矩阵论

矩阵论 1．行列式的相关知识： 1.1定义：由2

n个数ija(,1,2,...,)ijn组成的一个n阶行列式为

1212121112121222(...)12...12(1)...njjjn

n

nnjjj

njjj

nnnn

aaaaaaDaaaaaa



即所有取自不同行不同列的n个元素的乘积1212...jjjnnaaa的代数和，其中每一项的符合由排列12...njjj的奇偶性决定。 n阶行列式的展开原理：

定义1.1.2在n阶行列式D中，任选k行和 k列（kn），将其交

叉点上的2k个元素按原来位置排成一个k阶行列式M，称为D的一个k阶子式。在D中划去M所在之k行k列后余下的2()nk个元素按照原来位置排成的n-k阶行列式M，称为M的余子式。 定义1.1.3 设D的k阶子式M在D中所在行列指标分别是

12,,...,kiii

和12,,...,kjjj，则称

1212()()(1)kkiiijjjAM



为M的代数余子式，其中M为M的余子式。 定理1.1.1（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定k 行(11)kn，则由这k行元素所组成的一切k 阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于和列式D。 定理1.1.4（克莱姆法则）：若线性方程组

11112211211222221122nnnn

nnnnnn

axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb











（1.1.7）

的系数行列式 1112121222120nn

nnnn

aaaaaaDaaa



则方程组（1.1.7）有唯一解，且/(1,2,)iixDDin，其中iD是将D中

第i列换成（1.1.7）式右端的常数项12,,,nbbb所得的行列式，即 1,11,111112,12,22122,1,1iiniininininnnnnaaabaaaabaDaaaba







(1,2,,)in

该定理通常称为克莱姆法则。特别地，当0(1,2,,)ibin时，方程组（1.1.7）又称为齐次线性方程组。若其系数行列式不为零，则由克莱姆法则知它必有唯一零解 行列式的降阶定理 定理1.6.1设A和D分别为n阶及m阶的方阵，则有

11,,ADCABAABCDDABDCD

当可逆时;

当可逆时.

定理1.6.2设A，B，C，D皆为n阶方阵，且满足AC=CA，则

ABADCBCD 定义1.2.4向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量

组的秩。 引理1.3.1若齐次线性方程组

111122121122221122000nnnn

sssnn

axaxaxaxaxaxaxaxax











的系数矩阵

111212122212nn

sssn

aaaaaaAaaa







的秩r

定理1.3.2 n阶方阵A的行列式0A的充要条件rank(A)

定理1.1.3 矩阵A的秩为r的充要条件是A中至少有一个r 阶子式

不为零，且其所有的r+1阶子式全为零。 定理1.3.4 设A，B是数域P上的两个n阶方阵，则ABAB即矩

阵乘积的行列式等于它的因子行列式的乘积。 定义1.3.4 数域P上的n 阶方阵A称为非奇异的（可逆矩阵，满

秩矩阵），若0A；否则称为奇异的（不可逆矩阵，不满秩矩阵）。 定理1.3.5设A是数域P上的nm矩阵，B是数域P上的ms矩阵，

则 ()min(),()rankABrankArankB

即乘积的秩不超过各因子的秩。 定理1.3.6 设A是一个sn矩阵，如果P是s阶可逆方阵，Q是n

阶可逆方阵，那么 ()()()()rankArankPArankAQrankPAQ 定义1.3.5设()ijnnAa是一个n阶方阵，A的主对角元素 的和称为

A的迹，并记之为()trA,即

1122()nnatrAaa 解的判别定理 定理1.4.1线性方程组

11112211211222221122nnnn

sssnns

axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb











有解的充要条件为()()rankArankB。其中

111212122212n

n

snss

Aaaa

aaa

aaa







12111212122212sn

n

snss

Baaab

aaab

aaab









系数矩阵A与增广矩阵B的秩之间只有两种可能，即 ()()rankArankB 或 ()1()rankArankB 定义1.4.1齐次线性方程组 111122121122221122000nnnn

sssnn

axaxaxaxaxaxaxaxax











（1.4.5）

的一组解12,,,r称为方程组（1.4.5）的一个基础解系，若 1）12,,,r线性无关； 2）方程组（1.4.5）的任何一个解都能用12,,,r线性表示。 定理1.4.2若齐次线性方程组有非零解，则它的基础解系必存在，

且基础解系所含解的个数为nr，其中r为系数矩阵的秩。 矩阵的初等变换与初等矩阵 定义1.5.1数域P上的矩阵的下列三种变换称为初等行变换：

1）以P中非零的数乘矩阵的某一行； 2）把矩阵中某一行的倍数加到另一行； 3）互换矩阵中两行的位置。 同理定义初等列变换，统称为初等变换。 定义1.5.2单位矩阵E经过一次初等变换后所得到的矩阵称为初等

矩阵。 定理1.5.1对一个nm矩阵A作一次初等行变换，相当于对A左乘

一个相应的nn初等矩阵。对A作一次初等列变换，则相当于对A右乘一个相应的mm初等矩阵。 定义1.5.3矩阵A与B称为等价的，若B可由A经过一系列初等变

换得到。 定理1.5.2初等变换不改变矩阵的秩。

推论1.5.1 n阶方阵可逆的充要件是它与单位矩阵等价。

定理1.5.3 矩阵A与B等价的充要条件是有初等矩阵

11,,,,,stPPQQ 使1112sstAPPPBQQQ 推论1.5.3两个nm矩阵A与B等价的充要条件为存在nn可逆阵

P与mm可逆阵Q，使得APBQ 定义1.5.4数域P上n阶方阵A与B称为合同的，若数域P上存在

可逆的n阶方阵C，使TBCAC

合同必等价，等价不一定合同。 分块矩阵的秩 定理1.6.4设n阶方阵12,,,mAdiagAAA其中kA为kn阶方阵，且

12mnnnn。则1()()miirankArankA 定理1.6.5设A和D分别为n阶和m阶的方阵，则

11()(),()(),ABrankArankDCABArankCDrankDrankABDCD可逆时

可逆时

定理1.6.8设A与B分别为sn和nm矩阵，则

()()()rankArankBnrankAB 线性空间与线性变换 集合 映射 变换 线性空间 基 维数 坐标 （略） 定义2.2.2 设12,,,n与12,,,n是n维线性空间V的两个基，

且