线性代数--第二章 矩阵及其运算

教 案

课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日

第 次 第1－1页 授课章节 第二章 矩阵 §2.1矩阵 §2.2矩阵的运算

目的要求 理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算

重 点 矩阵的运算

难 点 矩阵的乘法

§2.1矩阵

前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。但是Cramer法则有它的局限性：

1. 系数行列式0D；

2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。

接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。

一、矩阵的概念

矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等

例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示

表 1 产地销地调配情况表

销地

产地 B1 B2 B3 B4

A1 1 6 3 5

A2 3 1 2 0

A3 4 0 1 2

那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：

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课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日

第 次 第1－2页 210402135361

在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。

章节 第2章 课题 矩阵及其运算

计划课时数 10 授课班级 04级计算机系专升本10-13班

教学目的 理解矩阵的概念、熟练掌握矩阵的各种运算;理解逆矩阵的概念；熟悉矩阵可逆的充要条件；掌握两种［定义、伴随矩阵］求逆方法；熟悉矩阵的分块运算。

教学重点 矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法；分块求逆方法。

教学难点 矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆方法

教学方法和手段 讲授 习题课 答疑

备注

教 学 内 容 批注

第二章 矩阵及其运算

矩阵是将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算，使得问题简洁和易于了解本质。矩阵不仅是解线性方程组的有力工具，而且是线性空间内线性变换的表现形式，因此有关矩阵的理论构成了线性代数的基本内容。

本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。

§1 矩阵

1、矩阵的概念

054132yxyx

0541322121xxxx

5432A 054132B

定义 由nm个数).,2,1;,,2,1(njmiaij排成m行n列的数表：

称为一个nm矩阵，简记为nmijaA，其中ija表示位于数表中第i行第j列的数，称为矩阵A的),(ji元（或者元素）。常用大写英文黑体字母来表示矩阵，如XCBA,,,,等。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中若无特殊说明，一般是指实矩阵。

两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵。

如果矩阵nmijaA和nmijbB是同型矩阵，且它们的对应元素相等，即

mnmmnnaaaaaaaaa212222111211教 学 内 容 批注

线性代数第三版习题答案

第一章：向量空间与线性组合

1. 向量空间的定义与性质

- 向量空间的定义

- 向量空间的性质：封闭性、加法逆元、标量乘法等

2. 线性组合与基

- 线性组合的概念

- 基的定义及其重要性

- 基的构造方法

3. 向量空间的维数

- 维数的定义

- 维数与基的关系

第二章：矩阵及其运算

1. 矩阵的定义与表示

- 矩阵的基本概念

- 矩阵的表示方法

2. 矩阵的加法、数乘与乘法

- 矩阵加法的规则

- 矩阵数乘的定义

- 矩阵乘法的规则与性质

3. 矩阵的逆与行列式 - 可逆矩阵的条件

- 行列式的定义与计算方法

第三章：线性变换

1. 线性变换的定义与性质

- 线性变换的概念

- 线性变换的性质：加法和数乘的保持性

2. 线性变换与矩阵

- 线性变换的矩阵表示

- 矩阵与线性变换的关系

3. 特征值与特征向量

- 特征值与特征向量的定义

- 特征值与特征向量的计算方法

第四章：线性方程组

1. 线性方程组的解法

- 高斯消元法

- 矩阵分解法

2. 线性方程组的解的结构

- 唯一解、无穷多解和无解的条件

- 解空间的维数

3. 线性方程组的应用

- 在经济学、物理学等领域的应用示例

第五章：特征值问题与矩阵分解

1. 特征值问题的进一步探讨

- 特征值问题的几何意义

- 特征值问题的数值解法

2. 矩阵分解

- 矩阵分解的概念

- 常见的矩阵分解方法：LU分解、QR分解等

3. 矩阵分解的应用

- 在数据分析、信号处理等领域的应用

结语

线性代数作为数学的一个重要分支，在现代科学技术中有着广泛的应用。掌握线性代数的基本概念和方法，对于理解更高层次的数学理论和解决实际问题都具有重要意义。希望这份习题答案能够帮助学生更深入地理解线性代数，并在解决相关问题时更加得心应手。

线性代数知识点总结

第二章 矩阵及其运算

第一节 矩阵

定义 由mn个数1,2,,;1,2,,ijaimjnLL排成的m行n列的数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaaLLMMML称为m行n列矩阵。简称mn矩阵，记作111212122211nnmmmnaaaaaaAaaaLLLLLLL，简记为mnijijmnAAaa，,mnA这个数称为的元素简称为元。

说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

扩展 几种特殊的矩阵：

方阵 ：行数与列数都等于n的矩阵A。 记作：An。

行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。

同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：AB同型,且对应元素相等。记作：A＝B

零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）

对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：En(不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）

注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

第二节 矩阵的运算

矩阵的加法 设有两个mn矩阵ijijAaBb和，那么矩阵A与B的和记作AB，规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABabababLLLLLLL

说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33）

矩阵加法的运算规律

1ABBA；

2ABCABC 1112121222113,()nnijijmnmnmmmnaaaaaaAaAaaaaLLLLLLL设矩阵记，A称为矩阵A的负矩阵