高中数学专题复习讲座曲线的轨迹方程的求法

高考数学复习知识点:轨迹方程的求解:符合一定条的动点所形成的图形，或者说，符合一定条的点的全体所组成的集合，叫做满足该条的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条，也就是符合给定条的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系;外语②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明——证明所求方程即为符合条的动点轨迹方程。

【本讲主要内容】轨迹方程求轨迹方程的基本方法【知识掌握】 【知识点精析】1. 求曲线轨迹方程的基本步骤：⑴建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(),M x y ；⑵寻找动点与已知点满足的关系式； ⑶将动点与已知点坐标代入； ⑷化简整理方程；⑸证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。

通常求轨迹方程时，可以将步骤⑵和⑸省略。

2. 几种常用的求轨迹的方法：⑴直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x y 、的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。

⑵定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

⑶代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点(),P x y 却随另一动点()','Q x y 的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将','x y 表示为,x y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

⑷参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使,x y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

说明：利用参数法求动点轨迹也是解决问题的常用方法，应注意如下几点：①参数的选择要合理，应与动点坐标,x y 有直接关系，且易以参数表达。

可供选择作参数的元素很多，有点参数、角参数、线段参数、斜率参数等。

②消参数的方法有讲究，基本方法有代入法、构造公式法等，解题时宜注意多加积累。

③对于所选的参数，要注意其取值范围，并注意参数范围对,x y 的取值范围的制约。

⑸几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程。

专题：曲线与方程：轨迹方程的求法（★★★）教学目标（1）理解曲线与方程的概念（两个关系）； （2）知道求曲线方程需要适当选取坐标系的意义； （3）掌握求曲线方程的一般方法和步骤；（4）体会通过坐标系建立曲线方程、再利用代数方法研究曲线几何性质的基本思想。

知识梳理5 min.1. 曲线方程的定义：一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解； ②以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点。

此时，把方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线。

2.利用集合与对应的观点理解曲线方程的概念：设)}(|{M P M P =表示曲线C 上适合某种条件的点M 的集合；}0),(|),{(==y x F y x Q 表示二元方程的解对应的点的坐标的集合。

于是，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程等价于 ⎭⎬⎫⊆⊆P Q Q P ，即 Q P =。

3.求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式； （4）用坐标y x 、表示这个等式，并化简；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明。

4.求曲线方程的方法；（1）直译法：根据条件中提供的等量关系，直接列出方程；（2）代入法：在变化过程中有两个动点，已知其中一个动点在定曲线上运动，求另一动点的轨迹方程，这里通过建立两个动点坐标之间的关系，代人到已知曲线之中，得出所要求的轨迹方程； （3）参数法：单参数法；交轨法；坐标法；定形法。

典例精讲例1.（★★★）若点p 到直线1-=x 的距离比它到点)2,0(的距离小1，则点p 的轨迹为 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】：由题意知，点P 到点(2,0)的距离与P 到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P 的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x ＝－2为准线的抛物线．答案：D例2.（★★★）已知两点)0,2(),0,2(N M -，点p 为坐标平面内的动点，满足| MN u u u u r |·|MP u u u r |＋MN u u u u r ·MP u u u r＝0，则动点),(y x p 的轨迹方程为 ( )A ．x y 82= B ．x y 82-= C ．x y 42= D ．x y 42-=【答案】：|MN u u u u r |＝4，|MP u u u r |＝(x ＋2)2＋y 2，MN u u u u r ·MP u u u r＝4(x －2)，∴4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0，∴y 2＝－8x . 答案：B例3.（★★★）从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，则线段QN 的中点P 的轨迹方程为____________．【答案】：设P (x ，y )，Q (x 1，y 1)，则N (2x －x 1,2y －y 1)，∵N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2① 又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2，∴y －y 1x －x 1＝1， 即x －y ＋y 1－x 1＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.又∵Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴21x －21y ＝1.∴(32x ＋12y －1)2－(12x ＋32y －1)2＝1. 整理，得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0即为中点P 的轨迹方程．例4.（★★★）已知圆C 的方程为422=+y x .(1)直线l 过点)2,1(P ，且与圆C 交于B A 、两点，若32=AB ，求直线l 的方程；(2)过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ u u u r ＝OM u u uu r ＋ON u u u r ，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．【答案】：(1)①当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其距离为23满足题意；②当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0. 设圆心到此直线的距离为d ， 则23＝24－d 2，得d ＝1. ∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. (2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )，则N 点坐标是(0，y 0)．∵OQ u u u r ＝OM u u uu r ＋ON u u u r ，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2.又∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋y 24＝4(y ≠0)．∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点．课堂检测1.（★★★）如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ， 设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆【答案】：由题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线．∴|MP |＝|PF |，∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)， 又显然|MO |>|FO |，∴点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆． 答案：A2.（★★★）已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1 D ．2y ＝8x 2＋1 【答案】：设AP 的中点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则有x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入220x －y 0＝0，得2y ＝8x 2－1. 答案：C3.（★★★）平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC u u u r ＝λ1OA u u u r ＋λ2OB u u u r(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是 ( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线【答案】：设C (x ，y )，则OC u u u r ＝(x ，y )，OA u u u r＝(3,1)，OB u u u r＝(－1,3)，∵OC u u u r ＝λ1OA u u u r ＋λ2OB u u u r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线． 答案：A4.（★★★）已知点P (x ，y )对应的复数z 满足|z |＝1，则点Q (x ＋y ，xy )的轨迹是( )A ．圆B ．抛物线的一部分C ．椭圆D ．双曲线的一部分 【答案】：由题意知x 2＋y 2＝1，∴(x ＋y )2－2xy ＝1.令x ＋y ＝m ，xy ＝n ，则有m 2－2n ＝1，∴m 2＝2n ＋1. 又∵2|xy |≤x 2＋y 2＝1，∴－12≤n ≤12.∴点Q 的轨迹是抛物线的一部分． 答案：B5.（★★★）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【答案】：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[-4,4]．由已知|OP |2|OM |2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[-4,4]． ①λ＝34时，化简得9y 2＝112.所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4 ≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段．②λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，当0＜λ＜34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34＜λ＜1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分； 当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．回顾总结4 min.。

高考数学知识点：轨迹方程的求解高考数学知识点：轨迹方程的求解符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

高考备战：高考数学主要考点数学是最重要的一科了，高考复习资料很多，现在学生经常陷入书山题海不能自拔!高考题千变万化，万变不离其宗。

高考数学第二轮复习轨迹方程的求解知识点符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.高中频道收集和整理了轨迹方程的求解知识点，以便高三学生更好的梳理知识，轻松备战。

轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;外语学习网②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

高考数学第二轮复习轨迹方程的求解知识点已经呈现在各位考生面前，希望同学们认真阅读学习，更多精彩尽在高考频道!。

第九讲圆锥曲线轨迹方程求法求轨迹方程的常用方法：⒈直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点M的坐标x，y表示相关点P的坐标（Xo、Yo），然后代入点P的坐标（Xo、Yo）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

（用未知表示已知，带入已知求未知）⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

考向一直接法求轨迹方程【例1】已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足 ,则动点P(x，y)的轨迹方程为。

【答案】【解析】设P（x，y），x＞0，y＞0，M（﹣2，0），N（2，0），则 ， ， ， 由，则，化简整理得y2＝﹣8x．【举一反三】1.已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【答案】y 2＝x －1.【解析】设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.2．已知两点M(-1,0),N(1,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足 ，则动点P 的轨迹方程为 。

专题：求曲线轨迹方程的常用方法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一，本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。

一、直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

二、定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解．这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.三、点差法四．相关点法（代入法）：相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。

当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：①某个动点在已知方程的曲线上移动；②另一个动点随的变化而变化；③在变化过程中和满足一定的规律。

A. 圆B. 两条平行线C. 抛物线D. 双曲线五、参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。

在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。

评述：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可利用平面几何知识推出等量关系，求方程可以用直接法，如本题中，推出，从而利用根与系数的关系建立方程。