空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式
前言
空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线.
本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.
1. 空间曲线的曲率和挠率的定义
1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架
给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是
(),r r s =
其中s 是自然参数，得
dr
ds
r ==
α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.
由于1=α，则
⊥αα，
即
r r ⊥.
在α上取单位向量
=
=
αr βα
r
， (1)
β称为曲线()c 上p 点的主法向量.
再作单位向量
=⨯γαβ，
γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.
我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率
我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.
要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.
设空间中3c 类曲线()c 的方程为
().r r s =
曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、
1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也
就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.
我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率.
定义[]1
空间曲线()c 在p 点的曲率为
()lim
s k s s
ϕ
∆→∆=∆， 其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，
ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角. 再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意
义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有
()k s =α.
由于r =α，所以曲率也可表示为
()k s r =
.
由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.
对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率
当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.
现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).
(
)
s s γ+∆
（图一）
再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去， 得到
lim
s s
ϕ
∆→∆=∆γ
， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.
根据（1）和曲率的定义，我们有
()
k s =
==r αα
βr α， 即
()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有
()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，
因而
⊥αγ.
又因为γ是单位向量，所以
⊥γγ.
由以上两个关系可以推出
//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下： 定义[]1
曲线()c 在p 点的挠率为：
().s τ⎧
+⎪⎪
=⎨
⎪-⎪⎩
γγβγγβ，当和异向，，当和同向 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.
2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导
2.1 Frenet 公式的推导 根据（3）及挠率的定义有
τ
=-γβ（s) （4） 另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出
()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγα
βαγβαγ
（5）
公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即
()()()()k s k s s s ττ⎧
=⎪⎪
=-+⎨⎪
=-⎪⎩
αββαγγβ， 这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵
()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
2.2 曲率的一般参数表示式的推导 若给出3c 类的空间曲线()c
().r r s =，
则有
