第七讲 矩阵的三角分解
一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组
⎧⎪
⎪⎨⎪⎪⎩ 1111221n n 1
2112222n n 2n11n22nn n n
a ξ+a ξ++a ξ=
b a ξ+a ξ++a ξ=b a ξ+a ξ++a ξ=b → Ax =b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭ ij T 12n T 12n A =(a )x =[ξ ξ ξ]b =[b b b ] 设()0ij n ×n A =A =a ,设A 的k 阶顺序主子式为k Δ，若(0)
111Δ=a ≠0
，可以令(0)i1
i1(0)11
a c =a
并构造Frobenius 矩阵
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 211n1n ×n 10c 1L =c 01 → ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
21
-11
n11
0-c 1L =-c 01 计算可得
⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
(0)(0)(0)1112
1n
(1)
(1)(1)-1(0)222n 1
(1)
(1)n2nn a a a a a A =L A =0a a → (0)(1)1A =L A 该初等变换不改变行列式，故(0)(1)21122Δ=a a ，若2Δ≠0，则(1)
22a ≠0
，又可定义
(1)i2i2(1)22
a c =(i=3,4,,n)a ，并构造Frobenius 矩阵
⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
232n2
11L =c c 1 → ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
-1232n2
1
1L =-c -c 1 ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
(0)(0)(0)(0)1112
13
1n
(1)
(1)(1)22232n (2)-1(1)
(2)(2)2
333n (2)(2)n3
nn a a a a a a a A =L A =a a a a → (1)(2)
2A =L A 依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到
⎡⎤⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
(0)(0)(0)
(0)111r-11r 1n
(r-2)(r-2)
(r-2)(r-1)r-1r-1r-1r
r-1n
(r-1)
(r-1)rr rn (r-1)
(r-1)nr nn a a a a a a a A =a a a a （r ＝2,3, ,n-1） 则A 的r 阶顺序主子式 (0)(1)(r-2)(r-1)r 1122r-1r-1rr Δ=a a a a ，若r Δ≠0，则(r-1)
rr a ≠0
可定义(r-1)ir ir (r-1)rr
a c =a ，并构造Frobenius 矩阵
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ r r+11nr 11L =c 1c 1 → ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
-1
r r+11nr 11L =-c 1-c 1
⎡⎤⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
(0)(0)(0)
(0)111r 1r+11n
(r-1)(r-1)
(r-1)
(r)-1r-1rr rr+1
rn r (r)
(r)
r+1r+1r+1n (r)
(r)nr+1nn a a a a a a a A =L A =a a a a →(r-1)(r)
r A =L A （r ＝2,3, ,n-1） 直到第（n －1）步，得到
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ (0)(0)(0)11121n
(1)(1)(n-1)222n n-1nn a a a a a A =a 则完成了消元的过程 而消元法能进行下去的条件是r Δ≠0（r ＝1,2, ,n-1） 二、 LU 分解与LDU 分解
(0)(1)(2)(n-1)112123n-1A =A =L A =L L A =L =L L L L A 容易求出
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2112n-1n-11n-12n1n2nn-11c 1L =L L LL =c c 1c c c 1 为下三角矩阵
令(n-1)U =A 为上三角矩阵，则
A =LU （L: lower U: upper L: left R: right ）
以上将A 分解成一个单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，就称为LU 分解或LR 分解。
Ax =b A =LU
⎧←⎨
⎩Ly =b
Ux =y
两个三角方程回代即可 LU 分解不唯一，显然，令D 为对角元素不为零的n 阶对角阵，则
∧∧
-1
A =LU =LDD U =LU
可以采用如下的方法将分解完全确定，即要求 （1） L 为单位下三角矩阵 （2） U 为单位上三角矩阵
（3） 将A 分解为LDU ，其中L 、U 分别为单位下三角、单位上三角矩 阵，D 为对角阵D ＝diag [, 12n d ,d ,d ]，而k
k k-1
Δd =
Δ（k=1,2,…n ）,
Δ
0Δ=1。
n 阶非奇异矩阵A 有三角分解LU 或LDU 的充要条件是A 的顺序主子式r Δ≠0（r=1,2， ,n ）
n 个顺序主子式全不为零的条件实际上是比较严格的，特别是在数值计算中，(k-1)kk
a 很小时可能会带来大的计算误差。因此，有必要采取选主元的消元方法，这可以是列主元（在(k-1)kk a ，(k-1)k+1 k a ，…(k-1)nk a 中选取模最大者作为新的(k-1)kk a ）、行主元（在(k-1)kk a ，(k-1)k k+1 a ，…(k-1)kn
a 中选取模最大者作为新的(k-1)kk
a ）全主元（在所有(k-1)
ij a （≤≤k i,j n ）中选模最大者作为新的(k-1)kk a ）。之所以这样做，其理论基础在于对于任何可逆矩阵A ，存在置换矩阵P 使得PA 的所有顺序主子式全不为零。
列主元素法：在矩阵的某列中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以下的各元素。比如第一步：找第一个未
