小专题十 运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题.doc
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小专题（十）运用分类讨论求解等腰三的形相关的多解问题
类型1针对腰长和底边长进行分类
方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰 长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类.若涉及边的长度，应运用三角形的三 边关系进行辨别取舍.
针对训练
1・（武汉中考）平面直角坐标系中，己知A（2，2）、B（4，0）.若在坐标轴上取点C，使AABC为等腰
三角形，则满足条件的点C的个数是（A）
A ・ 5 B. 6 C. 7 。・ 8
2 •如图，在7?/AABC中，ZACB=90° ，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得ZXPAB 为等腰三角形，则符合条件的点P共有（8）
B - 6个
C- 5个
D - 4个
3 -若实数x，y满足|x-5|+Vy-10=0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25.
类型2针对顶角和底角进行分类
方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数， 如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论.在分类时要注意：三角形的 内角和等于180° ;等腰三角形中至少有两个角相等.
针对训练
4 -等腰三角形有一个角为52° ，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？
解：①若己知的这个角为顶角，则底角的度数为（180° -52° R2=64°，故一腰上的高与底边 的夹角为26° ；
②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38° .
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38° .
5•如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数.
解:设NA，ZB，NC是该等腰三角形的三个内角，且ZA=|ZB.
设ZA = x° ，则 ZB=2x° .
%1 若NB是顶角，则NA，ZC是底角，于是有ZC=ZA = x° .
VZA+ZB+ZC=180° ，..・x + 2x + x=180.
解得 x=45，故ZA=ZC=45°，ZB=90° ；
%1 若NB是底角，VZA^ZB，
AZA 是顶角，ZC=ZB=2x° .
VZA+ZB+ZC=180° ，..・x + 2x + 2x=180.
解得 x = 36，故ZA=36°，ZB=ZC=72° .
综上所述，等腰三角形的各内角分别为45。、45°、90°或36°、72°、72。.
类型3针对锐角、直角和钝角三角形进行分类
方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形.不同的三角形 其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部; 直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部， 因此在解答时需要分类讨论. 针对训练
6 •已知AABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成50°的角，求底角的度数.
解：由题意可判断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种 情况讨论：
%1 如图1垂直平分线DE与腰AC相交，且NAED=50°，则ZA=40° ，所以ZB=ZC=70° :
%1 如图2，垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交，且NAED=50°，则ZEAD=40°，N
BAC=140°，所以ZB=ZC=20° .
综上可知，等腰三角形的底角为70°或20° .
图I 图2
7 - 一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少?
解：设NA为顶佑，则NABC、NACB为底角.
(1) 若ZA为锐角，如图1，作BD1AC于点D， 根据题意有 BD=；AB，ZBDA=90°， A ZA =
30° ，ZABC=ZACB=75° ；
(2) 若NA为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解;
(3) 若/A为钝角，有三种情况：
①如图2，作AD1BC于点D，
根据题意有 AD=；AB，ZADB=90° ，
AZABC=ZACB = 30° ；
②如图3，作BD±CA的延长线于点D，
根据题意有 BD=§BC，ZADB=90°， 图IB D C 13 C B
图2 图3 图4 AZABC=ZACB = 30° ；
③如图4，作BD±CA的延长线于点D， 根据题意有 BD=?AB，ZADB=90°， AZBAD=30°，ZABC=ZACB = 15° .
综上所述，等腰三角形底角的度数是75°、30°或15° .
8 • AC为等腰AABD的腰BD±的高，且NCAB=60° .求这个三角形各内角的度数.
解：①如图1，高AC在ZSABD的内部，
因为NCAB=60°，ZACB = 90°，
所以ZB = 30° .
因为 BA = BD，所以ZBAD=ZD=75° ；
%1 如图2，高AC在AABD的外部，
因为NCAB=60°，ZACB=90°，
所以ZABC = 30° .
所以ZABD=150° .
因为 BA = BD，所以ZBAD=ZD=15° ；
%1 如图3，高AC在ZXABD的外部，
因为/CAB=60°，ZACB=90°，
所以ZB = 30° .
因为 DA=DB，所以ZBAD=ZB = 30° .
所以ZADB=120° .
B
D 图I 图2 图3
综上所述，这个三角形各内角的度数分别为30°，75。，75°或150。，15。，15。或120°
30° ，30° .
