∠ADB＝34，PA＝43－33AH，求BD的长；
(3)在(2)的条件下，求四边形ABCD的面积．
解：(1)PD与⊙O相切．理由如下：过点D作直径DE，连接AE，则∠DAE＝90°，∴∠AED＋∠ADE＝90°.∵∠ABD＝∠AED，∠PDA＝∠ABD，∴∠PDA＝∠AED，∴∠PDA＋∠ADE＝90°，∴∠PDO＝90°，即PD⊥OD，∴PD与⊙O相切
(2)连接BE，设AH＝3k，∵tan∠ADB＝34，PA＝43－33AH，AC⊥BD于点H，∴DH＝4k，AD＝5k，PA＝(43－3)k，PH＝PA＋AH＝43k，∴tanP＝DHPH＝33，∴∠P＝30°，PD＝8k.∵BD⊥AC，∴∠P＋∠PDB＝90°.∵PD⊥DE，∴∠PDB＋∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠P＝30°.∵DE为直径，∴∠DBE＝90°，DE＝2r＝50，∴BD＝DE·cos∠BDE＝50·cos30°＝253 (3)连接CE.∵DE为直径，∴∠DCE＝90°，∴CD＝DE·sin∠CED＝DE·sin∠CAD＝50×45＝40.∵∠PDA＝∠ABD＝∠ACD，∠P＝∠P，∴△PDA∽△PCD，∴PDPC＝DACD＝PAPD，∴8kPC＝5k40＝（43－3）k8k，解得PC＝64，k＝43－3，∴AC＝PC－PA＝64－(43－3)k＝64－(43－3)2＝7＋243，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△CBD＝12BD·AH＋12BD·CH＝12BD·AC＝12×253×(7＋243)＝900＋17532
