第一章有限元法杆件结构

• 将连续体分割成有限个分区或单元 • 用标准方法对每个单元提出一个近似解 • 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
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有限单元法方程的三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元 性质方程。 (2) 变分法 直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极值问 题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算 方法。 (3) 加权余量法 直接从控制方程中得到有限单元法方程，是一种近 似解法。
简记为： [k]e为e单元的刚度矩阵，简称单元刚阵。
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单元刚阵[k]e中任一元素的物理意义
将梁单元的4项节点位移分量另记为u1、u2、u3和u4， 4项节点力分量另记为s1、s2、s3和s4。
当某一项位移分量ul为1，其余位移分量都为0时， 可得到一组节点力。 由功的互等定理(反力互等定理)
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发展历史
• 两类典型的工程问题
第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料 力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。 第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程 和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问 题等。
• 两类问题的对比
第一类问题称为离散结构问题。离散结构是可解的，但是求解复杂 的离散系统，要依靠计算机技术。 第二类问题称为连续体问题。可以建立描述连续体问题的基本方程 和边界条件，通常只能得到少数问题的解析解。对于许多实际 的工程问题，需要用近似算法求解。
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二、有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化
(2) 选择插值函数 (3) 形成单元性质的矩阵方程 (4) 形成整体系统的矩阵方程
(5) 约束处理，求解系统方程
(6) 其它参数计算
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工程问题有限单元法分析流程
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三、有限元软件和工程实例 有限元软件
有限元软件包括专用的和通用的两大类。 专用有限元软件：桥梁博士Dr. Bridge；Midas等。 通用有限元软件：Ansys；Aba1 节点位移和节点载荷
一简单的变截面梁，作用有一个集中力Z和一个集中 力偶M，可简化为有3个单元和4个节点的计算模型。
按平截面假设，梁发生弯曲变形时，截面的位移包 括截面中性轴处的挠度f和截面的转角θ，这两项位 移也就是节点处位移的两个分量。
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任一节点处位移可用一个位移列阵表示 对应于节点位移，任一节点的载荷也可用一个载荷列 阵表示。 fi和Zi以向上为正， θi和Mi以逆时针为正(坐标轴正向)。 对于划分有n个节点的梁，一共有2n个节点位移分量 和2n个节点载荷分量，分别记为各有2n个分量的矢量 {δ}和{Q} 。非节点荷载要经过处理和转换到节点上去。 为解决直梁弯曲问题，可先求出在全部节点载荷{Q}作 用下引起的全部节点位移{δ}，进而在求出单元内的位 移和内力。为此要建立两者之间的关系。
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单元刚阵和结构总刚阵均为对称矩阵。结构总刚阵为稀疏阵， 非零元素集中在主对角线附近。 一根梁划分为m个单元，n个节点，则结构分析矩阵位移法的 基本方程有2n个，结构的总刚度矩阵[K]为2n×2n的对称方阵， 是由m个单元刚度矩阵叠加而成。 单元刚阵元素反映出单元发生某种单位节点位移时，单元抵 抗这种变形的能力；结构总刚阵元素反映出结构发生某种单 位节点位移时，结构抵抗这种变形的能力。结构由单元组成， 34 因此，结构总刚阵就应该由单元刚阵叠加而成。
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1.1.2 单元弹性特征-单元刚度矩阵
先分析单个单元上节点力和节点位移之间的联系。
e单元i、j节点位移分别为 e单元i、j节点力分别为
e单元的节点位移是一个有4个分量的矢量 e单元的节点力也是一个有4个分量的矢量
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在弹性范围内、小变形情况下，e单元两段的节点力 {p}e和节点位移{δ}e之间有线性关系，用矩阵表示：
根据节点2的平衡条件，可得
简写为：
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由连续性条件 节点3同理可得： 节点1、4只连接一个单元，节点载荷就等于节点力。
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将上述4个式子合并可得：
简写为：
单元刚阵为4×4的方阵，在叠加成8×8的结构总刚阵时， 要把具有相同下标的刚阵元素或子矩阵相加在一起，因 此要把4×4的单元刚阵扩大成8×8的方阵。
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• 有限单元法的形成
在寻找近似解法的过程中，工程师和数学家从两条不同的路 线得到了相同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。
有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直 接得益于土木结构分析中的矩阵位移法和在飞机结构分析中 所获得的成果。
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• 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理 和结构分析论文。 • 1956年，M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约 举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推 广到求解平面应力问题。 • 1960年， R.W. Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element） 这一术语。 • 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分 原理和加权余量法。 • 在1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有 限单元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不 同变分原理导出的有限元计算公式。 • 1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung （张佑启）发现只要能写 成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限单元法的相同 步骤求解。 • 1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指 出 可 以 用 加 权 余 量 法 特 别 是 Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
注意， 是一个数， 是一个2×2的子矩阵，而0则为一个 行阵或列阵，各包含两个零元素。
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1.2.3 单元刚阵的坐标转换
不同于直梁结构，刚架结构中不同的刚架单元可能不是共轴 线的，这样将会有多个不同的局部坐标系。为建立整个结构 的刚度矩阵，需要在一个共同的坐标系内建立平衡方程，从 而才能够叠加。因此，在局部坐标系内建立的刚架单元刚阵 应先经过相应的坐标转换，转到共同的坐标系内，才能叠加 起来组成结构的整体刚度矩阵。 xoy为统一直角坐标系，x’oy’为局部坐标系 i节点在局部坐标系中位移为 i节点在统一坐标系中位移为
结构的有限元分析涉及力学原理、数学方法和计算机程序设计等 几个方面，诸方面互相结合才能形成这一完整的分析方法。 对于不同的结构，采用的单元是不相同的，但各种单元的分析方 法又是一致的。掌握一种典型结构(如平面问题)的有限元分析方 法，就可以举一反三，推广到各种结构。
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第一章 杆件结构
1.1 直梁 1.2 平面刚架 1.3 空间杆结构
A为杆件截面积，l为单元长度，E为弹性模量。
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由此可得直杆单元轴向变形的刚度矩阵
把 与 合并，可得到平面刚架杆单元在局部坐标 系下的刚度方程。
简写为
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平面刚架杆单元对局部坐标系的单元刚阵为 为6×6的 对称方阵，且弯曲变形和轴向变形两者间互不关联，两者 不耦合。写成分块形式如下：
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单元刚阵子块
称单元节点位移，
称单元节点力。
易知，在局部坐标系内，在小变形情况下，轴向位移Δ只 与轴力T有关，弯曲位移f、 θ只与弯曲力q、 m有关。因 此，可分别建立轴向变形与弯曲变形的单元刚度矩阵来 分析单元位移与受力的关系。
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弯曲变形
和直梁
一样。
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轴向变形 在弹性范围内，轴向变形和载荷成正比关系。
根据刚度矩阵元素的物理意义和直杆拉伸理论可求出 中的各元素， 当Δi=1， Δj=0时， 同理，
1.1.4 边界约束
这根梁3个单元、4个节点、8个自由度，8个方程联立。 5个未知位移分量，3个未知约束反力，共8个未知量， 方程组可以求解。 在未进行边界约束之前，梁的结构刚度方程无法求解， 因为结构还有刚体位移尚未消除。当梁具有足够的约束 时，可以求解该方程组，得出未知位移，进而求出梁的 内力和反力。
为分析方便，采用如图局部坐标系， 沿杆轴为局部坐标轴x’，另一坐标 轴y’ 逆时针旋转90°垂直x’轴。
节点线位移为轴向位移Δ和横向挠度f，分别对应轴力T和 切力q，截面转角θ和弯矩m与直梁单元相同。
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设任一单元e，两个节点为i、j，在局部坐标系内，6个节 点位移分量和6个节点力分量可用列阵表示。
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• 我国学者的贡献
– 陈伯屏（结构矩阵方法） – 钱令希（余能原理） – 钱伟长（广义变分原理） – 胡海昌（广义变分原理） – 冯康（有限单元法理论）
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计 算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最 早奠定其理论基础。--《数学辞海》第四卷
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• 有限单元法的基本思路
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1.2 平面刚架
1.2.1 单元与节点
平面刚架在平面内承受载荷，并发生变形。当载荷都集中在 节点上时，可将每根杆件看成一个单元，各杆件的交点作为 节点。图示平面刚架26个单元，13个节点。 每个节点的位移有三项，水平位移u，铅垂位移v和截面转角θ。 节点位移列阵为：
相应每个节点的载荷也有三项，水平力X，铅垂力Y和力偶M。 节点载荷列阵为：
e单元长l，弹性模量E，截面惯性矩J 当u1=1，ui=0 (i=2、3、4)时，根据梁的变形公式(刘鸿文 材料力学，上册，p224)或矩阵位移法 李廉锟 结构力学
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可求出 由平衡条件