立体几何基础知识梳理

立体几何复习知识点在数学的学习中，立体几何是一个重要且富有挑战性的部分。

它要求我们具备空间想象能力、逻辑推理能力以及对各种几何概念和定理的熟练掌握。

接下来，让我们一起系统地复习一下立体几何的相关知识点。

一、空间几何体（一）棱柱棱柱是由两个互相平行且全等的多边形底面，以及侧面都是平行四边形的多面体。

棱柱根据侧棱与底面的关系可分为直棱柱和斜棱柱。

直棱柱的侧棱垂直于底面，斜棱柱的侧棱不垂直于底面。

（二）棱锥棱锥是由一个多边形底面和若干个有公共顶点的三角形侧面所组成的多面体。

如果棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫做正棱锥。

（三）棱台棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

（四）圆柱以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

（五）圆锥以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

旋转轴为圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线。

（六）圆台用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台。

（七）球以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。

半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

二、空间几何体的表面积和体积（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和。

（二）圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积圆柱的侧面积公式为＼（S_{侧}＝2\pi rh\），表面积公式为＼（S ＝ 2\pi r(r ＋ h)＼）；圆锥的侧面积公式为＼（S_{侧}＝＼pi rl\），表面积公式为＼（S ＝＼pi r(r ＋ l)＼）；圆台的侧面积公式为＼（S_{侧}＝＼pi （r ＋ R)l\），表面积公式为＼（S ＝＼pi （r^2 ＋R^2 ＋ rl ＋ Rl)＼）。

立体几何知识点总结(全)重合直线：完全重合，有无数个公共点。

三．点与平面的位置关系点与平面的位置关系有以下三种情况：点在平面上；点在平面外；点在平面内。

四．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有以下三种情况：直线与平面相交，相交点为一点；直线在平面内；直线与平面平行，没有交点。

五．平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有以下三种情况：平面相交，相交线为一条直线；平面平行，没有交点；平面重合，完全重合。

1)定义：两个平面相交于一条直线，且这条直线与两个平面的法线垂直，则这两个平面垂直；2)判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面的法线垂直，则这两个平面垂直。

符号：a,b简记为：线面垂直，则面面垂直.符号：aba b4．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则它们的交线垂直于这两个平面。

符号：a b。

a简记为：面面垂直，则线线垂直.符号：abb定义：当两个平面所成的二面角为直角时，这两个平面互相垂直。

判定定理：如果一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

可以简记为：线面面垂直，则面面垂直。

符号表示为l，推论是如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直。

平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

可以简记为面面垂直，则线面垂直。

证明线线平行的方法包括三角形中位线、平行四边形、线面平行的性质、平行线的传递性和面面平行的性质。

证明线线垂直的方法包括定义中的两条直线所成的角为90°，线面垂直的性质，利用勾股定理证明两相交直线垂直，以及利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直。

立体几何的基本知识点总结立体几何是几何学的一个重要分支，研究物体的形状、大小、位置等特征。

在学习立体几何时，我们需要了解一些基本的知识点。

本文将对立体几何的基本概念、性质、公式等进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

1. 点、线、面和体立体几何研究的对象主要有点、线、面和体。

点是没有大小和形状的，用来表示位置；线是由无限多个点连起来形成的，用来表示长度和方向；面是由无限多条线组成的，具有长度和宽度，用来表示平面；体则是由无限多个面组成的，具有长度、宽度和高度，用来表示立体物体。

2. 四面体、正方体和圆柱体四面体是由四个面组成的立体体，每个面都是一个三角形；正方体是由六个面组成的立体体，每个面都是一个正方形；圆柱体是由一个底面和一个平行于底面的曲面组成的立体体，底面为圆形。

3. 长方体、棱柱和棱锥长方体是由六个矩形面组成的立体体，每个面都有四个直角；棱柱是由两个平行且相等的多边形组成的立体体，这两个多边形分别称为底面和顶面；棱锥是由一个多边形底面和一个顶点连直线并延伸至底面外部的部分组成的立体体。

4. 体积和表面积体积是用来衡量立体体所占空间的大小，常用单位有立方厘米、立方米等；表面积是用来衡量立体体外部所包围的面积，常用单位有平方厘米、平方米等。

不同形状的立体体计算体积和表面积的方法也不同，例如长方形的体积为长乘宽乘高，表面积为底面积的两倍加上侧面积。

5. 平行四边形的性质平行四边形是指有两对边分别平行的四边形，其性质包括：对边相等、对角线互相平分、对角线长度平方等于两条对边长度平方和、对角线互相垂直等。

6. 圆锥的性质圆锥是由一个底面和一个顶点连直线并延伸至底面外部的部分组成的立体体，其性质包括：底面与侧面接触于一条直线上、侧面都是直角三角形、顶点到底面的垂线与底面的切点连线垂直等。

7. 球的性质球是由无数个平行的点组成的立体体，其性质包括：球心到球面上任意一点的距离都相等、球面上任意两点之间的最短距离是球心到这两点连线的长度、球表面积等于4πr²（其中r为半径）、球体积等于4/3πr³等。

立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =++台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。

1. 棱柱。

- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。

- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。

- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。

2. 棱锥。

- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。

- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。

- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

3. 棱台。

- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。

- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。

- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。

4. 圆柱。

- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。

- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。

5. 圆锥。

- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。

- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。

6. 圆台。

- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。

高中立体几何知识点梳理立体几何是三角形、圆形、多边形等基本图形的空间组成，以及空间中点、线、面等几何要素的组合和变换，是高中数学中不可或缺的一部分。

因此，本文将从立体几何基础知识到各种几何形状的体积和表面积计算，对高中立体几何知识点进行详细梳理。

一、立体几何基础知识1. 射影用于求平面和直线在空间中的射影位置、射影轴等。

为了求出射影，需要先进行坐标变换，使直线或平面方程中其中一项系数为1，然后再将其带入到另一个方程中。

2. 点、线、面在立体几何中，点、线、面是三个最基本的概念，需要注意的是，在空间中，线和面一般是不平行的。

当然，在几何建模中，可以将直线或面旋转或平移，以便更清晰地表现相应的三维图形。

3. 空间向量空间向量在几何建模中有着重要的作用，它可以表示空间中的大小和方向。

空间向量的两点可以用坐标表示，也可以用点的名称来表示。

在计算空间向量的长度和方向时，需要用到三维坐标系，而在计算空间向量之间的夹角时，需要使用点乘运算。

二、各种几何形状的体积和表面积计算接下来，我们将对各种几何形状的体积和表面积计算进行详细梳理。

1. 正多面体正多面体是一种有限的立体图形，它的每个面都是相等的正多边形，每个顶点都是相等的多面角。

正多面体的体积，可以用以下公式进行计算：V = (1/3) x S x h其中，S为底面积，h为高。

正多面体的表面积，可以用以下公式进行计算：S = n x a² / (4 x tanπ/n)其中，n表示正多边形的边数，a表示正多边形的边长。

2. 椎体与锥台椎体和锥台是两种常见的几何形状，它们的体积和表面积计算都十分简单。

椎体的体积，可以用以下公式进行计算：V = (1/3) x S x h其中，S为底面积，h为高。

椎体的表面积，可以用以下公式进行计算：S = S底面+ πr x l其中，r为底面半径，l为斜高。

锥台的体积，可以用以下公式进行计算：V = (1/3) x S x h其中，S为底面积与顶面积的平均值，h为高。

一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222coscos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

立体几何知识点归纳总结立体几何是数学中研究三维空间中几何形状和它们之间关系的学科。

它不仅在数学理论中占有重要地位，而且在工程、建筑、物理学等多个领域都有广泛的应用。

以下是立体几何的一些关键知识点的归纳总结：1. 空间直线与平面：立体几何的基础是理解空间中的直线和平面。

直线是一维对象，而平面是二维对象。

在空间中，直线与平面可以相交、平行或位于同一平面内。

2. 空间角：立体几何中的空间角包括直线与直线之间的角度、直线与平面之间的角度以及平面与平面之间的角度。

这些角度的测量是立体几何中的重要内容。

3. 多面体与多边形：多面体是空间中由多条边和多个面组成的封闭形状，如立方体、四面体等。

多边形是平面上的封闭形状，如三角形、矩形等。

立体几何中研究多面体的面、边、顶点以及它们之间的关系。

4. 体积与表面积：计算立体图形的体积和表面积是立体几何中的核心问题。

对于规则的几何体，如立方体、球体、圆柱体等，有固定的公式来计算它们的体积和表面积。

5. 向量：向量是具有大小和方向的量，它在立体几何中用于描述空间中的位置、运动和力。

向量运算，如向量加法、标量乘法和点积，是解决立体几何问题的重要工具。

6. 坐标系：在立体几何中，通常使用笛卡尔坐标系来确定空间中点的位置。

通过三个坐标轴（通常是x、y和z轴），可以精确地描述空间中的任何一点。

7. 对称性：立体几何中的对称性包括反射对称、旋转对称和滑移对称。

对称性是理解几何形状和它们的性质的关键。

8. 投影：在立体几何中，投影是将三维对象映射到二维平面上的过程。

这在工程图纸和建筑设计中非常重要。

9. 锥体与柱体：锥体和柱体是常见的立体几何形状。

它们由一个底面和连接底面各点到一个共同顶点的线段组成。

锥体和柱体的体积和表面积的计算是立体几何中的重要内容。

10. 曲面：曲面是立体几何中的二维表面，它们可以是平面的，也可以是弯曲的。

曲面的研究包括曲面的方程、曲面的几何性质以及曲面上的路径等。

高中数学立体几何总结立体几何是高中数学中一个重要的内容，大致内容包括立体几何基本概念、体积、体积计算公式、侧棱、正三棱柱、正四棱锥、正八棱锷、台面等等。

（一）立体几何基本概念1、三视图：即从三个不同的视角把物体有条不紊的绘出来的文字图形，可以根据它来确定物体的三维形状。

2、几何体：是由把平面图形几何关系组合而成的任何在空间中由一致点构成的物体。

3、棱：即立体几何中各几何体的侧面所围成的线段或面称为棱，如正三棱柱的侧棱。

（二）体积1、体积的定义：体积是立体图形的面积之和，反映物体内部空间的容积大小。

2、体积的计算公式：几何体的体积可用面积的乘积公式计算，比如正三棱柱的体积的表示公式：V=ah；正四棱锥的体积的表示公式：V=1/3bh；正八棱锷的表示公式为：V=1/3πr²h。

（三）正三棱柱1、正三棱柱，是一种方形底面，面积相同的三角柱体，它有三个直角，等边的三个棱，以及一个正方形的底部。

2、侧棱：正三棱柱的侧棱可以分别表示为a，b，c三条线段，表示a=b=c，它们在同一平面且互相垂直。

3、体积计算：正三棱柱的体积可以用面积乘积公式来计算：V=ah；其中，a表示正三棱柱的侧棱，h表示高度。

（四）正四棱锥1、正四棱锥是由正方形底面、顶面和棱构成的三角锥体，它有四个直角棱，棱之间相互垂直，底面和顶面也相互垂直。

2、侧棱：正四棱锥的侧棱只有一条，用a表示，它的四条边都要等于。

（五）正八棱锷1、正八棱锷是一种八个棱组成的几何体，其四条边中有三条边为互相垂直的折线，其余五条边为圆形弧线。

2、侧棱：正八棱锷有八个侧棱，用a1，a2，a3…a8表示，但它们互相之间不相等，作用上也不是等距的。

（六）台面1、台面，又称台体，是由一个小三角形共同构成的平面图形。

当该平面图形在三维空间中展开时，可以形成一个台体，它由三个等高的并列棱构成。

2、台体体积计算：台体的体积可以由其三角面积和三边长共同确定，台体的体积公式为：V=1/3(A1+A2+A3)H；其中，A1，A2，A3表示三个三角面积，H表示高度。