特殊的平行四边形专题题型详细分类

(1)直接写出C点坐标；(2)如图2，线段BC的垂直平分线交y轴于点E，F为AD的中点，试判断(3)如图3，点16,03E⎛⎫⎪⎝⎭，F为x轴上的一点，45ECF∠=︒，求F点的坐标．【答案】(1)()4,4∵四边形ABCD是平行四边形，∴=，∥AD BC AD∴∠=∠，DAO CBEAOD CEB∠=∠=(AASCBE DAO∴≌∵线段BC 的中垂线交CE BE ∴=，∵F 为AD 的中点，22,1F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，222DE DC EC ∴+=①当F 在点E 的左侧时，如图3，过 45ECF ∠=︒，FH CE ⊥，CFH ∴ 是等腰直角三角形，FH CH ∴=，(1)若4OD =，求OG 的长．(2)若2OAE GOE GED ∠=∠-∠，求OD 的长．(3)①连接DF ，问直线DF 是否经过一定点，若经过，请求出该定点；若不经过，请说明理由；②连接FB ，BD ，若30DFB ∠=︒，求OD 的长．∵2OAE GOE GED ∠=∠-∠，GED ∠∴2GOE OAE OEF ∠=∠+∠，∵IOE OAE OEF ∠=∠+∠，∴2IOE GOE ∠=∠，∴30FBF '∠=︒，设FM n =，则2FF n '=，∵226BF BF n '==+，∴22162FN n =+，∵FN BF BM FF ''⋅=⋅，（BFF ' 的两组底和高相乘）(1)求直线2l 的函数关系式；(2)若点C 的横坐标是2，求△(3)若存在点P ，使以A C 、、试求．出点P 的坐标．【答案】(1)4y x =-+则1402m ⨯+=，解得2m =-，∴直线AP 的解析式为122y x =-；DP AC ∥，且过(20)，D -，设直线DP 的解析式为y x n =-+，则20n +=，解得2n =-，(1)求点C 的坐标及直线BC 的解析式；(2)如图1，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，其中90FGQ ∠=︒，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线(3)如图2，若M 为线段BC 上一点，且满足AMB S S =△△D ，使以点D ，E ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点明理由．4∵FGQ 是等腰直角三角形，易证∴1MG NQ ==，FM GN ==∴()2,1Q n n -+-，∵点Q 在443y x =+图象上，同理：()2,1Q n n -+，∵点Q 在直线443y x =+图象上，∴()41243n n -=-+，解得：n ∴点()0,1G -，此时与点C 重合；23⎛⎫∵AMB AOB S S =△△，∴ABC AMC AOB S S S -=△△△，∴141105424232m ⎛⎫-⨯+=⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得：∴点612,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)求a和k的值；(2)作直线l平行于A C''且与A B''，B C''分别交于M，N 直线l的函数表达式；(3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l则A B T B GM '''、均为等腰直角三角形，∵GM A T '∥，则23B G GT B M A M '''==：：：，设2B G GM x '==，则3,GT x BT =则6245BT x =-==，的值；在双曲线kyx=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M∵()1,0A -，(0,B -解得1x =，此时()11,8P ，(10,8Q 如图2所示，若ABPQ ∵()1,0A -，(0,4B -解得=1x -，此时()21,8P --，2Q ②如图3所示，当∵()1,0A -，(0,4B -∴1122x -=，∵MN 是线段HT 的垂直平分线，∴NT NH =，∵四边形AFBH 是正方形，∴ABF ABH ∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH(1)求k的值；(2)点P在双曲线kyx=上，点Q在y轴上，若以点A B P Q、、、为顶点的四边形是平行四边形；试求满足要求的所有点P的位置．(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HTAB于N，当T在AF上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，求出其值并给出你的证明．【答案】(1)8∵()()1,0,04A B --，，则12解得1x =，此时()118P ，；如图2所示，若ABQP 为平行四边形，∵()()1,0,04A B --，，则12-解得=1x -，此时()218P --，；②如图3所示，当AB 为对角线时：∵()()1,0,04A B --，，∴1122x -=-，解得=1x -，∴()318P --，；故点P 的坐标为：()18，或(-（3）如图4，连接NH NT 、∵MN 是线段HT 的垂直平分线，∴NT NH =，∵四边形AFBH 是正方形，∴ABF ABH ∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH =⎧(1)用等式表示CP '与BP 的数量关系，并证明；(2)当135BPC ∠=︒时，①直接写出P CP '∠的度数为________②若M 为BC 的中点，连接PM 【答案】(1)BP CP '='，证明见解析证明：∵90BAC ∠=︒，AB AC =∴2390∠+∠=︒，∵将线段AP 绕点A 逆时针旋转90∴AP AP '=，90PAP '∠=︒，∴1290∠+∠=︒，∴13∠=∠，(1)如图1，求CBE ∠的度数；(2)如图2，过点A 作AF DE ∥分别交BC CD ，于点F ，G ，连接AE 平分；(3)如图3，在（2）的条件下，若N 是CE 的中点连接FN ，求证：【答案】(1)60CBE ∠=︒(2)见解析∴DCE ACB ∠=∠，∴BCE ACD ∠=∠，∵CE CD =，BCE ACD ∠=∠，BC AC =，∴()SAS BCE ACD V V ≌，∴60CBE A Ð=Ð=°；（2）证明：如图1，连接EF ，∵ABC 是等边三角形，∴60CBD ACF ∠=∠=︒，∵//AF DE ，∴60AGD CDE ∠=∠=︒，∵60AGD CAF ACG BCD ACG ∠=∠+∠=︒=∠+∠，∴BCD CAF ∠=∠，∵BCD CAF ∠=∠，BC AC =，CBD ACF ∠=∠，∴()ASA BCD CAF ≌，∴AF CD DE ==，又∵//AF DE ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AE 与DF 相互平分；（3）证明：如图2，延长FN 至点H ，使HN FN =，∵N 是CE 的中点，∴EN CN =，∵EN CN =，ENH CNF ∠=∠，HN FN =，∴()SAS ENH CNF ≌，∴HEN FCN ∠=∠，EH CF =，∴BC EH ∥，∵()ASA BCD CAF ≌，∴BD CF =，∴EH BD =，∵四边形ADEF 是平行四边形，∴AD EF ，∴60BFE ABC ∠=∠=︒，∵60BEF BFE EBF ∠=∠=∠=︒，∴BEF △是等边三角形，∴EF BF =，∵BC EH ∥，∴60HEF BFE ∠=∠=︒，∴HEF DBF ∠=∠，∵EH BD =，HEF DBF ∠=∠，EF BF =，∴()SAS EHF BDF ≌，∴HF DF =，(1)当QP PM ⊥时，求t 的值．(2)如图2，连接MC ，是否存在t 值，使得PCM △的面积是平行四边形ABCD 面积的38若存在，求出对应的t ；若不存在，请说明理由．(3)如图3，过点M 作∥MN AB 交于点N ，是否存在t 的值，使得点P 在线段MN 的垂直平分线上？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4t =(2)不存在t 值(3)409t =【分析】（1）由题意得2BQ t =，3DP t =，由平行四边形的性质得出AB CD ，AD BC ∥60D ABC ∠=∠=︒，证出四边形BCPQ 是平行四边形，得出BQ CP =，得出方程220t =-（2）作AE BC ⊥于E ，延长MP 交BC 延长线于F ，由直角三角形的性质得出12BE AB =3103AE BE ==，求出平行四边形ABCD 的面积3003BC AE =⨯=，由直角三角形的性质得出则9030BAE ABC ∠=︒-∠=︒1102BE AB ∴==，3AE =∴平行四边形ABCD 的面积=∥ AB CD ，，MN AB，AB CD∴ ，MN CDAD BC，∴四边形CDMN是平行四边形，(1)用含t的代数式表示PB的长．(2)当点P在边AB上运动时，求证：△内部时，求(3)当点E在ABD在ABCDY中，O为对角线=，∴经过点O，OA OCAC四边形ABCD为平行四边形，∴∥，AB CD由题意得：PQE V 为等边三角形，60PQE QPE ∴∠=∠=︒，AB CE ∥ ，60QPB PQE ∴∠=∠=︒，60A QPB ∴∠=∠=︒，AD PQ ∴∥，∴四边形APQD 为平行四边形，4PQ AD ∴==，4DQ PQ AP ∴===，24t \=，2t ∴=，②当点E 落在AB 边上时，如图，由题意得：PQE V 为等边三角形，60PEQ ∴∠=︒，60A PEQ ∴∠=∠=︒，AD EQ \∥，∴四边形AEQD 为平行四边形，4EQ AD ∴==，AE DQ =，4PE ∴=．24AE AP PE t ∴=-=-．在DOQ △和BOP △中，DOQ BOP OD OB QDO PBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(AAS)DOQ BOP ≌∴ ，DQ PB ∴=，OD OQ ∴=，30ODQ OQD ∴∠=∠=︒，60QPE ∠=︒ ，90PDQ ∴∠=︒，1232BP BO BD ∴===，2823t ∴-=，(1)若设AP 的长为x ，则PC =，(2)当30BQD ∠=︒时，求AP 的长；(3)过点Q 作QF AB ⊥交AB 延长线于点(4)点P Q ，在运动过程中，线段说明理由．,PE AB QF AB ⊥⊥ ，∴90AEP BFQ ∠=∠=︒，又60,QBF ABC A ∠=∠=∠=︒ ∴()AAS BFQ AEP ≌，∴EP FQ =；AEP BFQ△≌△∴=，AE BF+=+∴BE AE BF BE∴6==AB EF⊥⊥,PE AB QF AB(1)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形、，若AB (2)如图2，点E在BC，点F在CD上，连接AE EF-=2AC CF CE⊥分别交(3)如图3，在（2）的条件下，连接AF，过点C作CH BCCE=，PK 的延长线于点P，交AC的延长线于点K，若22（3）解：如图，以C为原点，BC 交于点T，DK与x轴交于点S 四边形ABCD是平行四边形，3【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，坐标两点距离公式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想，正确建立直角坐标系，求出相关点坐标是解题关键．14．在ABCD Y 中，BD 是对角线，(1)求证：AD BD=(2)当45A ∠=︒时，1DE =，2BE =，3CE =，求CDE 的面积．(3)在（1）的条件下，当BD 平分ADE ∠，DBE CDE ∠=∠，10CD =【答案】(1)见解析为等腰直角三角形，∴EBK∵ADB BDK ∠=∠，AD DK ADB KDB BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB BDK △≌△，(1)如图1，若45BAD PCD ∠-∠=︒，求证：2AD PB =；(2)如图2，在（1）的条件下，若ABP 的面积与PCD 的面积的比是3:4的面积；(3)如图3，在（1）的条件下，若7514PAB PD ∠=︒=，，求PA 的长．【答案】(1)见解析(2)1542∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD AB CD ∥，=．∵MN AB ⊥，∴MN CD ⊥．∵:3:4ABP PCD S S = ，。

特殊平行四边形的经典题型特殊平行四边形包括矩形、菱形和正方形，那这几种图形在各种经典题型里可是各有各的“戏码”呢。

矩形嘛，经常会在面积和对角线相关的题目里出现。

比如说，已知一个矩形的长是8，对角线长是10，让你求宽是多少。

这时候就可以用到勾股定理啦，因为矩形的对角线把矩形分成了两个直角三角形，对角线就是斜边，长和宽就是两条直角边。

根据勾股定理a² + b² = c²（这里的a和b就是长和宽，c就是对角线），已知a = 8，c = 10，那宽b就等于6。

这类型的题目就像是给你一把钥匙，只要你知道用勾股定理这个“开锁方法”，就能轻松解决。

菱形呢，它的对角线互相垂直且平分这个性质可是出题的热门点。

像有一道题说菱形的对角线分别是6和8，问菱形的面积是多少。

很多人可能会先求边长再用底乘高来算面积，其实完全不用这么麻烦，直接根据菱形面积等于对角线乘积的一半这个公式，就能得出面积是24啦。

还有就是菱形四边相等这个性质，有时候会在证明题里出现，比如证明四个点构成的四边形是菱形，就需要通过证明四条边相等来得出结论。

正方形就更有趣了，它是集矩形和菱形的性质于一身的特殊平行四边形。

有这样一道题，正方形ABCD中，E是AB的中点，连接CE，CE的垂直平分线交AD于F，让你证明AF = 1/4 AD。

这题就要用到正方形的性质，它的角是直角，边相等，再结合一些三角形全等的知识。

首先设正方形边长为a，通过相似三角形或者勾股定理求出AF的长度，最后就能得出AF = 1/4 AD的结论。

在做特殊平行四边形的经典题型时，还有一些小技巧。

如果是证明题，一定要仔细分析已知条件，看这些条件能推出什么性质或者结论，然后再往要证明的结论上靠。

如果是计算面积或者边长的题目，一定要牢记各种图形的面积公式和特殊性质。

而且啊，多画图绝对是个好办法，有时候看着图形，思路一下子就清晰了呢。

不要觉得这些题型很难，只要多做几道，就会发现其实它们都是有规律可循的。

专题4.2 平行四边形的性质【八大题型】【浙教版】【题型1 利用平行四边形的性质求长度】 (1)【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 (6)【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 (10)【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】 (14)【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】 (19)【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】 (23)【题型7 利用平行四边形的性质求最值】 (29)【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】 (34)【题型1 利用平行四边形的性质求长度】【例1】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠BCD=60°，DC=6，点E、F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，A′E恰好垂直于AD，若AE=5，则B′F的值为2（）A ．3B ．C ．−12D 【答案】C【分析】延长F B ′交AD 于点H ，根据折叠的性质、平行四边形的性质得到A ′G =2A ′E =5，EG Rt△GH B ′中，得到H B ′=12G B ′=12，HG =△HEF 是等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】解：延长F B ′交AD 于点H ，∵A ′E 恰好垂直于AD ，且四边形ABCD 是平行四边形，∴FH 也垂直于AD ，由折叠的性质得AE =A E ′=52，∠A ′EG =∠B ′HG =90°，∠A ′=∠A =60°，A ′B ′=AB =6，∴∠A ′GE =30°，∴A ′G =2A ′E =5，EG =在Rt △GH B ′中，∠B ′GH =30°，B ′G =A ′B ′−A ′G =1，∴H B ′=12G B ′=12，HG =∴EH =EG +GH =由折叠的性质得∠AEF =∠A ′EF ，∴180°−∠HEF =90°+∠HEF ，∴∠HEF =45°，∴△HEF 是等腰直角三角形，∴FH =EH =∴B ′F =−12，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，证明△HEF 是等腰直角三角形是解题的关键．【变式1-1】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，EF 过点O 与AD ，BC 分别相交于E ，F ，若BC =8，OE =2，AB =4，那么四边形EFCD 的周长为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】A 【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD =AB =4，AD =BC =8，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≅ △COF ，根据全等三角形的性质，得：OF =OE =2，CF =AE ，故四边形EFCD 的周长为CD +EF +AD =16．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD =AB =4，AD =BC =8，OA =OC ，AD ∥BC ，∴∠EAO =∠FCO ，∠AEO =∠CFO ，在△AOE 和△COF 中，∠EAO =∠FCO ∠AEO =∠CFO OA =OC，∴△AOE≅ △COF ，∴OF =OE =2，CF =AE ，∴四边形EFCD 的周长为CD +EF +ED +FC =CD +EF +AE +ED =CD +AD +EF =4+8+2×2=16，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．【变式1-2】（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，▱ABCD 中，AB =6，AD =10，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 于点E ，交BC 于点F ；②分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内相交于点P ；③画射线BP ，交AD 于点Q ，交对角线AC 于点O ．若BA ⊥CA ，则AO 的长度为（ ）A ．3BC ．32D ．【答案】A 【分析】先根据平行四边形的性质得到BC ＝AD ＝10，再利用勾股定理计算出AC ＝8，利用基本作图得到BQ 平分∠ABC ，则根据角平分线的性质得到点O 到BA 的距离等于点O 到BC 的距离，接着利用三角形的面积公式得到S △ABO ：S △BCO ＝AB ：BC ＝OA ：OC ，所以OA =38AC ．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ＝10，∵BA ⊥CA ，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，AC ==8，由作法得BQ 平分∠ABC ，∴点O 到BA 的距离等于点O 到BC 的距离，∴S △ABO ：S △BCO ＝AB ：BC ＝6：10＝3：5，∵S △ABO ：S △BCO ＝OA ：OC ，∴OA ：OC ＝3：5，∴OA ：AC ＝3：8，∴OA =38AC =38×8＝3．【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．【变式1-3】（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°，则ED的值是（）AEB C DA．2【答案】D【分析】由平行四边形的性质可求∠ADB=30°，由直角三角形的性质可求DE=，AE=BH，即可求解．【详解】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC+∠DAB=180°，∵∠ADC=105°，∴∠DAB=75°，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA=75°，∴∠BDA=30°，∴BD=2BH=AD，DH，∴AH=，∵∠EBA=60°，∴∠BEA =180°−∠DAB−∠ABE =45°，∴∠EBH =45°=∠BEH ，∴BH =EH ，∴DE =，AE =，∴ED AE ==故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．【题型2 利用平行四边形的性质求角度】【例2】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在▱ABCD 中，AC 、BD 交于点O ．过点O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ，连接DE ．若∠CDE ＝∠CBD ＝15°．求∠ABC 的度数．【答案】45°【分析】由线段垂直平分线的性质得出BE ＝ED ，得出∠CBD =∠BDE =15° ，求出∠ABD =30°，则可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB =OD ，∵OE ⊥BD ，∴BE =ED ，∴∠CBD =∠BDE =15°，∵∠CDE =15°，∴∠BDC =30°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABD =∠BDC =30°，∴∠ABC =∠ABD +∠CBD =30°+15°=45°．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【变式2-1】（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD的两个内角∠A:∠B=1:2，则∠A的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【答案】B【分析】根据平行四边形的性质可得到∠A与∠B是邻角并且互补，再结合∠A:∠B=1:2列方程，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∵∠A:∠B=1:2，∴∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，故选B．【点睛】本题考查平行四边形性质，熟知平行四边形邻角互补是解答的关键．【变式2-2】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（）．A．130°B．135°C．150°D．125°【答案】B【分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°−2x，∠BCD=225°−2y，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，∵AD=DE=CE，∴AD=DE=CE=BC，∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∵∠DEC=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，∴∠ADE=180°−2x，∠BCE=180°−2y，∴∠ADC=180°−2x+45°=225°−2x，∠BCD=225°−2y，∴∠BAD=180°−(225°−2x)=2x−45°，∴2x−45°=225°−2y，∴x+y=135°，∴∠AEB=360°−135°−90°=135°；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到∠AED和∠CEB之间的关系．【变式2-3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC 于点E，G为线段AE上一点且满足EG=BC，AG=CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为_____．【答案】45°【分析】连接DG，根据平行四边形的性质证明△ADG≌△ECG(SAS)，可得DG=CG，∠ADG=∠ECG，然后证明△DGC是等腰直角三角形，进而可以解决问题．【详解】解：如图，连接DG，在平行四边形ABCD 中，AB∥CD ，AD∥BC ，AD =BC ，∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，∴∠DAG =∠GEC =90°，∵EG =BC ，∴EG =AD ，在△ADG 和△ECG 中，AD =EG ∠DAG =∠GEC =90°AG =EC，∴△ADG≌△ECG (SAS)，∴DG =CG ，∠ADG =∠ECG ，∵∠ADG +∠AGD =90°，∴∠EGC +∠AGD =90°，∴∠DGC =90°，∴△DGC 是等腰直角三角形，∴∠DCG =45°，∵AB∥CD ，∴∠BFC =∠DCG =45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADG≌△ECG．【题型3 利用平行四边形的性质求面积】【例3】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC 于E，AF⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四边形ABCD的周长为60，则平行四边形ABCD的面积是（）A．36B．48C．63D．75【答案】C【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设BC为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得BC长，乘以3即为平行四边形的面积．【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为60，∴BC+CD=30，设BC为x，=BC⋅AE=CD⋅AF，∵S▱ABCD∴3x=(30−x)×7，解得：x=21，∴▱ABCD的面积为21×3=63，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积等于底×高．【变式3-1】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，m∥n，点C、D、E在直线m上，四边形ABED为平行四边形，若△ABC的面积为5，则平行四边形ABED的面积是______．【答案】10【分析】根据平行线间的距离相等以及平行四边形的对边相等即可得出答案．【详解】解：连接BD，∵m∥n，∴S△ABC=S△ABD，∵四边形ABED为平行四边形，∴AB=DE，∴S△ABC=S△ABD=S△BDE，∴平行四边形ABED的面积等于S△ABD+S△BDE=5+5=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行四边形的性质，根据同底等高的两个三角形面积相等以及等底等高的两个三角形面积相等是解本题的关键．【变式3-2】（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)，B(n,0)，且m，n满足(m+1)2+|n−3|=0，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，CD，得到平行四边形ABCD，连接BD．(1)补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标；(2)平行四边形ABCD的面积是多少？(3)在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)图见解析，A(−1,0)，B(3,0)，C(4,3)，D(0,3)(2)12(3)存在，(11,0)或(−5,0)【分析】（1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得m,n 的值，再根据平移的性质、线段的画法补全图形，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点C,D 的坐标；（2）先求出AB =4，OD =3，再利用平行四边形的面积公式即可得；（3）设点M 的坐标为M (a,0)，则BM =|a−3|，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程可得a 的值，由此即可得．（1）解：∵(m +1)2+|n−3|=0，∴m +1=0，n−3=0，解得m =−1，n =3，∴A (−1,0)，B (3,0)，补全图形如下：由平移的性质得：C (3+1,0+3)，D (−1+1,0+3)，即C (4,3)，D (0,3)．（2）解：∵A (−1,0)，B (3,0)，D (0,3)，∴AB =3−(−1)=4，OD =3，则平行四边形ABCD 的面积是AB ⋅OD =4×3=12．（3）解：如图，设点M 的坐标为M (a,0)，则BM =|a−3|，∵△MBD 的面积等于平行四边形ABCD 的面积，∴12OD ⋅BM =12，即12×3|a−3|=12，解得a=11或a=−5，所以存在这样的点M，此时点M的坐标为(11,0)或(−5,0)．【点睛】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、平行四边形的面积、坐标与图形，熟练掌握平移作图是解题关键．【变式3-3】（2022春·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】（1）根据要求，画出平行四边形即可；（2）根据要求，画出平行四边形即可．【详解】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求；由图可知：平行四边形ABCD的面积=3×2=6；（2）解：如图，平行四边形EFGH即为所求；由图可知：平行四边形EFGH的面积=3×2=6．【点睛】本题考查网格作图，平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的的关键．【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】【例4】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（）．A．124°B．114°C．104°D．56°【答案】A【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：由折叠得，∠4=∠5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠5=∠3，∴∠3=∠4，又∵∠1=∠3+∠4=48°，×48°=24°，∴∠5=∠4=∠3=12在△ABC中，∠B=180°−∠5−∠2=180°−24°−32°=124°，故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．【变式4-1】（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EF C′D′，E D′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A．6B．12C．18D．24【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠EFG=∠DEF=60°，根据折叠的性质得到∠GEF=∠DEF=60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠EFG=∠DEF=60°，∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EF C′D′，∴∠GEF=∠DEF=60°，∴∠EGF=60°，即∠EFG=∠GEF=∠EGF=60°，∴△EGF是等边三角形，∵EF=6，∴△GEF的周长=18，故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．【变式4-2】（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB5BE=AE．则AF长度为_____．【答案】152【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，∵AB5BE=AE，∴AE BE由折叠的性质可知：GE=AE GF=AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABN=∠A=45°，∴△BEN 和△ABM 是等腰直角三角形，∴EN =BN =2BE =1，AM =BM =2AB =6，∴FH =BM =6，在Rt △GEN 中，根据勾股定理，得E N 2+G N 2=G E 2，∴12+G N 2=2，解得GN =±7（负值舍去），∴GN =7，设MF =BH =x ,则GH =GN -BN -BH =7-1-x =6-x ，GF =AF =AM +FM =6+x ，在Rt △GFH 中，根据勾股定理，得G H 2+F H 2=G F 2，∴(6−x)2+62=(6+x)2，解得x =32，∴AF =AM +FM =6+32=152．∴AF 长度为152．故答案为：152．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．【变式4-3】（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）四边形ABCD 为平行四边形，己知AB BC ＝6，AC ＝5，点E 是BC 边上的动点，现将△ABE 沿AE 折叠，点B ′是点B 的对应点，设CE 长为x ，若点B ′落在△ADE 内（包括边界），则x 的取值范围为____________．【答案】x 2【分析】如图1，当B′在AD上，易证由四边形CD B′E为平行四边形，得到CE=D B′=6−2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当B′在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝CE的另一个临界值，问题得解．【详解】解：如图1，当B′在AD上，此时，AB=A B′，∠B=∠A B′E=∠D，∴B′E∥CD，∵AD∥BC，∴四边形CD B′E为平行四边形，∴CE=D B′=6−如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当B′在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，∴DA＝DE在Rt△ABG和Rt△ACG中，AG2=AB2−BG2=AC2−CG2∴2−B G2=52−(6−BG)2∴BG＝2，∴AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝∴CE＝2；综上：x的取值范围为：x2．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】【例5】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为(1,−1)，(−2,3)，(a,0)，(0,b)．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则a+b的值不可能是（）A．-7B．-1C．1D．7【答案】B【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出a,b的值．【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)∴−2a2=102，302=b−12解得;a=3,b=4∴a+b=7②AB为对角线时，∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)∴−212=a02，3(−1)2=b02解得;a=-1,b=2∴a+b=1③AC为对角线时，∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)∴1a2=−202，−102=b32解得;a=-3,b=-4∴a+b=−7故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．【变式5-1】（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B （0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________．【答案】(0,2)【分析】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由点C的坐标知点C在垂直于x轴的直线上，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即可求解．【详解】解：设点P（0，y），∵PD=AP，点A（-3，0），∴点D（3，2y），∵点A（-3，0）、B（0，-4），四边形ABCD是平行四边形，∴C（6，2y-4），∴点C在x=6这条直线上运动，∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即2y-4=0，∴y=2，∴点P（0，2）．故答案为（0，2）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．【变式5-2】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知AD=2，CD=8，∠ADB=135°，S△ABD=6，则D 点的坐标为_______．【答案】（-2，8）【分析】过点B 作BE ⊥y 轴于E 点，交AD 的延长线于点F ，先通过AAS 证出△BOE ≌△CAD ，根据全等三角形的性质得到OE =AD ，BE =CD ，根据三角形的面积即可得到结论．【详解】过点B 作BE ⊥y 轴于E 点，交AD 的延长线于点F ，∵四边形ABOC 是平行四边形，∴AC =OB ，AC ∥OB ，∴∠OGC =∠BOE ，∵AD ∥y 轴，∴∠DAC =∠OGC ，∴∠BOE =∠DAC ，在△BOE 和△CAD 中，∠BEO ＝∠CDA ∠BOE ＝∠CAD BO ＝AC，∴△BOE ≌△CAD （AAS ），∴OE =AD =2，BE =CD =8，∵S △ABD =6，∴12AD •BF =6，×2×BF=6，∴12∴BF=6，∴EF=BE-BF=2，∵∠ADB=135°，∴∠BDF=45°，∴BF=DF=6，∵DF+OE=6+2=8∴D（-2，8），故答案为：（-2，8）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，证得△BOE≌△CAD是解题的关键．【变式5-3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A(0，3)，B(−1，0)，若直线y=−2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是_____________．3【分析】连接BD，设D(m，3)，BD的中点为T，求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．【详解】解：连接BD，设D(m，3)，BD的中点为T，∵B(−1，0)，∴∵直线y=−2x+4平分平行四边形ABCD的面积，∴直线y=−2x+4经过点T，∴32=−2×m−12+4，∴m=72，∴3，3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和求点的坐标，解决本题的关键是连接BD，找到BD的中点坐标．【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】【例6】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）问的条件下，求证：BF=DG．证明：四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，①∴∠ABD =∠CDB ，∵AE 平分∠BAD ，CH 平分∠BCD ，∴ ② ，∠DCH =12∠BCD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴ ③∴∠BAE =∠DCH ，在△ABF 和△CDG 中，∠ABD =∠CDB ④∠BAE =∠DCH，∴△ABF≌△CDG (ASA)．∴BF =DG【答案】(1)作图见详解(2)AB ∥CD ，∠BAF =12∠BAD ，∠BAD =∠DCB ，AB =CD 【分析】（1）以点C 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC ，DC 于点M ，N ，连接MN ，分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 为半径画弧，交于点P ，连接CP ，交AD 于点H ，交BD 的于点G ，由此即可求解；（2）平行四边形ABCD 中，可知AB =CD ，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，CH 平分∠BCD ，∠BAF =12∠BAD ，∠DCH =12∠BCD ，从而证明△ABF≌△CDG (ASA)，由此即可求解．【详解】（1）解：如图所示，∴CH 为∠BCD 的角平分线．（2）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD =∠CDB，∵AE 平分∠BAD ，CH 平分∠BCD ，∴∠BAF =12∠BAD ，∠DCH =12∠BCD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠BAD =∠DCB ，∴∠BAE =∠DCH ，在△ABF 和△CDG △CDG 中，∠ABD =∠CDB AB =CD ∠BAE =∠DCH，∴△ABF≌△CDG (ASA)．∴BF =DG ．故答案为：①AB ∥CD ；②∠BAF =12∠BAD ；③∠BAD =∠DCB ；④AB =CD ．【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，三角形全等的判定和性质，掌握角平分线的画法，三角形全等的判定和性质是解题的关键．【变式6-1】（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在▱ABCD 中，点E 是CD 边的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接BE ，BE ⊥AF ．(1)求证：△ADE≌△FCE ；(2)求证：AE 平分∠DAB ；(3)若∠DAB =60°，AB =4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得∠D =∠ECF ，根据对顶角相等，∠DEA =∠CEF ，再根据点E 是CD 边的中点，即可求证；（2）通过证明△ABF为等腰三角形，即可求证；（3）由题意可得，▱ABCD的面积等于△ABF的面积，利用含30°角直角三角形的性质，即可求解．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∵点E是CD边的中点，∴DE=CE，又∵∠DEA=∠CEF，∴△ADE≌△FCE(ASA)；（2）证明：由（1）可得△ADE≌△FCE，∴AE=EF，即BE为△ABF的中线，∠F=∠DAE，又∵BE⊥AF，∴△ABF为等腰三角形，∴AB=BF，∠F=∠BAE∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠DAB；（3）解：由（2）可得AE平分∠DAB；又∵∠DAB=60°∴∠EAB=30°，∵BE⊥AF，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，∠EAB=30°，AB=4，∴BE=12AB=2，∴AE=∴AF=2AE=由（1）可得△ADE≌△FCE，则S△ADE =S△CEF，∴S▱ABCD=S△ABF=12AF×BE=【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．【变式6-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF(1)求证：AE =CF ；(2)若AD =AE ，∠DFC =140°，求∠DAE 的度数=______【答案】(1)见解析(2)100°【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥DC 、AB =CD 即∠ABE =∠CDF ，然后证得△ABE≅△CDF 即可证得结论；（2）由△ABE≅△CDF 可得∠AEB =∠CFD =140°，进而求得∠AED ，再根据AD =AE 可得∠ADE ，最后根据三角形内角和定理即可解答．【详解】（1）证明：∵平行四边形ABCD∴AB∥DC ，AB =CD ，∴∠ABE =∠CDF在△ABE 和△CDF 中AB =CD ∠ABE =∠CDF BE =DF∴△ABE≅△CDF (SAS)∴AE =CF ．（2）解：∵△ABE≅△CDF ，∠DFC =140°∴∠AEB =∠CFD =140°∴∠AED =180°−∠AEB =40°∵AD =AE∴∠AED =∠ADE =40°∴∠DAE =180°−∠AED−∠ADE =100°．故答案为：100°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．【变式6-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F.(1)求证：OE=OF；(2)若BC=4，AB=3，OF=2，求四边形CDFE的周长.【答案】(1)见解析(2)四边形CDFE的周长为11【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF(ASA)，则可证得结论；（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAF=∠OCE，∵在△OAF和△OCE中∠OAF=∠OCEOA=OC∠AOF=∠COE，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OF=OE．（2）解：∵△AOF≌△COE，∴AF=CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∵BC=4，AB=3，OE=OF=2，∴C四边形CDFE =EF+DF+CE+CD=2OE +DF +AF +CD=2OE +AD +CD=4+4+3=11．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．【题型7 利用平行四边形的性质求最值】【例7】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ，若AC =5cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE =CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE =AC =5，∠EAB =∠CAD ，则∠EAC =∠EAB +∠BAC =∠DAC +∠BAC =∠BAD =90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．(2)如图2，在△ABC 中，∠ACB =90°，且AC +BC =4，求线段AB 的最小值．(3)如图3，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且∠BOC =60°；AC +BD =10，则AD 是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD 的最小值及此时平行四边形ABCD 的面积．【答案】(1)12.5(2)(3)不是，52，4【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形AEC 的面积，从而可以得到四边形ABCD 的面积；（2）由勾股定理可得AB（3）由平行四边形的性质可得BO+CO=5，AD=BC，由勾股定理可求BC=可求BC的最小值，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得，AE=AC=5，∠EAC=90°，则△EAC的面积=12×AE⋅AC=12×5×5=12.5(cm2)，即四边形ABCD的面积为12.5cm2，故答案为：12.5；（2）解：∵AC+BC=4，∴BC=4−AC，∵∠ACB=90°，∴AB∴当AC=2时，AB取最小值，最小值为（3）解：如图，过点B作BH⊥AC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，AD=BC，∵AC+BD=10，∴BO+CO=5，∴CO=5−BO，∵∠BOC=60°，BH⊥AC，∴∠OBH=30°，∴HO=12BO，BH==，∴CH=CO−HO=5−32BO，∵BC =∴当BO =52时，BC 有最小值52，即AD 的最小值为52，此时：BO =BC =52，∠BOC =60°，∴ △BOC 是等边三角形，∴S ▱ABCD =4S △BOC =4综上可知，AD 不是定值，AD 的最小值为52，此时平行四边形ABCD 的面积为4．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．【变式7-1】（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC 中，AB =BC =10，AC =12，D 是BC 边上任意一点，连接AD ，以AD ，CD 为邻边作平行四边形ADCE ，连接DE ，则DE 长的最小值为___________．【答案】9.6【分析】设AC,ED 交于点O ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，勾股定理求得OB ，等面积法求得OF ，根据垂线段最短，当点D 与点F ，重合时，OD 最小，进而求得DE 的最小值，即可求解．【详解】设AC,ED 交于点O ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，如图所示，在四边形ADCE 中，AO =CO ，EO =DO ，∵AB =BC =10，∴BO ⊥AC ，∵AC =12，∴AO =CO =6,在Rt △BOC 中，BO ==8，∵S △OBC =12CO ⋅BO =12BC ⋅OF ，∴OF =4.8，当点D 与点F ，重合时，OD 最小，∴ED 的最小值为2OD =9.6．故答案为：9.6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．【变式7-2】（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，BC =6，∠ABC =60°，BE 平分∠ABC ，点F 为BC 上一点，点G 为BE 上一点，连接CG ，FG ，则CG +FG 的最小值为_________．【答案】【分析】在AB 上取一点H ，使BH =BF ，则GF =GH ，所以CG +FG =CG +HG ，因此当C 、G 、H 在同一直线上，且CH ⊥AB 时，CG +FG =CG +HG 最小，最小值为CH ．【详解】在AB 上取一点H ，使BH =BF ，∵BE 平分∠ABC ，∴GF =GH ，∴CG+FG=CG+HG，∴当C、G、H在同一直线上，且CH⊥AB时，CG+FG=CG+HG最小，最小值为CH．∵BC=6，∠ABC=60°，∴∠BCH=30°，∴BC=2BH，BC=3，∴BH=12∴CH=故答案为：【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．，∠ACB=30°，AC⊥AB，【变式7-3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，AO=32点E在AC上，CE=1，点P是BC边上的一动点，连接PE、PA，则PE+PA的最小值是________．【分析】过点A作直线BC的对称点F，连接EF交BC于点P，此时PE+PA有最小值，最小值为EF的长，过点E作直线CF的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：过点A作直线BC的对称点F，连接AF、FC，连接EF交BC于点P，此时PE+PA有最小值，最小值为EF的长，∵点A与点F关于直线BC对称，∴CA =CF ，∠ACB =∠FCB =30°，则∠ACF =60°，∴△ACF 是等边三角形，∵在▱ABCD 中，AO =32，∴CF =AC =2AO =3，过点E 作直线CF 的垂线，垂足为点G ，∵∠ACF =60°，∴∠CEG =30°，∴CG =12CE =12，EG =2，∴FG =FC−CG =52，∴EF ==∴PE +PA【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】【例8】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =9cm ，BC =24cm ，E 是BC 的中点． 动点P 从点A 出发沿AD 向终点D 运动，动点P 平均每秒运动1 cm ；同时动点Q 从点C 出发沿CB 向终点B 运动，动点Q 平均每秒运动2 cm ，当动点P 停止运动时，动点Q 也随之停止运动．(1)当动点P 运动t (0<t <9)秒时，则PD =________；(用含t 的代数式直接表示)(2)当动点Q 运动t 秒时，① 若0<t <6，则EQ =________；(用含t 的代数式直接表示)② 若6<t <9，则EQ =________；(用含t 的代数式直接表示)(3)当运动时间t 为多少秒时，以点P ，Q ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？【答案】(1)9−t ；(2)①12−2t ；② 2t−12；(3)t 为3秒或7秒时．【分析】（1）根据题意得：AP =t ，AD =9，即可得出答案；（2）①若0<t <6，CQ =2t ，CE =12，即可得出EQ =12−2t ；② 若6<t <9，CQ =2t ，CE =12，即可得出EQ =2t−12；（3）分别从当Q 运动到E 和C 之间和当Q 运动到E 和B 之间，去分析求解即可求出答案．【详解】（1）解：根据题意得：AP =t ，AD =9，∴PD =AD−AP =9−t ，故答案为：9−t ；（2）解：①若0<t <6，CQ =2t ，CE =12BC =12×24=12，∴EQ =12−2t ，故答案为：12−2t ；② 若6<t <9，CQ =2t ，CE =12BC =12×24=12，∴EQ =2t−12，故答案为：2t−12；（3）解：如图所示：∵E 是BC 的中点，∴BE =12BC =12×24=12，① 当Q 运动到E 和C 之间时，设运动时间为t ，则：12−2t =9−t ，解得：t =3，② 当Q 运动到E 和B 之间时，设运动时间为t ，则：2t−12=9−t ，。

《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】 总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确； （3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。