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第三章 静态场边值问题的解法静电场和恒定电场的边值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。
求解边界值问题的方法，可以分为解析法和数值法两大类。
解析法中的分离变量法是解拉普拉斯方程的最基本方法，本章将介绍在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中拉普拉斯方程的解；以及某些特定情况下，用镜像法求拉普拉斯方程的特解。
3.1唯一性定理静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程式或拉普拉斯方程式的解，这种求解称为偏微分方程法。
3.3.1边值问题的分类根据问题所给的边界条件不同，边值问题分为以下三类：1） 第一类边值问题是指所给定的边界条件为整个边界上的电位值，又称为狄里赫利问题；2） 第二类边值问题是指所给定的边界条件为整个边界上的电位法向导数值，又称为纽曼问题；3） 第三类边值问题是指所给定的边界条件部分为电位值，部分为电位法向导数值，又称为混合边值问题。
如果边界是导体，则上述三类问题变为：已知各导体表面的电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体表面的电位和另一部分导体的电荷量。
3.3.2唯一性定理在边值问题的求解中，对于一维问题可以直接用积分方法求解，但是二、三维问题如果用积分求解会变得非常复杂，对于这一类问题一般可采用间接求解方法。
在讨论这些方法之前，需要解决这样一个问题：满足泊松方程或拉普拉斯方程和给定的边界条件的解是否唯一？在什么条件下是唯一的？答案是只有一个唯一解，这就是唯一性定理。
此定理的表述十分简单：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解ϕ是唯一的。
也就是说，若要保证ϕ为问题的唯一正确解，ϕ必须满足两个条件。
第一， 要满足方程2ρϕε∇=-或20ϕ∇=，这是必要条件；第二， 在整个边界上满足所给定的边界条件。
所谓边界条件包含了边值问题给出的三种情况。
证明 解的唯一性定理证明用的是反证法，即假定在表面为S 的空间V 内有两组不同的解ϕ和ϕ'，它们都满足同一个边界条件及方程，即有2ρϕε∇=-和 2ρϕε'∇=-取两解之差ϕϕϕ*'=-，在V 内ϕ*一定满足拉普拉斯方程 2222()0ϕϕϕϕϕ*''∇=∇-=∇-∇= 利用格林第一恒等式， 2()VSdV dS nψϕψϕψϕ∂∇+∇⋅∇=∂⎰⎰令式中的ϕψϕ*==，得22[()]VSdV dS nϕϕϕϕϕ*****∂∇+∇=∂⎰⎰因为20ϕ*∇=，所以2()VSdV dS nϕϕϕ***∂∇=∂⎰⎰ （3.1）1） 在边界S 上，对于第一类边值问题，由于两个解ϕ和ϕ'都满足同样的边界条件，所以有|||0S S S ϕϕϕ*'=-=，代入（3.1）式得到2()0VdV ϕ*∇=⎰因为被积函数2()φ*∇ 一定为正值，因此要使积分为零，必须有20ϕ*∇=，即ϕϕϕ*'=-=常数我们在引入电位函数时就曾指出，电位ϕ的绝对值无意义，因为ϕ和C ϕ+代表的是同一电场，所以ϕ和ϕ'实际上是一个解，亦即解是唯一的。
第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场是电磁场的一种特珠形式。
当场源（电荷、电流）不随时间变化时，所激发的电场、磁场也不随时间变化，称为静态电磁场。
静止电荷产生的静电场、在导电媒质中恒定运动电荷形成的恒定电场以及恒定电流产生的恒定磁场都属于静态电磁场。
由麦克斯韦方程组可以看出，当场量不随时间变化时，电场矢量满足的方程和磁场矢量满足的方程是相互独立的，也就是说在静态情况下，电场和磁场是各自存在的，我们可以分别讨论。
本章将分别介绍静电场、恒定电场和恒定磁场的分析方法，最后介绍静电场边值问题的解法。
3.1 静电场分析静电场是静止电荷激发的，是电磁场的一种重要的和特珠的形式。
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件1． 基本方程考虑到电磁场的源量（静止电荷q ）和场量（E 、D ）不随时间变化这一特征，由麦克斯韦方程组得出静电场的基本方程为积分形式d d (3.1.1)d 0(3.1.2)SV cVρ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰D S E l微分形式(3.1.3)0(3.1.4)ρ⎧∇⎪⎨∇⨯=⎪⎩D =E以及ε=D E （3.1.5）基本方程表明静电场是有源（通量源）无旋场，静止电荷是产生静电场通量源；电力线（E 线）从正的静止电荷发出，终于负的静止电荷。
2. 边界条件在两种电介质的分界面上，电场强度满足以下关系式()120n ⨯-=e E E 或 12t t E E = （3.1.6）表明电场强度的切向分量是连续的。
电位移矢量满足的关系式是()12n s ρ-=e D D 或 12n n s D D ρ-= （3.1.7）表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。
若分界面上不存在面电荷，即0S ρ=，则()120n -=e D D 或 12n n D D = （3.1.8）此时，在分界面上，D 的法向分量是连续的。
式（3.1.8）可改写为1122n n E E εε=可见，当12εε≠时E 的法向分量是不连续的，这是因为分界面上存在束缚电荷密度。
