[配套K12]2018版高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题2 数列 第4讲 数列求和教学案 理

教育配套资料K12

教育配套资料K12 第4讲 数列求和

题型1 数列中an与Sn的关系

(对应学生用书第11页)

■核心知识储备………………………………………………………………………·

1．数列{an}中，an与Sn的关系：

an＝ S1 n＝，Sn－Sn－1n

2．求数列{an}通项的方法：

(1)叠加法

形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的数列应用叠加法求通项公式，an＝a1＋∑nk＝2f(k)(和可求)．

(2)叠乘法

形如anan－1＝f(n)(n≥2)的数列应用叠乘法求通项公式，an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1(积可求)．

(3)待定系数法

形如an＝λan－1＋μ(n≥2，λ≠1，μ≠0)的数列应用待定系数法求通项公式，an＋μλ－1＝λan－1＋μλ－1构造新数列an＋μλ－1为等比数列．

■典题试解寻法………………………………………………………………………·

【典题1】 (考查已知an与Sn的递推关系求Sn)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2.若首项a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

[解析] 因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，故{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，3为公比的等比数列，

所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1.

Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3n－1)＝(31＋32＋…＋3n)－n＝－3n1－3－n＝3n＋1－32－n， 教育配套资料K12

教育配套资料K12 所以Sn＝3n＋1－32－n＝3n＋1－2n－32.

[答案] 3n＋1－2n－32

【典题2】 (考查已知an与Sn的递推关系求an)数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足2ananSn－S2n＝1(n≥2)．求数列{an}的通项公式．

[解] 由已知，当n≥2时，2ananSn－S2n＝1，

所以Sn－Sn－1Sn－Sn－1Sn－S2n＝1，

即Sn－Sn－1－Sn－1Sn＝1，所以1Sn－1Sn－1＝12.

又S1＝a1＝1，

所以数列1Sn是首项为1，公差为12的等差数列，

所以1Sn＝1＋12(n－1)＝n＋12，

即Sn＝2n＋1.

所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝－2nn＋.

因此an＝ 1，n＝1，－2nn＋，n≥2.

[类题通法]

给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝ann转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.

提醒：在利用an＝Sn－Sn－1n求通项公式时，务必验证n＝1时的情形

■对点即时训练………………………………………………………………………·

1．已知数列{an}满足an＋1＝11－an，若a1＝12，则a2 018＝( )

A．－1 B．12

C．1 D．2

D [由a1＝12，an＋1＝11－an，得a2＝11－a1＝2，a3＝11－a2＝－1，a4＝11－a3＝12，a5＝11－a4教育配套资料K12

教育配套资料K12 ＝2，…，

于是归纳可得a3n－2＝12，a3n－1＝2，a3n＝－1，因此a2 018＝a3×672＋2＝2.故选D.]

2．已知数列{an}前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n ，则Sn＝__________.

n·2n(n∈N*) [由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即Sn2n－Sn－12n－1＝1，所以数列Sn2n是首项为1，公差为1的等差数列，则Sn2n＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)．]

■题型强化集训………………………………………………………………………·

(见专题限时集训T1、T2、T3、T4、T5、T7、T8、T10、T11、T12)

题型2 裂项相消法求和(答题模板)

(对应学生用书第12页)

裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于1anan＋1或1anan＋2(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．(2017·全国Ⅱ卷T15、2015·全国Ⅰ卷T17、2015·全国Ⅱ卷T16)

■典题试解寻法………………………………………………………………………·

【典题】 (本小题满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a2n＋2an＝4Sn＋3.①

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝1anan＋1，②求数列{bn}的前n项和.

【导学号：07804027】

[审题指导]

题眼 挖掘关键信息

① 看到a2n＋2an＝4Sn＋3，

想到a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，两式作差，求{an}.

② 看到bn＝1anan＋1，

想到先求bn，想到能否裂项.

[规范解答] (1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.③ 1分

两式相减可得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 2分

即an＋1＋an＝a2n＋1－a2n＝an＋1＋anan＋1－an.④ 教育配套资料K12

教育配套资料K12 由于an＞0⑤，所以an＋1－an＝2. 4分

又由a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 5分

所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1. 6分

(2)由an＝2n＋1可知bn＝1anan＋1＝1n＋n＋＝1212n＋1－12n＋3.⑥

设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝

1213－15＋15－17＋…＋12n＋1－12n＋3＝nn＋. 12分

[阅卷者说]

易错点 防范措施

③忽视an与Sn的关系导致思路不清. an＝Sn－Sn－1(n≥2)是联系an与Sn的桥梁，常借助其实现互化关系.

④忽视化简、因式分解致误. 当等式中出现二元二次方程时，常考虑因式分解.

⑤忽视题设条件an＞0，导致增解. 对题设条件可适当标注，以引起注意，同时解题后要反思总结.

⑥忽视裂项或裂项后与原式不等价. 形如1anan＋k的数列常用裂项相消法求和，裂项后要注意系数的变化.

[类题通法]

裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bnk≥1，k∈N*的形式，常见的裂项方式有：

提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数.

■对点即时训练………………………………………………………………………·

(2017·郑州第三次质量预测)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝12an＋1＋n＋1(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝log3(－an＋1)，设数列1bnbn＋2的前n项和为Tn，求证：Tn＜34. 教育配套资料K12

教育配套资料K12 [解] (1)由Sn＝12an＋1＋n＋1(n∈N*)，得Sn－1＝12an＋n(n≥2，n∈N*)，

两式相减，并化简，得an＋1＝3an－2，

即an＋1－1＝3(an－1)，又a1－1＝－2－1＝－3≠0，

所以{an－1}是以－3为首项，3为公比的等比数列，

所以an－1＝(－3)·3n－1＝－3n.

故an＝－3n＋1.

(2)证明：由bn＝log3(－an＋1)＝log33n＝n，得1bnbn＋2＝1nn＋＝121n－1n＋2，

Tn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋3n＋n＋＜34.

■题型强化集训………………………………………………………………………·

(见专题限时集训T6、T9、T13)

题型3 错位相减法求和

(对应学生用书第13页)

■核心知识储备………………………………………………………………………·

错位相减法：用于等差数列{an}，等比数列{bn}构成的数列{anbn}，乘公比q作差．

■典题试解寻法………………………………………………………………………·

【典题】 设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.

【导学号：07804028】

[解] (1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①

所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13，②

由①－②得3n－1an＝13，所以an＝13n(n≥2)．

在①中，令n＝1，得a1＝13，适合an＝13n，

所以an＝13n(n∈N*)． 教育配套资料K12

教育配套资料K12 (2)证明：由(1)可得bn＝nan＝n×3n，

Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③

3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，④

由③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n×3n＋1＝－3n1－3－n×3n＋1，

故Sn＝34＋n－n＋14.

[类题通法] 用错位相减法求和时，应注意：

要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.

在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.

应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常考查.

■对点即时训练………………………………………………………………………·

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝nan，求{bn}的前n项和Tn.

[解] (1)S2＝2a2－2①，S3＝a4－2②，

②－①得a3＝a4－2a2，则q2－q－2＝0，

又∵q＞0，∴q＝2.

∵S2＝2a2－2，

∴a1＋a2＝2a2－2，

∴a1＋a1q＝2a1q－2，

∴a1＝2.

∴an＝2n.

(2)由(1)知bn＝n2n，

∴Tn＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，

12Tn＝122＋223＋324＋…＋n－12n＋n2n＋1.

错位相减得

12Tn＝12＋122＋123＋124＋…＋12n－n2n＋1，