用对偶单纯形法求对偶问题的最优解摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求解对偶问题的最优解.关键词：线性规划；对偶问题；对偶单纯形Using Dual Simplex Method To Get The Optimal Solution OfTheDual ProblemAbstract：In the application of the linear programming，people find that a linear programming problem is often acpanied by another paired linear programming problem.One is called original problem. Another is called the dual problem.Duality theory reveals the internal relationsbetween the dual problem and the original problem.The solution of the dual problem is of a great economic significance.In this paper，we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method to get the optimal solution of the dual problem.Keywords: linear programming；dual problem；dual simplex method1 引言首先我们先引出什么是线性规划中的对偶问题.任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题.每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求最优解.在一定条件下，对偶单纯形法与原始单纯形法相比有着显著的优点.2 对偶问题的形式对偶问题的形式主要包括对称形对偶问题[]3和非对称性对偶问题.2.1对称形对偶问题设原线性规划问题为Max1122...n nZ c x c x c x =+++()11112211211222221122...............0.1,2,...,n n n n m m mn n nj a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bx j n +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩（2.1） 则称下列线性规划问题Max 1122...m m W b y b y b y =+++()11112211211222221122...............0.1,2,...,n n n n m m mn n nj a y a y a y c a y a y a y c a y a y a y cy j m +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩（2.2） 为其对偶问题，其中(1,2,...,)i y i m =称其为对偶变量，并称（2.1）和（2.2）式为一对对称型对偶问题.原始对偶问题（2.1）和对偶问题（2.2）之间的对应关系可以用表2-1表示.这个表从横向看是原始问题，从纵向看使对偶问题.用矩阵符号表示原始问题（2.1）和对偶问题（2.2）为CX Z =max原问题⎩⎨⎧≥≤0X b AX （2.3）Yb W =min对偶问题⎩⎨⎧≥≤0Y C YA （2.4）其中()12,,...,m Y y y y =是一个行向量.2.2 非对称对偶问题线性规划有时以非对称形式出现，那么如何从原始问题写出它的对偶问题，我们从一个具体的例子来说明这种非对称形式的线性规划问题的对偶问题的建立方法. 例1写出下列原始问题的对偶问题43214765m ax x x x x Z ++-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥-≥++--≤-+--=--+)4,3,2,1(032417281473672432143214321j x x x x x x x x x x x x x j解： 第一约束不等式等价与下面两个不等式约束724321-≤--+x x x x 724321≤++--x x x x第二个约束不等式照写147364321≤-+-x x x x第三个不等式变成32417284321≤--+x x x x以121123,,,y y y y 分别表示这四个不等式约束对应的对偶变量，则对偶问题为32211131477min y y y y W +++-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--+-≥-++--≥+--≥++-0,,,427746173225286322111322111322111322111322111y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y令12111y y y =-，则上式的对偶问题变为：3213147m in y y y W ++-=12312312312323162852317647724,0,y y y y y y y y y y y y y y y ++≥⎧⎪-+≥-⎪⎪-+-≥⎨⎪---≥⎪≥⎪⎩无符号限制一般可以证明，若原问题中的某个变量无非负限制，则对偶问题中的相应约束为等式.3 对偶单纯形法对偶问题求解具有重要的意义，有多种方法解决对偶问题.下面介绍用对偶单纯形法来解决线性规划的对偶问题.先介绍以下几个线性规划的基本概念[]6：基： 已知A 是约束条件的m n ⨯系数矩阵，其秩为m .若B 是A 中m m ⨯阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B 是线性规划问题中的一个基.基向量：基B 中的一列即称为一个基向量.基B 中共有m 个基向量. 非基向量：在A 中除了基B 之外的一列则称之为基B 的非基向量. 基变量：与基向量相应的变量叫基变量，基变量有m 个.非基变量：与非基向量相应的变量叫非基变量，非基变量有n m -个. 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m 元线性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解.首先重新回顾一下单纯形法的基本思想，其迭代的基本思路是：先找出一个基可行解，判断其是否为最优解，如果不是，则转换到另一更优的基可行解，并使目标函数值不断优化，直到找到最优解为止.我们可以用另一种思路，使在单纯形法每次迭代的基本解都满足最优检验，但不一定满足非负约束，迭代时使不满足非负约束的变量个数逐步减少.当全部基变量都满足非负约束条件时，就得到了最优解，这种算法就是对偶单纯形法. 因此，单纯形法是从一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优条件为止.对偶单纯形法是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索出最优解.在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失.现把对偶单纯形法的基本步骤总结如下[3]:第一，把所给的线性规划问题转化为标准型；第二，找出一个初始正则基0B ，要求对应的单纯形表中的全部检验数0j σ≤，但“右边”列中允许有负数；第三，若“右边”列中各数均非负，则0B 已是最优基，于是，已求得最优解，计算终止.否则转为第四步；第四，换基：“右边”列中取值最小（即负的最多）的数所对应的变量为出基变量.计算最小比值θ.最小比值出现在末列，则该列所对应的变量即为进基变量，换基后得新基1B ，以出基变量的行和进基变量列交点处的元素为主元进行单纯形迭代，再转入第三步. 下面用一个例子具体说明用对偶单纯形法求线性规划问题最优解的步骤： 例1 求解线性规划问题 min 12315511W y y y =++;1231231233225524,,0y y y y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩添加松弛变量以后的标准型 min 12315511W y y y =++12341235123453225524,,,,0y y y y y y y y y y y y y ++-=⎧⎪++-=⎨⎪≥⎩ 将每个等式两边乘以-1，则上述问题转化为 min 12315511W y y y =++;12341235123453225524,,,,0y y y y y y y y y y y y y ---+=-⎧⎪---+=-⎨⎪≥⎩如果取()045,B Y y y =作为初试基变量，有如下初试单纯形表（表）由此可见，两个基变量45,y y 均取负值，所以，0B 所确定的基本解不是基可行解，从而也就不能用单纯形法求解.下面我们用一种新的方法对偶单纯形法求解此题，并通过例题来说明方法步骤.对偶单纯形法的基本思想：是保证检验数行全部非正的条件下，逐步使得“右边”一列各数变成非负.一旦“右边”一列各数均满足了非负条件（即可行性条件），则就获得最优解.现在，0B 不是可行基（称为正则基），为保证上述方法的实现，可按下面的方法确定出基变量和进基变量.出基变量的确定可以取任意一个具有负值的基变量（一般可取最小的）为出基变量.在上例中，两个基变量()45,y y 都取负值，且45y =-最小，故4y 为出基变量.现在考虑出基变量所对应的负所有元素0ij a <，对每个这样的元素作比值jija σ'，令30min 0j ijj n ij ij a a a σσθ≤≤⎧⎫⎪⎪'=≤=⎨⎬''⎪⎪⎩⎭（3.1）则3x 为进基变量.在表2-4中，基变量4y 所在的行有三个ija '取负值，其值分别为-3，-2，-2.它们对应的检验数分别为-15，-5，-11.于是212155115min ,,3222a σθ---⎧⎫===⎨⎬---⎩⎭ 由此可知，2y 为进基变量.主元素为2ija '=-，对表2-1进行一次迭代便得表2-2，在表2-2的（1）中，基变量3y 所取之值2302b '=-<，故3y 为出基变量.又 21215561522min ,,711722a σθ⎧⎫--⎪⎪-===⎨⎬'-⎪⎪--⎩⎭故3y 是进基变量；，主元为2172a '=-.对（1）再作单纯形变换，得表3-1之（2）.由于它的“右边”已列出全部非负，故它就是最优表.最优解为：137y '=，2137y '=，3450y y y '''===；最优值1107w '=.然而在有些问题中，我们很容易找到初始基本解，因此使用对偶单纯形法求解线性规划问题是有一定条件的，其条件是： (1)单纯形表的b 列中至少有一个负数. (2)单纯形表中的基本解都满足最优性检验.对偶单纯形法与原始单纯形法相比有两个显著的优点：(1)初始解可以是不可行解，当检验数都非正时，即可进行基的变换，这时不需要引入人工变量，因此简化了计算.(2)对于变量个数多于约束方程个数的线性规划问题，采用对偶单纯形法计算量较少.因此对于变量较少、约束较多的线性规划问题，可以先将其转化为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解.对变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单纯形法进行计算可以减少计算的工作量.因此对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将此问题转化为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解.用对偶单纯形法求解线性规划问题的标准型，要求初始单纯形表检验数行的检验数必须全部非正，若不能满足这一条件，则不能运用对偶单纯形法求解.对偶单纯形法的局限性主要是，对大多数线性规划问题来说，很难找到一个初始可行基，因此这种方法在求解线性规划问题时，很少单独应用.参考文献：[1] 吴祈宗．运筹学学习指导及习题集[M] ．：机械工业，2006．[2] 君曼，巧玲，慧君，等．线性规划中原问题与对偶问题转化方法探讨[J]．:工业学院学报（自然科学版），2001，16(2):44~46．[3] 何坚勇．运筹学基础．：清华大学，2000．[4] 周汉良，玉妹. 数学规划及其应用．：冶金工业．[5] 宝林．最优化理论与算法(第二版) ．：清华大学，2005．[6] 建中，许绍吉. 线性规划. ：科学，1999.[7] 恩瑜，何勇，仕平．数学规划与组合优化．：大学，2001．[8] 卢开澄．组合数学算法与分析．清华大学，1982．[9] Even．Shimon．Algzithmic binatorial．The Macmillan pany，New York，1973．[10] J．P．Tremblay，R．Manohar．Discrete Mathematical Structures with Applications to puter Science，1980．[11] 修睦．图论．华中工学院，1982．[12] Pranava R G．Essays on optimization and incentive contracts [C]．Massachusetts Institute of Technology，Sloan School of Management: Operations Research Center，2007: 57- 65．[13] Schechter，M．A Subgradient Duality Theorem，J．Math Anal Appl．，61(1977)，850-855．[14] Maxims S A．Note on maximizing a submodular set function subject to knap sack constraint[J]．Operations Research Letters，2004，32 (5) : 41 - 43．[15] Schechter，M．More on Subgradient Duality，J．Math.Anal.Appl．，71(1979)，251-262．[16] Nemhauser GL，Wolsey L A，Fisher M L．An analysis of approximations formaximizing submodular set functions II[J]．Math．Prog．Study，1978，8: 73 - 87．[17] SviridenkoM．A note on maximizing a submodular set function subject to knap sack contraint[J]．Operations Research Letters，2004，32: 41 - 43．[18] 卢开澄．图论及其应用．：清华大学，1981．[19] 干宗．线性规划（第二版）．：大学，2007．[20] 周维，鹏飞．运筹学．：科学，2008．[21] 宁宣熙．运筹学实用教程（第二版）．：科学发行处，2009．。
运筹学课程运筹学对偶单纯形法与单纯形法对比分析大作业哈尔滨工业大学工业工程系学生姓名:学号：指导教师：成绩：评语：运筹学对偶单纯形法与单纯形法对比分析摘要：这篇论文主要介绍了对偶单纯形法的实质、原理、流程和适用条件等。
将对偶单纯形法与单纯形法的基本思想进行对比分析，从而说明对偶单纯形法的优点和适用范围。
关键词：对偶单纯形法；对偶理论；单纯形法；基本思想在线性规划早期发展阶段的众多重要发现中，对偶的概念及其分支是其中最重要的内容之一。
这个发现指出，对于任何一个线性规划问题都具有对应的称为对偶问题的线性规划问题。
对偶问题与原问题的关系在众多领域都非常有用。
（一）教学目标：通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解。
掌握对偶单纯形法的解题过程，理解对偶理论的其原理，了解对偶单纯形法的作用和应用范围（二）教学内容：1）对偶单纯形法的思想来源2）对偶单纯形法原理3）对偶理论的实质4）单纯形法和对偶单纯形法的比较（三）教学进程：一、对偶单纯形法的思想来源所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。
二、对偶问题的实质下面是原问题的标准形式以及其对应的对偶问题：从而可以发现如下规律：1.原问题目标函数系数是对偶问题约束方程的右端项。
2.原问题约束方程的右端项是对偶问题目标函数的系数。
3.原问题一个变量在所有约束方程中的系数是对偶问题一个约束方程中的所有系数。
三、对偶单纯形法原理对偶单纯形法是通过寻找原问题的对偶问题的可行解来求解原问题的最优解的方法，它的应用包括影子价格和灵敏度分析等。
为了理解对偶单纯形法为什么能够解出原方程的最优解，我们需要对对偶理论的几个基本原理有所了解。
1.弱对偶性如果x x ̅̅̅̅̅̅(j =1,?,n )是原问题的可行解，x x̅̅̅̅̅̅(i =1,?,m )是其对偶问题的可行解，则恒有∑c j x ̅j n j =1≤∑b i y ̅i m i =1证明：由于对偶方程中原问题的约束条件是各行的a i j x j 之和小于等于y i的系数b i ，而对偶问题的约束条件是各行的a i j y i 之和小于等于x j 的系数c j ，故将∑c j x ̅j n j =1和∑b i y ̅i m i =1分别和∑∑x̅j n j =1a ijy ̅i m i =1比较，可得上述结论。
