线性变换填空题

第七章——线性变换 测试题一、填空题：1．设线性变换A 在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，线性变换B 在基12,εε下的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101，那么A+B 在基21,εε下的矩阵为 . 2．设矩阵A 的特征为1，2，3，那么A -1的特征值为 。

3．设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x 10100001与矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10000001y 相似，那么y x ,的值分别是 。

4．设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112，A （X ）=AX 是P 3上的线性变换，那么A 的零度= 。

5．在P[x]3中,定义D （)())(x f x f '=，那么D 的特征值为 。

二、判断题1．设α是V 中固定非零向量，V ∈∀ξ，A αξξ+=)(，那么A 是V 上的线性变换。

（ ）2．设V=P 22⨯，L (V)是V 上的全体线性变换组成的空间，那么L （V ）的维数=4。

（ ）3．两个矩阵A ，B 有相同的特征值，则A ～B 。

（ ）4．设线性变换A 在给定基下的矩阵为A ，那么A 的值域的维数等于A 的秩。

（ ）5.线性变换A 的核与值域的交是A 的不变子空间。

（ ）三、2][x P 表示次数小于等于2的多项式连同零组成的线性空间，定义A )()())((x f x f x x f -'=1.证明A 是2][x p 上的线性变换。

2．求A 在基1，1,12--x x 下的矩阵。

3．说明A 是否可以对角化？若可以对角化，找出一组基，使A 在该基下的矩阵为对角形。

四、在P 2x2上定义线性变换 A X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111（1）求A 在基22211211,,,E E E E 下的矩阵；（2）求A 的核和它的零度。

（3）求A 的值域和A 的秩。

五、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A（1）求A 的全部特征值。

（2）求A 的属于每个特征值的特征向量。

第七章线性变换练习题参考答案一、填空题1.设鸟送，3是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换仃在这组基下的矩 阵是A=(a j 最3，口=x 11x %+2x 8炉V 则仃在基833V l下的矩阵B= 「001、T ，AT,而可逆矩阵T=010满足B=T,AT,ua 在基£132d 3下的坐标为♦0- &'Ax 2.2 .设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间P n 的线性变换仃：仃(与=人3"P n ,则仃,(0)={"A Z=0』w P n },dim (a -1(0))=n —r,dim 二(P n )=r.n 3.复矩阵A=(a j ).的全体特征值的和等于Z a ii ，而全体特征值的积等于i =1 IAJ.4 .设仃是n 维线性空间V 的线性变换，且仃在任一基下的矩阵都相同，则仃为__数乘一变换.5 .数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间L(V)为工2维线性空间，它与P n>n 同构.6 .设n 阶矩阵A 的全体特征值为入口2,…，4,f(x)为任一多项式，则f(A) 的全体特征值为f(1),f(2),,f(n ).7 .设A 」13i,则向量*'是A 的属于特征值4的特征向量.摩2)⑺0 -1相似，则k =』2 1」9 .设三阶方阵A 的特征多项式为f(?Q=73-2K 2-2九+3,则|A|=)10 .n 阶方阵A 满足A 2=A,则A 的特征值为0和1.f 18.右A =—1<0 01)<011 .线性空间R3上的线性变换为A(X I,X2,X3)=(K十2X3,3X2+3X3,X2—2x i),「102、变换A在基a=(1,0,0)"2=(0,1,0),S=(0,0,1)下的矩阵为033.「21。

」二、判断题1 .设。

是线性空间V的一个线性变换，口1,0(2，…R s W V线性无关，则向量组仃包工虫%)，…，仃Q s)也线性无关.(错)2 .设仃为n维线性空间V的一个线性变换，则由仃的秩+仃的零度=n,有V=D(V)㊉仃」(0).(错)未必有V=G(V)@<T-1(0).3 .在线性空间R2中定义变换。

变换试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是线性变换的特征？A. 可加性B. 齐次性C. 可逆性D. 保序性答案：C2. 线性变换的矩阵表示中，每一列代表什么？A. 变换后的基向量B. 变换前的基向量C. 变换的系数D. 变换的逆答案：A3. 一个线性变换是否总是可逆的？A. 是B. 否C. 只有在有限维空间中D. 只有在无限维空间中答案：B二、填空题4. 线性变换的______性保证了变换后的向量仍然保持原有的线性组合关系。

答案：可加性5. 一个变换如果是______的，那么它在矩阵表示中的每一列都应该是线性无关的。

答案：可逆6. 在二维空间中，一个线性变换的矩阵表示通常是一个______阶矩阵。

答案：2三、简答题7. 简述线性变换的保形性。

答案：线性变换的保形性指的是它保持了向量空间中向量之间的夹角和长度比不变。

这意味着，如果两个向量在变换前是正交的，那么它们在变换后也是正交的。

8. 为什么说线性变换是“线性”的？答案：线性变换被称为“线性”的，是因为它满足两个基本的线性性质：可加性和齐次性。

可加性意味着变换可以分开作用于向量的各个分量，然后合并结果；齐次性则意味着变换对于向量的标量倍数是封闭的。

四、计算题9. 给定线性变换 \( T \) 的矩阵表示为 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)，计算 \( T \) 作用于向量\( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} \) 的结果。

答案：\( T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+2 \\ 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 \\ 3 \end{bmatrix} \)。

第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)⎩⎨⎧==011y x x ； (2) ⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求3AB -2A 和A TB .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换 32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E . 当f (x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时，求f (A ).7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O .(2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .7. 设方阵A 满足A 2-3A -2E =O ，证明A 及A -2E 都可逆，并用A 分别表示出它们的逆矩阵．8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2001Λ，求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200030004A ，矩阵B 满足AB =A+2B ，求B .12. 设102212533A--⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭, 利用初等行变换求A-1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵，且ABC =E ,则必有（ ）. (A) ACB =E ； (B) CBA =E ； (C) BAC =E ； (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； (C) P 1P 2A =B ； (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵，将A 的第１列与第４列交换得B ，再把B 的第2列与第3列交换得C ，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ，则C -1=（ ）. (A) A -1P 1P 2； (B) P 1A -1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（ ）. (A) A -E 不可逆 ； (B) A -2E 不可逆 ； (C) A -3E 可逆； (D) A -E 和A -2E 都可逆. 5. 设A =(1,2,3)，B =(1,1/2,1/3)，令C =A TB ，求C n.6. 证明：如果A k =O ，则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1，k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ，求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X （021≠n a a a ），求X -1.第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时，0010413≠xx x .3.求下列排列的逆序数：(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).4. 证明： 3232a cb a b a ac b a b a a c b a=++++++.5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------ (2) yxy x x yx y y x yx +++(3) 0111101111011110(4) 1222123312111x x x x x x（5）nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a ．7．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： |A*|=|A|n-1，(n ≥2)．8. 设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2，|B|=1，计算 |-2A*B-1|．9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ，利用公式求A -1.复习题二1．设A , B 都是n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A *、B *，证明：(AB )*= B *A *．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ，求A -1．3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是31矩阵，设A =( A 1, A 2, B 1,)，B =( A 1, A 2, B 2)，|A |=2，|B |=3，求|A+2B |．4．设A , B 都是n 阶方阵，试证：AB E E A B E-=．第3章向量空间习题1. 设α1=(1,-1,1)T, α2=(0,1,2)T, α3=(2,1,3)T，计算3α1-2α2+α3．2. 设α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,-1,1)T,且3(α1- x)+2(α2+x)=5(α3+x) ,求向量x.3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T, α2=(2,-6,-2)T, α3=(5,4,1)T；(2) β1=(2,3,0)T, β2=(-1,4,0)T, β3=(0,0,2)T .4. 设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α1, α2, α3线性无关，证明向量组β1, β2, β3线性无关．5. 设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.6. 求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.7. 设α1, α2,…, αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示，证明：α1, α2,…,αn线性无关．8. 设有向量组α1, α2, α3,α4, α5，其中α1, α2, α3线性无关，α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数)，求向量组α1, α3,α4, α5的秩．9. 设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1)，求秩R(A T B).10. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ，求A 的秩，并写出A 的一个最高阶非零子式.11. 已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ，若A 的秩R (A )=2，求参数t 的值.12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ，求A 的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明：如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n ．14. 已知向量空间3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β，求由基α1, α2, α3到基β1, β2, β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ，已知A 的秩为3，求k 的值.2．设向量组A : α1, …,αs 与B : β1,…,βr ，若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )＝(α1, …,αs )K ，其中K 为r s ⨯矩阵, 试证：B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )＝r .3．设有三个n维向量组A：α1, α2, α3；B：α1, α2, α3,α4；C：α1, α2, α3,α5．若A组和C组都线性无关，而B组线性相关，证明向量组α1, α2, α3,α4-α5线性无关．4．设向量组A: α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T和B:β1=(-1,1,0)T,β2=(1,1,1)T,β3=(0,1,-1)TR的基；(1) 证明：A组和B组都是三维向量空间3(2) 求由A组基到B组基的过渡矩阵；(3) 已知向量α在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求α在A组基下的坐标．第4章 线性方程组习 题1. 写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 43212321321x x x k x kx x x k x x ，讨论当k 为何值时， (1)有唯一解？(2)有无穷多解？(3)无解？5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-026 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T，求此方程组的的通解．7 .求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x8. 设有向量组A ：12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα，3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 问向量β能否由向量组A 线性表示？9. 设η*是非齐次线性方程组AX=b的一个解，ξ1, ξ2,…, ξn-r是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）η*, ξ1, ξ2,…, ξn-r线性无关；（2）η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn-r线性无关．复习题四1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ，且方程组AX =θ的解空间的维数为2，则a = .2．设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零，则它的基础解系所含向量个数为 .3.设有向量组π：α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T , α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T ，问a ,b 为何值时,（1）向量β不能由向量组π线性表示；（2）向量β能由向量组π线性表示，且表示式唯一；（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．4．设四元齐次线性方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+004221x x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系；(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．5．设矩阵A =(α1, α2, α3, α4)，其中α2, α3,α4线性无关，α1=2α2-α3，向量β=α1+α2+α3+α4，求非齐次线性方程组Ax= β的通解．6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关，且向量组γβα,,线性相关．第5章矩阵的特征值和特征向量习题1.已知向量α1=(1,-1,1)T，试求两个向量α2, α3，使α1, α2, α3为R 3的一组正交基．2.设A, B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵．3. 设A是n阶正交矩阵，且|A|=-1，证明：-1是A的一个特征值．4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，计算行列式|A 3-5A 2+7E |．6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似，求y x ,；并求一个正交矩阵P ，使P -1AP =Λ．7.将下列对称矩阵相似对角化：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004．8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值，证明：(1) A是A *的特征值．(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时，求A *的特征值．9.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3，属于特征值λ1=6的特征向量为p1=(1,1,1)T，求矩阵A．复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 ．2.已知3阶矩阵A , A -E , E +2A 都不可逆，则行列式|A +E |= ．3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ，已知A 与B 相似，则a , b 满足 ．4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量，A α1=0, A α2=2α1+,α2，则A 的非零特征值为 .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，求x ．6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，证明A 的特征值只能是1或2．7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量． (1) 求参数a , b 及特征值λ； (2) 问A 能否相似对角化？说明理由．8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ，求φ(A )=A 10-5A 9．第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式：42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型．3. 已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为２，求a 的值．4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形．5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ，若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=，求a 的值．7. 判别下列二次型的正定性：（1）312123222122462x x x x x x x f ++---=（2）4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a 的取值范围．复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵，B =λE +A TA ，试证：λ>0时，矩阵B 为正定矩阵．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形．3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ，通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ，求b a ，的值．4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，2）（A E B +=k ，其中k 为实数，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似，并讨论k 为何值时，B 为正定矩阵．测试题一一、计算题：1.计算行列式111131112+=n D n . 2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ，计算T B A 3． 3．设A 、B 都是四阶正交矩阵，且0<B ，*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式 *2BAA -．4．设三阶矩阵A 与B 相似，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ，计算行列式 E B 22-． 5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ，且A 的秩为2，求常数b a ,的值． 二、解答题： 6．设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α，其中4321,,,t t t t 是各不相同的数，问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示？说明理由．7．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系．8．问k 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解．9．已知四阶方阵A ＝（4321,,,αααα），其中321,,ααα线性无关，3243ααα-=，求方程组4321αααα+++=Ax 的通解．10．三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1.三、证明题:11．设2112ααβ+=，32223ααβ+=，13334ααβ+=，且321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关．12．设A 为实对称矩阵，且满足O E A A =--22，证明E A 2+为正定矩阵．。