2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第八章第二节两条直线的位置关系

§8.2 两条直线的位置关系 考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．一、两条直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(2)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.2．两条直线垂直(1)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.二、两条直线的交点坐标已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则交点P 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝0的解．三、三种距离公式1．两点间的距离公式(1)条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．(2)结论：|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x2＋y2.2．点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2. 3．两条平行直线间的距离两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C1－C2|A2＋B2. 微思考1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1不同时为0；A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2的充要条件是什么，l 1⊥l 2的充要条件是什么？提示 l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，且B 1C 2≠B 2C 1(或A 1C 2≠A 2C 1)；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点的坐标是什么？提示 (2a －x 0,2b －y 0)．3．点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，列出P ，Q 坐标的关系式．提示 ⎩⎪⎨⎪⎧ y2－y1x2－x1·k ＝－1，y1＋y22＝k ·x1＋x22＋b.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × )(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx0＋b|1＋k2.( × ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )题组二 教材改编2．已知P (－2，m )，Q (m ,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.答案 1解析 由题意知m －4－2－m＝1， 所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.3．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.4．两平行直线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0之间的距离为________．答案 21313 解析 因为l 1∥l 2，所以由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－8－(－10)|22＋32＝21313. 题组三 易错自纠5．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2(m ≠0)，故m ＝2或－3.故选C.6．(多选)等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(4,6)D ．(6,4) 答案 AC解析 设B (x ，y )，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ kAC ·kBC ＝－1，|BC|＝|AC|，即⎩⎨⎧ 3－43－0·y －3x －3＝－1，(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝6，所以B (2,0)或B (4,6)．故选AC.题型一 两条直线的平行与垂直1．已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2答案 D解析 方法一 ∵直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0的斜率存在．又∵l 1∥l 2，∴a －1－2＝－1a， ∴a ＝－1或a ＝2，又两条直线在y 轴上的截距不相等．∴a ＝－1或a ＝2时满足两条直线平行．方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0得，(a －1)a －1×2＝0，解得a ＝－1或a ＝2.由A 1C 2－A 2C 1≠0，得(a －1)×3－1×1≠0.所以a ＝－1或a ＝2.2．若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 等于( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8答案 B解析 由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4×25＝－1，a ＋4c －2＝0,2－5c ＋b ＝0，解得a ＝10，c ＝－2，b ＝－12.∴a ＋b ＋c ＝－4.3．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0答案 A解析 因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0. 4．已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 答案 D解析 由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23. 思维升华 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．题型二 两直线的交点与距离问题1．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行) ∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1>0，解得－16<k <12. 2．求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________．答案 5x ＋3y －1＝0解析 先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率为35求出l 的斜率为－53， 于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0. 3．(2020·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．答案 [0,10]解析 由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5. 又|15－3a|5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10， 所以a 的取值范围是[0,10]．4．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________． 答案 2910解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三 对称问题命题点1 中心对称例1 (1)直线x －2y －3＝0关于定点M (－2,1)对称的直线方程是________________．答案 x －2y ＋11＝0解析 设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2,1)的对称点(－4－x ,2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0.(2)过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题点2 轴对称例2 (1)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. (2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________．答案 x －2y ＋3＝0解析 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x02－y ＋y02＋2＝0，x －x0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝y －2，y0＝x ＋2，∵点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.思维升华 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)几个常用结论①点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．②点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )．③点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ,2b －y )．跟踪训练1 (1)(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－3，b ＝16 C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－13，b ＝－6 答案 D解析 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，所以直线y ＝ax ＋2上的点(0,2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上， 所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13. (2)已知直线l ：y ＝3x ＋3，则点P (4,5)关于l 的对称点的坐标为________．答案 (－2,7)解析 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则线段PP ′的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋42，y ′＋52在直线l 上， 且直线PP ′垂直于直线l ，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ′＋52＝3·x ′＋42＋3，y ′－5x ′－4·3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－2，y ′＝7.∴点P ′的坐标为(－2,7)．题型四 直线系方程的应用命题点1 平行直线系、垂直直线系例3 (1)与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程为________．答案 3x ＋4y －11＝0解析 由题意，可设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)，又因为直线l 过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11.因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.(2)经过点A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程为________．答案 x －2y ＝0解析 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.命题点2 过两直线交点的直线系例4 已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 方法一 解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0,2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.方法二设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0，由法一可知P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.方法三设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.思维升华几种常见的直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.跟踪训练2 求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3,1)，B(5,7)等距离的直线方程．解设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，由点A(－3,1)，B(5,7)到所求直线距离相等，可得|(2＋7λ)×(－3)＋(7－21λ)×1－4－λ|(2＋7λ)2＋(7－21λ)2＝|(2＋7λ)×5＋(7－21λ)×7－4－λ|(2＋7λ)2＋(7－21λ)2，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝2935或λ＝13，所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.课时精练1．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为()A.1a B ．a C ．－1a D ．－1a或不存在 答案 D解析 设直线l 1，l 2的斜率分别是k 1，k 2，当a ≠0时，由l 1⊥l 2得k 1·k 2＝a ·k 2＝－1，∴k 2＝－1a； 当a ＝0时，l 1与x 轴平行或重合，则l 2与y 轴平行或重合，∴直线l 2的斜率不存在．故直线l 2的斜率为－1a或不存在．2．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若两直线平行，则a (a ＋1)＝2，即a 2＋a －2＝0，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件．3．已知直线l 过点(0,7)，且与直线y ＝－4x ＋2平行，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－4x －7B ．y ＝4x －7C ．y ＝4x ＋7D ．y ＝－4x ＋7答案 D解析 过点(0,7)且与直线y ＝－4x ＋2平行的直线方程为y －7＝－4x ，即直线l 的方程为y ＝－4x ＋7，故选D.4．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( )A ．－12B ．－2C ．0D ．10答案 A解析 由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得p ＝－2，∴垂足坐标为(1，－2)．又垂足在直线2x －5y ＋n ＝0上，得n ＝－12.5．(2021·河北五校联盟质检)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A.2 B.823 C.3 D.833答案 B解析 因为a ＝0或a ＝2时，l 1与l 2均不平行，所以a ≠0且a ≠2.因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a， 解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0， 所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.6．(多选)定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax0＋by0＋c a2＋b2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题不正确的是( )A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交答案 BCD解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a2＋b2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，P 1P 2不一定与l 垂直，错误；对于C ，若d 1＝d 2＝0，满足d 1＋d 2＝0，即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误；对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．7．(多选)点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2，－1)D ．(－2,1) 答案 AC解析 设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3x0＋y0－5＝0，|x0－y0－1|2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝1，y0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝2，y0＝－1，所以点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选AC.8．(多选)(2021·苏州模拟)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是( )A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |的最大值是2答案 ABD解析 对于A ，a ×1＋()－1×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确．对于C ，在l 1上任取点()x ，ax ＋1，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为()－ax －1，－x ，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不等于0，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－a －1a2＋1，y ＝－a ＋1a2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a2＋1，－a ＋1a2＋1， 所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a2＋12＝2a2＋1≤2， 所以|MO |的最大值是2，故D 正确.故选ABD.9．直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是______________．答案 3x ＋4y ＋5＝0解析 在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.10．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为____．答案 －13或－79解析 由点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a2＋1＝|6a ＋3＋1|a2＋1， 解得a ＝－13或－79. 11．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为_______．答案 3x ＋19y ＝0解析 过两直线交点的直线系方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－45，故所求直线方程为x －3y ＋4－45(2x ＋y ＋5)＝0，即3x ＋19y ＝0. 12．设光线l 从点A (－4，3)出发，经过x 轴反射后经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，则光线l 与x 轴的交点为________，若该入射光线l 经x 轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为________．答案 (－1,0) －3解析 点A (－4，3)关于x 轴的对称点为A ′(－4，－3)，则直线A ′B ：y ＝33x ＋33与x 轴交于点(－1,0)，所以光线l 与x 轴的交点为()－1，0；由入射角是60°，得折射角是30°，且光线经过(－1,0)，得出折射光线所在直线方程为y ＝－3x －3，所以纵截距为－3.13．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为( )A.5B.6 C ．23 D ．25答案 A解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2.把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0.∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )到原点的距离d ＝m2＋n2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5≥5， 当n ＝－2，m ＝－1时取等号．∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为5.14．在平面直角坐标系内，已知A (1,2)，B (1,5)，C (3，6)，D (7，－1)，则平面内任意一点到点A 与点C 的距离之和的最小值为________，平面内到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点的坐标是________．答案 2 5 (2,4)解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |＝25，当且仅当A ，M ，C 共线，且M 在A ，C 之间时取等号，同理，|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线，且M 在B ，D 之间时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，此时|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求点．因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又因为k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，所以直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，所以M (2,4)．15．(多选)(2020·福州期末)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(0，－2)答案 AD解析 设C (x ，y )，AB 的垂直平分线为y ＝－x ，△ABC 的外心为欧拉线方程x －y ＋2＝0与直线y ＝－x 的交点M (－1,1)，∴|MC |＝|MA |＝10， ∴(x ＋1)2＋(y －1)2＝10，①由A ()－4，0，B ()0，4，△ABC 重心为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43，y ＋43， 代入欧拉线方程x －y ＋2＝0，得x －y －2＝0，②由①②可得x ＝2，y ＝0或x ＝0，y ＝－2.故选AD.16．已知点A (4，－1)，B (8,2)和直线l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，则|PA |＋|PB |的最小值为________．答案 65解析 设点A 1与A 关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点，∴|P 0A 1|＝|P 0A |，|PA 1|＝|PA |.|PA 1|＋|PB |≥|A 1B |＝|A 1P 0|＋|P 0B |＝|P 0A |＋|P 0B |，∴|PA |＋|PB |≥|P 0A |＋|P 0B |＝|A 1B |.当P 点运动到P 0时，|PA |＋|PB |取得最小值|A 1B |.设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y1＋1x1－4·1＝－1，x1＋42－y1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x1＝0，y1＝3，∴A 1(0,3)．∴(|PA |＋|PB |)min ＝|A 1B |＝82＋(－1)2＝65.。

两条直线的位置关系〖考试要求〗 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[常用结论]直线系方程的常见类型(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )； (3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)； (4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2)．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1. ( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交． ( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离． ( )〖答案〗 (1)× (2)× (3) √ (4)√ 二、教材习题衍生1．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1 D ．2＋1 C 〖由题意得|a －2＋3|2＝1，即|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1.〗2．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝ . 1 〖由题意知m －4－2－m ＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.〗3．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为 ．－9 〖由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.〗4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是 ． 2 〖由两直线平行可知36＝4m，即m ＝8.∴两直线方程分别为3x ＋4y －3＝0和3x ＋4y ＋7＝0，则它们之间的距离d ＝|7＋3|9＋16＝2.〗考点一 两条直线的位置关系由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2平行的充要条件 A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2≠A 2C 1l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2相交的充要条件 A 1B 2≠A 2B 1l 1与l 2重合的充要条件A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2＝A 2C 11．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A 〖当a ＝1时，显然l 1∥l 2， 若l 1∥l 2，则a (a ＋1)－2×1＝0， 所以a ＝1或a ＝－2.所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．〗2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．12 B ．32 C ．14 D ．34D 〖由已知得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝34.〗3．已知三条直线l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23D 〖∵三条直线不能构成一个三角形， ∴①当l 1∥l 3时，m ＝23；②当l 2∥l 3时，m ＝－43；③当l 1，l 2，l 3交于一点时，也不能构成一个三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，得交点为⎝⎛⎭⎫－1，－13，代入mx －y －1＝0，得m ＝－23.故选D ．〗 点评：解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”考点二 两条直线的交点与距离问题1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等． 〖典例1〗 (1)(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为 ． (3)已知两直线a 1x ＋b 1y －1＝0和a 2x ＋b 2y －1＝0的交点为P (2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程为 ．(1)B (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 (3)2x ＋3y －1＝0〖(1)法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)的距离d ＝|k ·0＋(－1)·(－1)＋k |k 2＋1＝|k ＋1|k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k k 2＋1.当k ＝0时，d ＝1；当k ≠0时，d ＝1＋2kk 2＋1＝1＋2k ＋1k，要使d 最大，需k ＞0且k ＋1k 最小，∴当k ＝1时，d ma x ＝2，故选B ．法二：记点A (0，－1)，直线y ＝k (x ＋1)恒过点B (－1,0)，当AB 垂直于直线y ＝k (x ＋1)时，点A (0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)的距离最大，且最大值为|AB |＝2，故选B ．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． (3)∵P (2,3)在已知的两条直线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＝1，2a 2＋3b 2＝1.∴点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)是直线2x ＋3y ＝1上的两个点，故过Q 1，Q 2两点的直线方程为2x ＋3y ＝1.〗点评：本例(3)在求解中巧妙应用了两点确定一条直线的原理，学习中应反思这个解题要点．[跟进训练]1．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A ．95B ．185C ．2910D ．295C 〖因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.〗 2．经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为 ．x ＋2y －7＝0 〖由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋C ＝0， 则1＋2×3＋C ＝0，∴C ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.〗考点三 对称问题对称问题的求解方法(1)点关于点：点P (x ，y )关于点Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (3)点关于线：点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.(4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．中心对称问题〖典例2－1〗 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为 ．x ＋4y －4＝0 〖设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.〗点评：点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解．轴对称问题〖典例2－2〗 (1)已知直线y ＝2x 是△ABC 中角C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)(2)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为 ．(1)C (2)6x －y －6＝0 〖(1)设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴A ′(4，－2)，由题意知，A ′在直线BC 上，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)． (2)设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.即M ′(1,0)．又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.〗点评：在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．[跟进训练]1.如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3B ．6C ．210D ．25C 〖直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.〗2．若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝ .345〖由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.〗。

课时跟踪检测(五十) 两直线的位置关系1．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)3．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋yn ＝1的距离为( )A.m 2＋n 2B.m 2－n 2C.n 2－m 2D.m 2±n 24．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则实数a ＝( ) A.23 B ．－1 C ．2D ．－1或25．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝06．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝07．(2012·郑州模拟)若直线l 1：ax ＋2y ＝0和直线l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．8．(2012·临沂模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．9．(2013·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，恒过定点________． 10．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0，4)的距离之差最大．11．(2013·济南模拟)已知△ABC三边的方程为：AB：3x－2y＋6＝0，AC：2x＋3y－22＝0，BC：3x＋4y－m＝0；(1)判断三角形的形状；(2)当BC边上的高为1时，求m的值．12．(2013·荆州二检)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l的方程．1．已知平面内两点A(1,2)，B(3,1)到直线l的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l的条数为()A．1 B．2C．3 D．42．(2013·福建模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是() A．2 B．2 2C．4 D．2 33．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．答 案 课时跟踪检测(五十)A 级1．选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k＜12，所以kk －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限． 2．选B 由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．3．选A 把直线方程化为nx ＋my －mn ＝0，根据点到直线的距离公式得所求距离d ＝|n (m －n )＋m (－m )－mn |m 2＋n 2＝m 2＋n 2m 2＋n2＝m 2＋n 2.4．选B 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a1＋a ≠3，，解得a ＝－1.5．选C 由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2,2)，当l 的斜率不存在时不满足条件； 当l 的斜率存在时，设l 的方程为y －2＝k (x －2)， 即kx －y ＋2－2k ＝0， 则|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3.故l 的方程为3x －y －4＝0.6．选A 所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故所求直线的斜率为－12，所以直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.7．解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－12.答案：－128．解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．答案：[0,10]9．解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.答案：(－2,3)10．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|P A |－|PB |的值最大．设B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a ＝－1.则a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝⎛⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，则3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)． 于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)． 11．解：(1)直线AB 的斜率为k AB ＝32，直线AC 的斜率为k AC ＝－23，所以k AB ·k AC ＝－1.所以直线AB 与AC 互相垂直． 因此△ABC 为直角三角形．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋6＝0，2x ＋3y －22＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝6，即A (2,6)． 由点到直线的距离公式得 d ＝|3×2＋4×6－m |32＋42＝|30－m |5，当d ＝1时，|30－m |5＝1，即|30－m |＝5，解得m ＝25或35.12．解：设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0， 解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵|AB |＝2， ∴⎝⎛⎭⎫53k ＋42＋⎝⎛⎭⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k 2－48k －7＝0， 解得k 1＝7或k 2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.B 级1．选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线共3条．2．选C 设原点到点(m ，n )的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2，又因为(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m 2＋n 2的最小值为4.3．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎨⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③及④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.。

[微点提醒]
1.两直线平行的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝ 0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).
2.两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
第2节 两直线的位置关系
考试要求 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程 组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距 离公式，会求两条平行直线间的距离.
知识梳理
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔___k_1_＝__k_2 __.特别 地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2__平__行___. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔__k_1_·_k2_＝__－__1__，当一条直线 斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线__垂__直___.
|Ax0＋By0＋C|
平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝____A_2_＋__B_2____.
(3)两条平行线间的距离公式
|C1－C2|
一般地，两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝____A_2＋__B__2__.
(2)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合； 当 a≠1 时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝1－1 ax－(a＋1)， 由 l1⊥l2，得－a2·1－1 a＝－1⇒a＝23. 法二 ∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0， 即 a＋2(a－1)＝0，得 a＝23.