推荐学习K122017届高三数学二轮复习1.4.2数列求和及综合应用课时巩固过关练理新人教版

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推荐学习K12资料 课时巩固过关练 十一 数列求和及综合应用

(35分钟 55分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.(2016·成都一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前2016项和为 ( )

A. B. C. D.

【解析】选A.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.

因为a5=5,S5=15,

所以

所以所以an=a1+(n-1)d=n.

所以==-,所以数列的前2016项和为1-+-+…+-

=1-=.

2.(2016·南阳二模)已知数列{an}满足条件a1+a2+a3+…+an=2n+5,则数列{an}的通项公式为 ( )

A.an=2n+1 B.an=

C.an=2n D.an=2n+2 推荐学习K12资料

推荐学习K12资料 【解析】选B.由题意可知,数列{an}满足条件a1+a2+a3+…+an=2n+5,

则n>1时,有a1+a2+a3+…+an-1=2(n-1)+5,n>1,

两式相减可得:

=2n+5-2(n-1)-5=2,

所以an=2n+1,n>1,n∈N*.

当n=1时,=7,所以a1=14,

综上可知,数列{an}的通项公式为:

an=

3.(2016·安庆一模)各项均不为零的等差数列{an}中,若-an-1-an+1=0(n∈N*,n≥2),则S2016等于 ( )

A.0 B.2 C.2016 D.4032

【解题导引】将-an-1-an+1=0变形为=an-1+an+1,求其通项公式即可.

【解析】选D.由题意得=an-1+an+1=2an,an≠0,

所以an=2.所以Sn=2n,=2×2016=4032.

4.(2016·秦皇岛一模)满足a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),它的前n项和为Sn,则满足Sn>1025的最小n值是 ( )

A.9 B.10 C.11 D.12

【解析】选C.因为a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),所以an+1=2an,an=2n-1,Sn=2n-1,则满足Sn>1025的最小n值是11.

【加固训练】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5

( )

A.9 B.8 C.7 D.6 推荐学习K12资料

推荐学习K12资料 【解析】选B.因为Sn=n2-9n,

所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10,a1=S1=-8适合上式,

所以an=2n-10(n∈N*),

所以5<2k-10<8,得7.5

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.(2016·桂林一模)已知数列{an}中,an+1=2an,a3=8,则数列{log2an}的前n项和等于________.

【解析】因为=2,a3=8,所以a2=4,a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n,所以log2an=n,所以数列{log2an}的前n项和等于.

答案:

6.(2016·太原一模)已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,{bn}的通项公式为bn=2n-1,设cn=anbn,则数列{cn}的前n项和为________.

【解析】因为cn=(2n-1)·2n-1.设{cn}的前n项和为Sn,则Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,

2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,

两式相减得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,

所以Sn=(2n-3)·2n+3.

答案:(2n-3)·2n+3

三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)

7.(2016·开封一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】(1)依题意得, 推荐学习K12资料

推荐学习K12资料 解得

所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,

即an=2n+1(n∈N*).

(2)=3n-1,bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1,

Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1, ①

3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,②

①-②得

-2Tn=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n

=3+2·-(2n+1)3n=-2n·3n,

所以Tn=n·3n(n∈N*).

【加固训练】(2016·石家庄一模)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=λSn+1(n∈N*,λ≠-1),且a1,2a2,a3+3为等差数列{bn}的前三项.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式.

(2)求数列{anbn}的前n项和.

【解析】(1)方法一:因为an+1=λSn+1(n∈N*),

所以an=λSn-1+1(n≥2),

所以an+1-an=λan,即an+1=(λ+1)an(n≥2),λ+1≠0,

又a1=1,a2=λS1+1=λ+1,

所以数列{an}是以1为首项,以λ+1为公比的等比数列,

所以a3=(λ+1)2,

所以4(λ+1)=1+(λ+1)2+3,整理得λ2-2λ+1=0,解得λ=1,

所以an=2n-1,bn=1+3(n-1)=3n-2.

方法二:因为a1=1,an+1=λSn+1(n∈N*),

所以a2=λS1+1=λ+1,a3=λS2+1=λ(1+λ+1)+1=λ2+2λ+1,

所以4(λ+1)=1+λ2+2λ+1+3,整理得λ2-2λ+1=0,解得λ=1, 推荐学习K12资料

推荐学习K12资料 所以an+1=Sn+1(n∈N*),

所以an=Sn-1+1(n≥2),

所以an+1-an=an(n≥2),即an+1=2an(n≥2),

又a1=1,a2=2,

所以数列{an}是以1为首项,以2为公比的等比数列,

所以an=2n-1,

bn=1+3(n-1)=3n-2.

(2)由(1)知,anbn=(3n-2)2n-1,设Tn为数列{anbn}的前n项和,

所以Tn=1×1+4×21+7×22+…+(3n-2)·2n-1, ①

所以2Tn=1×21+4×22+7×23+…+(3n-5)·2n-1+(3n-2)·2n. ②

①-②得,-Tn=1×1+3×21+3×22+…+3·2n-1-(3n-2)·2n

=1+3×-(3n-2)·2n,

整理得:Tn=(3n-5)·2n+5.

8.(2016·成都一模)已知数列{an}的前n项和Sn=-an-+2(n∈N*)，数列{bn}满足bn=2nan.

(1)求证：数列{bn}是等差数列.

(2)设cn=log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn<(n∈N*)的n的最大值.

【解析】(1)因为Sn=-an-+2，令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，

所以a1=，

当n≥2时，Sn-1=-an-1-+2，

所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+， 推荐学习K12资料

推荐学习K12资料 所以2an=an-1+，即2nan=2n-1an-1+1.

因为bn=2nan，即当n≥2时，bn-bn-1=1，又因为b1=2a1=1，

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.

(2)由(1)可得bn=1+(n-1)×1=n=2nan，

所以an=.

所以cn=log2=log22n=n，

所以==-，

所以Tn=+++…++=1+--，

因为Tn<，所以整理得：13n2-45n-100<0，

(13n+20)(n-5)<0，

所以-

所以nmax=4.

(30分钟 55分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,则{|an|}的前n项和Tn= ( )

A.6n-n2 B.n2-6n+18

C. D. 推荐学习K12资料

推荐学习K12资料 【解析】选C.由Sn=n2-6n得{an}是等差数列,且首项为-5,公差为2.

所以an=-5+(n-1)×2=2n-7,

所以n≤3时,an<0;n>3时,an>0,

所以Tn=

2.抛物线x2=y在第一象限内的图象上一点(ai,2)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1,其中i∈N*,若a2=32,则a4+a6+a8等于 ( )

A.64 B.42 C.32 D.

【解题导引】令y=f(x)=2x2,对其求导写出切线方程,即可求解.

【解析】选D.令y=f(x)=2x2,所以y′=f′(x)=4x,则切线斜率k=f′(ai)=4ai,

切线方程为y-2=4ai(x-ai).

令y=0,得x=ai+1=ai.

由a2=32,得a4=8,a6=2,a8=,所以a4+a6+a8=.

3.Sn是等比数列{an}的前n项和,a1=,9S3=S6,设Tn=a1a2a3…an,则使Tn取最小值的n值为

( )

A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】选C.设等比数列的公比为q,故由9S3=S6,得9×=,解得q=2,故=an=×2n-1,易得当n≤5时,<1,即Tn

当n≥6时,Tn>Tn-1,据此数列单调性可得T5为最小值.