等腰三角形多解问题

专题10 多个等腰三角形求角度1．如图，在第一个△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ，得到第二个△A 1A 2C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A 4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）A ．5°B ．10°C ．175°D ．170°【答案】A【解析】【分析】 根据第一个△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，可得∠BA 1A =80°，依次得∠CA 2A 1=40°…即可得到规律，从而求得以点A 4为顶点的等腰三角形的底角的度数．【详解】解：1ABA △中，20B ∠=︒，1AB A B =，1180802B BA A ︒-∠∴∠==︒， 121A A AC =，1BA A ∠是△12A A C 的外角， 121402BA A CA A ∠∴∠==︒ 同理可得：3220DA A ∠=︒，4310EA A ∠=︒，1802n n A -︒∴∠=， ∴以点4A 为顶点的等腰三角形的底角的度数为：548052A ︒∠==︒． 故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据等腰三角形的性质求出底角的度数然后发现规律．2．如图，8∠=︒BOC ，点A 在OB 上，且1OA =．按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点1A ，得第1条线段1AA ；再以1A 为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点2A ，得第2条线段12A A ；再以2A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点3A ，得第3条线段23A A ；……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n 的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质依次可得∠A 1AA 2的度数，∠A 3A 1A 2的度数，∠A 3A 2A 4的度数，∠A 4A 3C 的度数，…依次得到规律，再根据三角形外角小于90°，即弧线与角的另一边无交点，即可求解.【详解】由题意可知：AO =A 1A ,A 1A =A 2A 1，…则∠AOA 1=∠OA 1A ,∠A 1AA 2=∠A 1A 2A ，…∵∠BOC =8°，∴∠A 1AA 2=16°，∠A 3A 1A 2=24°，∠A 3A 2A 4=32°，∠A 4A 3C =40°，…∴8°n ＜90°，解得n ＜1114， ∵n 为整数，故n =11.故选C.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意找到规律进行求解.3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DE ，∠BAD ＝19°，∠EDC ＝11°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．59°B ．57°C ．61°D ．60° 【答案】C【解析】【分析】设DAE x ∠=，则由等腰三角形的性质可得，180192x C ︒-︒-∠=，AED x ∠=，利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，由此解方程求出x ，即DAE ∠的度数．【详解】解：设DAE x ∠=，AB AC =，∴1801801922BAC x C ︒-∠︒-︒-∠==， AD DE =，∴AED DAE x ∠=∠=，AED C EDC ∠=∠+∠，∴18019112x x ︒-︒-=+︒， 解得61x =︒，∴61DAE ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．4．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1＝1，则△A 8B 8A 9的边长（ ）A ．16B ．64C ．128D ．256【答案】C【解析】【分析】据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【详解】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，…∴△AnBnAn+1的边长为2n-1，∴△A8B8A9的边长为28-1=27=128．故选C．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O点相连并可绕O 转动，点C 固定，点D ，E 可在槽中滑动，OC CD DE ==．若81BDE ∠=︒，则AOB ∠的度数是（ ）A ．24°B ．27°C ．30°D ．33°【答案】B【解析】【分析】 设∠O =x ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BDE =∠O +∠OED =3x =81°，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：设∠O =x ，∵OC =CD ，∴∠O =∠CDO =x ，∴∠DCE =2x ，∵DC =DE ，∴∠DCE =∠DEC =2x ，∴∠BDE =∠O +∠OED =3x =81°，∴x =27°，∴∠AOB =27°．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．6．某兴趣小组开展了一次探究活动，过程如下：设()090BAC θθ∠=︒<<︒，现把长度相等．．．．的小棒依次摆放在射线AB 、AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上，从点A 1开始，依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1．若只能摆放5根小棒，则θ的范围是（ ）．A ．15°＜θ＜18°B ．15°＜θ≤18°C ．15°≤θ＜18°D ．15°≤θ≤18°【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，用θ表示出其它角度，再题目条件，列出不等式，即可求出最后的范围．【详解】解：∵A 1A 2=AA 1，∴12AA A 为等腰三角形，再根据三角形外交的性质，得212A A C A ∠=∠，又∵小棒长度都相等，∴123A A A △为等腰三角形，∴231212A A A A AC A ∠=∠=∠， ∴232313BA A A A A A A ∠=∠+∠=∠，同理可得到434534A A C A A A A ∠=∠=∠，64546555A A A A A A A θ∠=∠=∠=，654656A A C A A A A θ∠=∠+∠=，又∵只能摆放五根小棒，∴690590θθ≥︒⎧⎨<︒⎩， 解得1518θ︒≤<︒，故选：C ．【点睛】本题只要考察了一元一次不等式，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是找到等量关系，列出相应的不等式，求出最后答案．7．如图，点B ，C 在射线AN 上，点D ，E 在射线AM 上，且AB BE CE CD AD ====，则A ∠的度数是（ ）A ．28︒B ．30C ．34︒D ．36︒【答案】D【解析】【分析】设A x ∠=，根据等边对等角可得ACD AEB x ∠=∠=，由外角的性质2CBE CDE x ∠=∠=，根据三角形内角和定理5180A BCE CED x ∠+∠+∠==︒即可．【详解】解：设A x ∠=， AB BE CE CD AD ====∴ACD AEB x ∠=∠=，由三角形的外角的性质得；2CBE CDE x ∠=∠=，根据等边对等角得，2BCE CED x ∠=∠=，根据三角形内角和定理，5180A BCE CED x ∴∠+∠+∠==︒，36x ∴=︒，36A ∴∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、三角形内角和，解题的关键是找到角与角之间的关系，通过三角形内角和定理建立等式求解．8．如图，在第1个1ABA △中，30B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…按此作法进行下去，第n 个三角形的以n A 为顶点的内角的度数为（ ）A ．1302n +︒B ．1752nC ．1752n +︒D ．1302n -︒ 【答案】B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个三角形的以An 为顶点的内角的度数．【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1A ＝180°−∠B 2＝75°，∵A 1A 2＝A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1＝∠BA 1A 2＝75°÷2＝37.5°；同理可得∠DA 3A 2＝18.75°，∠EA 4A 3＝9.375°，∴第n 个三角形的以An 为顶点的内角的度数为1752n ， 故选：B ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．9．如图，ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝AC ，D 、E 分别是AC 、AB 上两点，且BD ＝BE ＝BC ，连接DE ，则∠BDE ＝_________【答案】67.5°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C =∠ABC =75°，再由BD =BC ，得到75BDC C ∠=∠=︒，则45EBD ABC DBC ∠=∠-∠=︒，由BD =BE ，则18067.52EBD BDE BED ︒-∠∠=∠==︒． 【详解】解：∵∠A =30°，AB =AC ， ∴180===752A C ABC ︒-︒∠∠∠， ∵BD =BC ，∴75BDC C ∠=∠=︒，∴18030DBC C BDC ∠=︒-∠-∠=︒，∴45EBD ABC DBC ∠=∠-∠=︒，∵BD =BE ， ∴18067.52EBD BDE BED ︒-∠∠=∠==︒， 故答案为：67.5°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知三角形内角和定理和等腰三角形的性质是解题的关键．10．某数学兴趣小组开展了一次数学活动，其过程如下：如图，设∠BAC =α（0°＜α＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线AB 、AC 之间，并使小棒两端分别落在两条射线上，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1，若只能摆放5根相同的小棒，则α的取值范围是__________．【答案】15°≤α＜18°【解析】【分析】本题需先根据已知条件，列出不等式，解出α的取值范围，即可得出正确答案．【详解】解：∵A 1A 2=AA 1，∴∠A =∠A 1A 2A =α，∵A 1A 2=A 2A 3，∴∠A 2A 1A 3=∠A 2A 3A 1=2α，∵A 3A 2=A 3A 4，∴∠A 3A 4A 2=∠A 3A 2A 4=α+2α=3α，∵A 4A 3=A 4A 5，∴∠A 4A 3A 5=∠A 4A 5A 3=α+3α=4α，∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，∴6α≥90°，5α＜90°，∴15°≤α＜18°．故答案为：15°≤α＜18°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．11．如图，D ，E 为ABC 的边BC 上两点，80AEC ∠=︒，BD AD =，DE AE CE ==，则BAC ∠的度数为______．【答案】110°##110度 【解析】【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠CAD ＝90°，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求解∠BAD 的度数，进而可求解．【详解】解：∵DE ＝AE ＝CE ，∴∠ADE ＝∠DAE ，∠C ＝∠CAE ，∵∠ADE ＋∠DAE ＋∠C ＋∠CAE ＝180°，∴∠DAE ＋∠CAE ＝∠CAD ＝90，∵∠AEC ＝80°，∴∠ADE ＋∠DAE ＝∠AEC ＝80°，∴∠ADE ＝∠EAD ＝40°，∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝2∠BAD ，∴∠BAD ＝20°，∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠CAD ＝20°＋90°＝110°．故答案为：110°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠CAD 的度数是解题的关键．12．如图，在ABC 中，已知AB AC BD ==，215∠=︒，那么1∠的度数为________．【答案】65︒【解析】【分析】根据AB AC BD ==，可得C B ∠=∠,13∠=∠，根据三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质列出方程组解方程组即可求解．【详解】解：如图，∵AB AC BD ==∴C B ∠=∠,13∠=∠，23180B C ∠+∠+∠+∠=︒1318022C ∴∠=∠=︒-∠-∠又12C ∠=∠+∠218022C C ∴∠+∠=︒-∠-∠318022C ∴∠=︒-∠18030503C ︒-︒∴∠==︒ 12155065C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：65︒【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，等边对等角求角度，二元一次方程组的应用，掌握以上知识是解题的关键．13．小丽从一张等腰三角形纸片ABC （AB ＝AC ）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC ＝BD ，EC ＝EF ＝FG ＝DG ＝DA ，则∠B ＝_________°．【答案】67.5【解析】【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角求解即可．【详解】解：设∠ECF ＝x ，∵EC ＝EF ，∴∠EFC ＝∠ECF ＝x ，∴∠GEF ＝2x ，∵EF ＝GF ，∴∠FGE ＝∠GEF ＝2x ，∴∠DFG ＝∠FGE +∠ECF ＝3x ，∵DG＝GF，∴∠GDF＝∠DFG＝3x，∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，∵DG＝DA，∴∠A＝4x，∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝5x，∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝6x，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴4x+6x+6x＝180°，解得：x＝454︒，∴∠B＝4564︒⨯＝67.5°．故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质：等边对等角是解答本题的关键．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AC上一点，AD＝BD，BC＝DC，则∠A的大小是_________．【答案】180 7︒【解析】【分析】由AD＝BD，BC＝DC可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A＝∠ABD＝x，则∠CDB ＝∠CBD＝2x，又由AB＝AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC 中，用内角和定理列方程求解．【详解】解：∵AD ＝BD ，BC ＝DC ，∴△ABD ，△BCD 为等腰三角形，设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠CDB ＝∠CBD ＝2x ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝3x ，在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，即x ＋3x ＋3x ＝180°，解得x ＝1807︒， 即∠A ＝1807︒． 故答案为：1807︒． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．15．如图，在钢架AB 、AC 中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条12PP 、23P P 、34P P …来加固钢架，且112AP PP =，则BAC ∠的最大值为______°．（结果保留整数）【答案】12【解析】【分析】设∠BAC =x ，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP 6P 7，∠AP 7P 6，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【详解】解：设∠BAC =x ，∵AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 6P 7，∴∠A =∠AP 2P 1=x ，∴∠P 2P 1P 3=2x ，∴∠P 3P 2P 4=3x ，…，∠P 7P 8P 6=7x ，∴7x ＜90°且8x ＞90°，则11.25°＜∠BAC ＜（907）°， 故∠BAC 的最大值约为12°．故答案为：12．【点睛】考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．16．如图，在ABC 中，,,AB AC BD BC AD DE EB ====，则A ∠=________．【答案】45︒【解析】【分析】设∠A =x °根据等腰三角形的性质及等边对等角性质进行分析得出∠ABC =∠C =∠BDC902x DBC A x ︒︒︒=-∠=∠=，，2x EBD ︒∠=，再利用三角形的内角和定理即可求得∠A 的度数．【详解】解：设∠A =x °∵AB =AC ，BD =BC∴∠ABC =∠C =∠BDC 902x DBC A x ︒︒︒=-∠=∠=， ∵AD =DE =BE∴∠A =∠AED =2∠EBD =2∠EDB ∴2x EBD ︒∠= ∵∠ABC =∠C ∴9022x x x ︒︒︒︒-=+ ∴x =45即∠A 等于45°．故答案为：45︒【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边对等角，以及三角形的内角和定理的运用．17．如图，在ABC 中，AB AC CD ==，点D 在BC 上，且AD BD =，求BAC ∠的度数．【答案】∠BAC ＝108°．【解析】【分析】利用AB ＝AC ，可得∠B 和∠C 的关系，利用AD ＝BD ，可求得∠CAD ＝∠CDA 及其与∠B 的关系，在△ABC 中利用内角和定理可求得∠B ，进一步求得∠ABC ，得到结果．【详解】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠DAB ，∵AC ＝DC ，∴∠DAC ＝∠ADC ＝2∠B ，∴∠BAC ＝∠BAD +∠DAC ＝∠B +2∠B ＝3∠B ，又∠B +∠C +∠BAC ＝180°，∴5∠B ＝180°，∴∠B ＝36°，∠C ＝36°，∠BAC ＝108°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．18．已知：如图，A 1，A 2，A 3是∠MON 的ON 边上顺次三个不同的点，B 1，B 2，B 3是∠MON 的OM 边上顺次三个不同的点，且有OA 1＝A 1B 1＝B 1A 2＝A 2B 2＝B 2A 3(1)当∠MB 1A 2＝45°时，∠MON ＝_______；(2)若OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，则∠MON 的最小值是_______．【答案】(1)15°(2)18°【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可； （2）由OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，则OM 边上不存在B 3点，使得323332A B B A B B =∠∠，则32390180A B B ︒≤∠<︒，再由323325A B B MON OA B MON ∠=∠+∠=∠求解即可．(1)解：∵OA 1＝A 1B 1＝B 1A 2＝A 2B 2＝B 2A 3∴1111AOB A B O =∠∠，112121B A A B A A =∠∠，∵1121111112B A A AOB A B O AOB ∠=∠+∠=∠，1212MB A MON B A O =+∠∠∠， ∴1212=3=45MB A MON B A O MON =+︒∠∠∠∠，∴∠MON =15°；故答案为：15°；(2)解：∵OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，∴OM 边上不存在B 3点，使得323332A B B A B B =∠∠，∴32390180A B B ︒≤∠<︒ ，同理可求出223224B A A MON OB A MON =+=∠∠∠∠ ，∴323325A B B MON OA B MON ∠=∠+∠=∠，∴905180MON ︒≤<︒∠，∴1836MON ︒≤<︒∠，故答案为：18°．。

例析等腰三角形中的多解问题
多解问题是指一个方程有多个解的情况，比如例析等腰三角形中的多解问题。

等腰三角形有三条线：两条相等的腰，一条组成顶点的斜边。

例析等腰三角形边长乘积等于周长的4倍，则数学表达式为: a*a*√3=4*P，其中a是等腰三角形的边长，P是周长。

因此方程有多解的情况：
1. 当腰和周长相等时，腰a=2*√3, P=4*√3，此时该等腰三角形是一个正三角形。

2. 当腰a比P大时，腰a=P/√3，腰长过长此时等腰三角形内部会有空隙。

3. 当腰a比P小时，腰a=P/(√3+1/4)，此时等腰三角形内部会有溢出。

以上就是等腰三角形中的多解。

思维导图核心考点聚焦1.求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错2.当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错3.求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错4.三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错1.等腰三角形的性质（1（2角的三线合一图形：1.求等腰三角形的周长，要先考虑三角形的三边是否能构成三角形考点剖析【答案】2516或52或4，则216BP BC cm ==，，，图2③如图3，当图3故答案为：9或【解析】如图，∵AB AC BD =，是AC 边上的中线，即AD CD =，∴()()15123||||cm AB AD BC CD AB BC +-+=-=-=，2121527cm AB BC AC AB BC ++=+=+=，若AB BC >，则3cm AB BC -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组:3227AB BC AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：10cm 7cm AB BC ==，，10cm 10cm 7cm 、、三边能够组成三角形；若AB BC <，则3cm BC AB -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组3227BC AB AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：8cm 11cm AB BC ==，，8cm 8cm 11cm 、、三边能够组成三角形；∴三角形的各边长为10cm 10cm 7cm 、、或8cm 8cm 11cm 、、．【变式训练】1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，那么这个三角形的顶角为（）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．135︒或45︒【答案】D【解析】如图1，三角形是锐角三角形时，∵45ACD ∠=︒，∵45ACD ∠=︒，∴顶角4590135BAC ∠=︒+︒=综上所述，顶角等于45︒或135如图，当CD 在ABC CD AB⊥ 90BAC ACD ∴∠=︒+∠AB AC= 30B C ∴∠=∠=︒故答案为60︒或30︒过关检测【答案】80︒，65︒或【解析】当C ∠是顶角时，∴180C A ∠=︒-∠-∠当C ∠是底角，A ∠是顶角时，∴180652A C ︒-∠∠==当C ∠、A ∠都是底角时，∴50C A ∠=∠=︒；综上，C ∠的度数可能是故答案为：80︒，65︒或7．在平面直角坐标系中，坐标是【答案】()3,0-或(2,0-【解析】根据题意，作图如下，∵()3,0A ，()0,4B ，∴3,4OA OB ==，在Rt AOB △中，22AB OA OB =+以AB 为腰作等腰三角形ABC ，①1BC BA =，则1ABC 是以AB 为腰作等腰三角形，∴()13,0C -；②2AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴AC 2=5，且3OA =，∴2532OC =-=，则()22,0C -；③3AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴35AC =，∴33358OC OA AC =+=+=，则C 综上所述，点C 坐标是()3,0-或(-故答案为：()3,0-或()2,0-或(8,0)8．在ABC △中，110ABC ∠=︒，点腰三角形，则CDB ∠的度数是【答案】40︒或90︒或140︒【解析】如图1中，当CDB ∠如图3中，当90DBC ∠=︒，DA 40CDB A DBA ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：40︒或90︒或140︒．三、解答题9．如图，ABC △中，90C ∠=运动，且速度为每秒2cm ，设运动的时间为(1)当1t =时，求PBC △的面积．(2)当t 为何值时，CP 把ABC △(3)当t 为何值时，BCP △为等腰三角形？【解析】（1）解：当1t =时，PBC ∴△的面积为1BC CP ⨯=故答案为：26cm ．（2）解：ABC 中，∴2AB AC BC =+∵1122AC BC ⨯=∴ 4.8CE =∴226 4.8PE =-∴27.2BP PE ==∴AP AB PB =-=∴82AC AP t +==②如果BC BP =③如果PB PC =∵PB PC =，∴12∠=∠，又∵12A ∠+∠=∠∴3A ∠=∠∴PC PA =，∴PA PB =,即P 在AB 的中点，此时()8513cm CA AP +=+=，132 6.5(t =÷=秒)；综上可知，当3t =秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，BCP 为等腰三角形．10．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），BE 是ABD △的“双等腰线”，AD 、BE 是ABC △的“三等腰线”．(1)请在图（2）中，作出ABC △的“双等腰线”，并标注相等角的度数①70B ∠=︒，35A ∠=︒②81B ∠=︒，27A ∠=︒．(2)直角三角形的______就是它的“双等腰线”(3)已知ABC △中，33C ∠=︒，AD 和DE 分别是ABC △的“三等腰线”，点D 在BC 边上，点E 在AB 边上，且AD DC =，BE DE =，请根据题意写出B ∠度数的所有可能的值______．【详解】（1）解：如图，取CD BC =，则70CDB B ∠=∠=︒，35A ∠=︒ ，703535ACD ∴∠=︒-︒=︒，ACD A ∴∠=∠，AD CD BC ∴==，ADC ∴ 和BCD △是等腰三角形；如图，作AB 的垂直平分线DE ，交AC 于D ，交AB 于E ，连接BD ，AD BD ∴=，27A ABD ∴∠=∠=︒，54CDB ∴∠=︒，81ABC ∠=︒ ，812754CBD BDC ∴∠=︒-︒=︒=∠，CD BC ∴=，ADB ∴ 和BCD △是等腰三角形；（2）直角三角形斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形，故答案为：斜边中线；（3）如图，设B x ∠=，∵33C ∠=︒，AD DC =，∴33C DAC ∠=∠=︒，180114EAD B C DAC x ∠=︒-∠-∠-∠=︒-，∴66ADB ∠=︒∵BE DE =，∴B BDE x ∠=∠=，∴2AED x ∠=，66ADE ADB BDE x ∠=∠-∠=︒-，∵AD 和DE 分别是ABC 的“三等腰线”，∴ADE V 是等腰三角形，当AD DE =时，EAD AED ∠=∠，则1142x x ︒-=，解得38B x ︒==∠；当AD AE =时，ADE AED ∠=∠，则662x x ︒-=，解得22B x ︒==∠；当AE DE =时，EAD ADE ∠=∠，则11466x x ︒-=︒-，无解；综上所述，B ∠度数的所有可能的值为38︒、22︒、66︒、57︒、48︒．故答案为：38︒、22︒．。

一次函数与等腰三角形的多解问题
【例1】在平面直角坐标系中，点A的坐标是()
，，若点P在x轴上，且APO
22
△是等腰三角形，求点P的坐标。

【例2】直线1
=-与坐标轴交于A B
y x
△为等腰三角形，
、两点，点C在坐标轴上，若ABC
求点C的坐标。

练习：已知一次函数1
、两点，点P在坐标轴上，若
y+与x轴、y轴分别交于A B
△是等腰三角形，则满足条件的点P共有几个，求出点P的坐标。

ABP
【例3】 点A B C 、、的坐标分别是
)0、()01，、()41，，点P 在线段BC 上运动，当OAP △为等腰三角形时，求点P 的坐标。

练习：一次函数y=3
3x+2的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C （23，0），在直线AB 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求P 点的坐标；若不存在，说明理由。

拓展：如图，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线()0x t t =>，使它与直线y x
=和直线122
y x =-+分别交于点D E 、（点E 在点D 上方），且PDE △是等腰直角三角形。

若存在，求t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

专题三：等腰三角形多解问题1、已知一个等腰三角形两内角的度数比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为。

2、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是。

3、已知等腰三角形的一个内角为75°，则它的顶角是。

4、若等腰三角形的一个内角是72°。

,则它的底角度数是。

5、若等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°。

,则三内角度数分别为。

6、等腰三角形两边长分别为5和7,则此等腰三角形的周长为。

7、等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么它的底边为。

8、等腰三角形周长为20cm,—腰上的中线将其周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm,则腰长为。

9、若等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角度数为。

10、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°。

,则这个等腰三角形的顶角度数为。

11、等腰三角形的腰长为2,面积为1,则顶角度数为。

12、在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角为50°，则底角为。

13、在等腰三角形ABC中，AB=BC，∠BAC=20°，点D在直线BC上，且CD=AC，则∠ADC的度数为。

14、在等腰∆ABC中，AB=BC，点B与点B’关于AC所在直线对称，且∠BAB’=100°，则∠ABC=。

15、已知AD和BE是∆ABC的高，H是直线AD与直线BE的交点，BH=AC，则∠ABC=。

16、过等腰三角形ABC顶角的顶点A的一条直线，把等腰三角形ABC分成两个等腰三角形,则∠ABC=。

17、在∆ABC中，∠B=30°，∠C=50°，点D是BC边上一点，点F是射线BA上一点,DF与射线CA相交于点E,点G是EF的中点，若∠DEC=∠C,则∠CAG= 。

18、在∆ABC中, ∠ACB=90° ,AC=BC,以AC为一边，在同一平面内作等边∆ACD,连接BD,则∠ADB=。

解等腰三角形的性质的练习题1. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以点D为底边BC的中点，连接AD。

证明：△ABD≌△ACD。

解析：首先，根据等腰三角形的定义，AB=AC。

其次，由于D为BC的中点，所以BD=DC。

再根据SSS（边边边）对应的性质，我们可以得出△ABD≌△ACD。

也就是说，两个三角形的三边分别对应相等，从而可以得出两个三角形全等。

2. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的高为AH。

证明：∠HAB=∠HAC。

解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出∠A=∠B=∠C。

又因为AD为高，所以∠HAD=90°，而角HAB是等腰三角形ABC的顶角，所以角HAB也等于∠C。

综上所述，可以得出∠HAB=∠HAC。

3. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的中线DE。

证明：DE=BC/2。

解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出DE=BC/2。

这是因为DE是底边BC的中线，所以根据中线分割定理，DE等于底边BC的一半，即DE=BC/2。

4. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。

证明：△ADE≌△ABC。

解析：首先，我们需要说明如何将△ABC旋转180°得到△ADE。

根据题意，我们以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°。

旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。

根据旋转的定义，可以得出△ADE≌△ABC。

5. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。

证明：BD=DC，BE=EC。

解析：如前一题所述，旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。

由等腰三角形的定义可知，BD=DC，BE=EC。

易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题——易错概括，各个击破◆种类一求长度时忽视三边关系1．若一个等腰三角形的两边长分别是2 和5，则它的周长为( )A．12 B．9C．12 或9 D．9 或72．学习了三角形的相关问题后，王老师请同学们沟通这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，此中一条边长为3，求此外两条边的长．”同学们经过片晌思虑和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6 或4.5 ，4.5 ”．你以为小明回答能否正确：________，原因是______________________ ．3．某等腰三角形的一边长是5cm，周长是20cm，求此等腰三角形其余两边的长．4．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分红9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．◆种类二当腰和底不明求角度时没有分类议论5．已知某等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为( )A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°6．某等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角的度数为__________．7．已知某等腰三角形的两个内角的度数之比为2∶1，求这个等腰三角形顶角的度数．8．★若一个大的等腰三角形能被切割为两个小等腰三角形，试求该大等腰三角形顶角的度数( 要求画出相应图形，并写出求解过程)．◆种类三三角形的形状不明时与高联合没有分类议论9．某等腰三角形的一内角为80°，则此等腰三角形腰上的高与底边的夹角的度数是__________．10．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直均分线与AC所在的直线订交所获得的锐角为50°，则∠ B 等于________________．11．★某等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，试求这个等腰三角形各内角的度数．◆种类四两点固定，另一点不固定，确立三角形个数时漏解12．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B 是格点，以A，B，C 为等腰三角形极点的全部格点C的个数为【易错7】( )A．7 个B．8 个C．9 个D．10 个第12 题图第13 题图13．如图，在4×5 的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以A，B，C为极点的三角形是等腰三角形，则切合条件的C点有________个．【易错7】参照答案与分析1．A2．不正确3，3，6 不可以构成三角形3．解：当腰长为5cm时，底边长为20－5×2＝10(cm) ．∵5＋5＝10，∴不可以构成三角1形．当底边长为5cm时，腰长为(20 －5) ×＝7.5(cm) ．∵7.5 ＋5＞7.5 ，∴能够构成三角2形，∴当5cm为底边时，其余两边的长为7.5cm，7.5cm.4．解：设腰长为x cm.分两种状况进行议论．(1) 当腰长与腰长的一半的和是9cm时，x＋1 1x＝9，解得x＝6，∴底边长为15－×6＝12(cm) ．∵6＋6＝12，∴6cm，6cm，12cm不2 2能构成三角形．1 1(2) 当腰长与腰长的一半的和是15cm时，x＋x＝15，解得x＝10，∴底边长为9－×2 210＝4(cm) ．∵4＋10＞10，∴10cm，10cm，4cm能构成三角形．综上所述，三角形的腰长为10cm，底边长为4cm.5．C 6.80 °或20°7．解：分两种状况进行议论：(1) 当底角与顶角的度数比是2∶1时，等腰三角形的顶角是180°×15＝36°；(2) 当顶角与底角的度数比是2∶1时，等腰三角形的顶角是180°×24＝90°. 即该等腰三角形的顶角为36°或90°.8．解：分四种状况议论：(1) 如图①，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝C D，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD. ∵∠CDA＝180°－∠BDA＝180°－(180°－∠B－∠BAD) ＝2∠B，∴∠BAC＝3∠B. ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠BAC＝108°；(2) 如图②，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝C D，∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC＝2∠B. ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°.(3) 如图③，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C. ∵∠BDC＝180°－∠BDA＝2∠A，∴∠C＝2∠A，∴∠ABC＝2∠A. ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝ 180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°；(4) 如图④，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，C D＝BC.设∠A＝x. ∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝x，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝2x. ∵AB＝AC，∴∠DBC＝180°－x－x. ∵C D＝BC，∴∠BDC 2180°－x＝∠DBC，∴2x＝－x，∴x＝2 180°7.综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或180°7.方法点拨：此题应使用方程思想，依据等腰三角形等边平等角，再联合三角形的内角和求角度．正确掌握题意，概括出四种情况，防备漏解是解题重点．9．10°或40°10.70°或20°11．解：分两种状况进行议论：(1) 如图①，当△ABC( AB＝AC)为锐角三角形时，∠ABD＝20°，BD⊥AC，∴∠A＝70°，∴∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A) ＝55°；(2) 如图②，当△ABC( AB＝AC)为钝角三角形时，∠ABD＝20°，BD⊥AC，∴∠DAB＝70°，∴∠BAC＝110°，1∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠BAC) ＝35°.综上所述，这个等腰三角形各内角的度数分别为270°，55°，55°或110°，35°，35°.12．B 分析：切合条件的点数有8 个，如下图．第12 题图13．5 分析：如图，分别以AB为腰、底找等腰三角形，故切合条件的C点有5 个．第13 题图。