矩阵论(2016研究生) 百度文库第2版, 杨明、刘先忠编著

习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。

解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。

解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。

证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而 ()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。

矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲 线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换和坐标变换；3.子空间和维数定理；4.线性空间的同构线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”和“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为α,β的和和积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1． 2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 和集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“∙”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ和它们对应，称δ为k 和α的数乘，记为αδ∙=k ．如果加法和数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=∙1；⑹ αα∙=∙∙)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα∙+∙=∙+l k l k )(；⑻ βαβα∙+∙=+∙k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例 1.按通常向量的加法和数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例 2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质1. 集合、数域、映射（1）集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。

集合的表示：列举法、概括法.集合的运算：并（ ），交（ ）.另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性.（2）数域：设K是由一些复数组成的集合，其中包括0与1. 如果K中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是K中的数，那么K就称为数域.注1.数域是一种数集，对四则运算封闭（除数不+为零）.例1.1 常见的数域：有理数域Q 、实数域R 和复数域C . 实数域和复数域是工程上较常用的两个数域.例1.2{},Q a a b Q =+∈，{},,Q a a b c Q =++∈，{}=,K a a b Q +∈，0101,,,0;,,(0,1,,;0,1,,)n n m i j m n m Z n m a a a P a b Z i n j m b b b ππππ∈≥⎧⎫+++⎪⎪=⎨⎬∈==+++⎪⎪⎩⎭都是数域，但{},Q a a b Q =+∈不是数域.注2. 所有的数域都包含有理数域Q ，即有理数域Q 是最小的数域.注3.在有理数域Q 与实数域R 之间存在无穷多个数域；在实数域R 与复数域C 之间不存在其他的数域.（3）映射2. 线性空间的定义：线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵理论的重要基础.线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象.定义：设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示，并称之为向量；K是一个数域，其元素用,,k l m等表示. 如果V满足下列条件（有8条性质，分两类）（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V∈时，有唯一的和x y V+∈（封闭性），且加法运算满足下列性质：（1）结合律：()()++=++；x y z x y z（2）交换律：x y y x+=+；（3）零元律：存在零元素0，使0+=；x x（4）负元律：对于任一元素x V∈，存在一元素y V∈，使0+=，且称y为x的负元素，记为x-，则有x y()0+-=.x x（II）在V中定义一个“数乘”运算，即当x V∈，k K∈时，有唯一的kx V∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律：()k x+y=kx+ky；（6）分配律：()k+l x=kx+lx；（7）结合律：()()k lx=kl x；（8）单位律：1x=x；则称V为数域K上的线性空间.注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同.2）两种运算、八条性质.数域K中的运算是具体的四则运算，而V中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象.3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性. 唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足.★☆ 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；当K 为复数域，V 就称为复线性空间.例 1.3 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为x y xy ⊕= , k k x x =o .证明：R +是实数域R 上的线性空间.【证明】首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性（1）唯一性和封闭性：唯一性显然；若00x ,y ,>> k R ∈，则有x y xy R +⊕=∈ k k x x R +=∈o 封闭性得证.（2）八条性质1）()()=()()x y z x yz xy z x y z ⊕⊕==⊕⊕，2）x y xy yx y x ⊕===⊕ ，3）1是零元素：11x x x ⊕=⋅=，4）1x是x 的负元素：111x x x x ⊕=⋅= ， 5）()()()()k k k k x y xy x y k x k y ⊕===⊕o o o[数因子分配律]， 6）()()()k l k lk l x x x x k x l x ++====⊕o o o [分配律]，7）()()()k l klk l x x x kl x ===o o o [结合律] 8） 11x x x ==o [单位律] 由此可证，R +是实数域R 上的线性空间.例1.4 线性空间举例：（1）所有实（或复）n 维向量集合n R （或n C ），对n 维向量的加法及数乘n 维向量的运算，构成线性空间.（2）所有n 阶实矩阵的集合n n R ⨯，n 阶复矩阵的集合n n C ⨯，对于矩阵的加法与数对矩阵的乘法两种运算，都构成线性空间. 一般地，数域K 上全体m n ⨯矩阵的集合m n K ⨯，对于矩阵的加法与数与矩阵的乘法两种运算，构成线性空间.3. 线性空间性质定理：线性空间具有如下性质（1）零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的；（2）如下恒等式成立：00x =， 1x x -=-（）.【证明】（1）①零元素是唯一的：设存在两个零元素10和20，则由于10和20 均为零元素， 按零元律有112212000000=+=+=所以1200=， 即 10和20 相同，故只有一个零元素.②任一元素的负元素也是唯一的：假设x V ∀∈，存在两个负元素y 和z ，则根据负元律有0x y x z +==+()()00y y y x z y x z z z =+=++=++=+= 即y 和z 相同，故负元素唯一.（2）000000x x x x x =+=+-()000000x x x x =+-=-=，()()()1101x x x x x -=-+=-+-()()11110x x x x x x x x =-+⋅-=-+-=-=-.4. 线性相关性线性空间中线性相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似.（1）线性组合：1212m m x ,x x V ,c ,c c K ∀∈∈L L ，11221mm m i i i c x c x c x c x =+++∑L @称为向量组12m x ,x x L 的一个线性组合.（2）线性表示：V 中某个向量x 可表示为其中某个向量组的线性组合，则称x 可由该向量组线性表示.（3）线性相关性：如果存在一组不全为零的数12m c ,c c K ∈L ，使10m ii i c x ==∑，则称向量组12m x ,x x L 线性相关，否则称其线性无关.★☆线性相关性概念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。