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高考数学轨迹方程的求解知识点归纳整理|圆的轨迹方程例题符合一定条的动点所形成的图形，或者说，符合一定条的点的全体所组成的集合，叫做满足该条的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条，也就是符合给定条的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条的动点轨迹方程。
高中数学：求轨迹方程的几种常用方法
由已知条件求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一，也是解析几何的重点。
轨迹方程的常用方法可归纳为以下四种。
一、普通法
例1. 求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程。
分析：设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。
解：设是所求轨迹上一点，依题意得
由两点间距离公式得：
化简得：
二、定义法
例2. 点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，求点M的轨迹方程。
分析：点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线
的距离相等。
由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。
解：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。
则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。
故所求轨迹方程为。
三、坐标代换法
例3. 抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。
分析：抛物线的焦点为。
设△ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。
解：因点是重心，则由分点坐标公式得：
即
由点在抛物线上，得：
将代入并化简，得：
四、参数法
例4. 当参数m随意变化时，求抛物线的顶点的轨迹方程。
分析：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m
来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。
解：抛物线方程可化为
它的顶点坐标为
消去参数m得：
故所求动点的轨迹方程为。
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高考数学难点突破_难点22__轨迹方程的求法在高考数学中，轨迹方程的求法是一个比较常见但也较为复杂的难点。
在解决这类问题时，我们需要考虑几个关键因素，如何确定相关点、如何利用已知条件及使用适当的数学知识等。
一、确定相关点对于轨迹方程的求法，首先需要明确或确定一些与所求轨迹相关的点。
这些点可以从已知条件中得出，如一个点的坐标、两个点的距离、特定点到直线的距离等。
这些已知条件将成为我们解题的基础。
二、利用已知条件在确定了相关的点之后，我们需要利用已知条件来求解轨迹方程。
对于不同的条件，我们可以使用不同的数学知识和方法来解决问题。
下面是一些常见的已知条件及相应的解决思路：1.已知点的坐标：如果已知轨迹上的其中一点的坐标，我们可以将这个点的坐标代入轨迹方程中，得到一个等式，并根据这个等式求解出其他未知量，从而得到轨迹方程。
例如，已知轨迹上的点的坐标满足$x^2+y^2=1$，则这是一个以原点为中心、半径为1的圆的轨迹方程。
2.已知点到另一点的距离：如果已知轨迹上的其中一点到另一点的距离等于一定值，我们可以根据距离公式来求解轨迹方程。
例如，已知轨迹上的点到点$(2,1)$的距离等于2，则可以列出方程$\sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2} = 2$，进而求解出轨迹方程。
3.已知点到直线的距离：如果已知轨迹上的其中一点到直线的距离等于一定值，我们可以利用距离公式和直线方程来求解轨迹方程。
例如，已知轨迹上的点到直线$2x+ 3y = 6$的距离等于3，则可以列出方程$\frac{，2x + 3y -6，}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = 3$，进一步求解出轨迹方程。
三、使用适当的数学知识在解决轨迹方程的问题中，我们可能需要应用到一些特定的数学知识，如圆的性质、直线的性质、二次曲线方程等。
我们需要结合问题的具体情况，合理地选择和应用这些知识来解决问题。
总结起来，要解决轨迹方程的问题，我们需要明确相关点、利用已知条件和适当应用数学知识。
求轨迹方程六种常用技法轨迹方程探求是解析几何中根本问题之一，也是近几年来高考中常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于提醒问题内部规律及知识之间相互联系，动辄就是罗列一大堆坐标关系，进展无目大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结与归纳探求轨迹方程常用技法，对提高学生解题能力、优化学生解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程常用技法。
1．直接法根据条件及一些根本公式如两点间距离公式，点到直线距离公式，直线斜率公式等，直接列出动点满足等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．线段，直线相交于，且它们斜率之积是，求点轨迹方程。
解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，那么，设点坐标为，那么直线斜率，直线斜率由有化简，整理得点轨迹方程为练习：1．平面内动点到点距离与到直线距离之比为2，那么点轨迹方程是。
2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足点，求点轨迹方程。
3. 到两互相垂直异面直线距离相等点,在过其中一条直线且平行于另一条直线平面内轨迹是〔〕A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法通过图形几何性质判断动点轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹定义，如线段垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何一些性质定理。
例2．假设为两顶点，与两边上中线长之与是，那么重心轨迹方程是_______________。
解：设重心为，那么由与两边上中线长之与是可得，而点为定点，所以点轨迹为以为焦点椭圆。
所以由可得故重心轨迹方程是练习：4．方程表示曲线是〔〕A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦中点有关问题可用点差法，其根本方法是把弦两端点坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦中点坐标满足，且直线斜率为，由此可求得弦中点轨迹方程。
例3．椭圆中,过弦恰被点平分,那么该弦所在直线方程为_________________。
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
2019高考数学轨迹方程的求解知识点轨迹方程的求解知识点是高考考察的重点难点，一般都 在解答题进行考察，重要性不言而喻。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件 的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹 .轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的 条件，这叫做轨迹的纯粹性 （也叫做必要性）;凡不在轨迹上 的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨 迹上，这叫做轨迹的完备性 （也叫做充分性）.【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、 求动点的轨迹方程的基本步骤1.建立适当的坐标系，设出动点 M的坐标；2. 写出点M 的集合；3. 列出方程=0;4. 化简方程为最简形式；5. 检验。
二、 求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多 种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法 直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的 这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定1. 直译法:义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
3.相关点法：用动点Q的坐标x, y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(xO , yO)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
4.参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y 与某一变数t的关系，得再消去参变数t , 得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
5.交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系；②设点设轨迹上的任一点P(x , y);③列式列出动点p所满足的关系式；④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X, 丫的方程式，并化简；⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
专题51曲线与方程-求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程.【经典例题】例1．（2020·四川内江·高三三模）已知点()2,0A -、()3,0B ，动点(),P x y 满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线例2．（2020·广东深圳三模·）当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A．()2234x y ++=B．()2231x y -+=C．()222341x y -+=D．()222341x y ++=例3．（2020·江西新余四中高三三模）如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（）A．B．C．D．例4．（2020·上海市嘉定区第一中学高三三模）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ADD A 上一点，且满足ADP △为正三角形．点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A．B．C．D．例5．（2020·辽宁高三三模）已知半径为r 的圆M 与x 轴交于,E F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d .若d EF =，并规定当圆M 与x 轴相切时0EF =，则圆心M 的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线例6．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三三模）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（）A．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，D．102，⎛⎫- ⎪⎝⎭例7．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅= ，则点P的轨迹方程是（）A．()223310,02x y x y +=>>B．()223310,02x y x y -=>>C．()223310,02x y x y -=>>D．()223310,02x y x y +=>>例8．（2016·山西运城·高三三模）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【精选精练】1．（2020·广东普宁·高三三模）与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线D．一个圆上2．（2020·上海高三三模）在平面直角坐标系内，到点()1,2A 和直线l ：30x y +-=距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线3．（2020·全国高考真题）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线4．（2020·辽宁沈阳·高三三模）已知椭圆22184x y +=，点A ，B 分别是它的左，右顶点.一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，又当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P ，Q 两点重合于点A 或点B ，则直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是（）A．22184y x -=B．22184x y -=C．22148y x -=D．22148x y -=5．如图，在平面直角坐标系中，()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，映射将平面上的点(),P x y 对应到另一个平面直角坐标系上的点()222,P xy x y '-，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点P '的轨迹是（）A．B．C．D．6．（2020·四川成都七中高三三模）正方形1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（）A．圆弧B．线段C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．（2020·天水市第一中学高三三模）动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是（）A．22320x y x +++=B．22320x y x +-+=C．22320x y y +++=D．22320x y y +-+=8．（2020·北京市陈经纶中学高三三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A 、B 距离之比是常数λ(0,1)λλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点A 、B 的距离为3，动点M 满足||2||MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）.A．πB．2πC．3πD．4π9．（2020·内蒙古包头·高三三模）已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点10．如图所示，已知12,F F 是椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线11．（2020·北京房山·高三三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分12．（2020·四川内江·高三三模）已知平面内的一个动点P 到直线l ：x ＝433的距离与到定点F0）的距离之比为3，点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设动点P 的轨迹为曲线C ，过原点O 且斜率为k （k ＜0）的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，则△MAN 面积的最大值为（）C．22D．1。
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结一、直接法若动点运动的条件是一些较为明确的几何量的等量关系，而这些条件易于表达成关于x，y的等量关系式，可以较为容易地得到轨迹方程（即遵循求轨迹方程的一般程序），这种方法我们一般称之为直接法.用直接发求轨迹方程一般都要经过建系、设点、列式、化简、验证这五个环节.二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本而常见轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）已从定义来确定表示其几何特征的基本量而直接写出其轨迹方程，或从曲线定义来建立等量关系式从而求出轨迹方程．三、代入法若动点运动情况较为复杂，不易直接表述或求出，但是能够发现形成轨迹的动点P（x,y）随着另一动点Q （X,Y）的运动而有规律的运动，而且动点Q的运动轨迹方程已经给定或极为容易求出，故只要找出两动点P，Q之间的等量关系式，用x，y表示X,Y再代入Q的轨迹方程整理即得动点P的轨迹方程，称之为代入法，也叫相关点法.四、参数法若动点运动变化情况较为复杂，动点的纵坐标之间的等量关系式难以极快找到，可以适当引入参数，通过所设参数沟通动点横坐标之间的联系，从而得到轨迹的参数方程进而再消去所设参数得出轨迹的（普通）方程，称之为参数法.点悟：注意落实好图形特征信息提供的解题方向，前提是自信，实力是运算过关.本题还可有一些较为简捷的解法，不妨试试五、交轨法若所求轨迹可以看成是某两条曲线（包括直线）的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，也可引入参数来建这两条动曲线之间的联系，再消参而得到轨迹方程，称之为交轨法.可以认为交轨法是参数法的一种特殊情况.点悟：交轨是一种动态解题策略，注意特殊或极限情况处理. 六、几何法认真分析动点运动变化规律，可以发现图形明显的几何特征，利用有关平面几何的知识将动点运动变化规律与动点满足的条件有机联系起来，再利用直接法得到动点的轨迹方程，称之为几何法.七、点差法涉及与圆锥曲线中点弦有关的轨迹问题时，常可以把两端点设为(x1,y1),(x2,y2)，代入圆锥曲线方程，然后作差法求出曲线的轨迹方程，此法称之为点差法，也叫平方差法.运用此法要注意限制轨迹方程中变量可能的取值范围.点悟：上述方法是通过设直线AB的方程引入参数b得到动点M 轨迹的参数方程再消去参数得到普通方程，注意参数的取值范围，因而轨迹是一条线段.本题较为简捷的求法还可考虑点差法：。
2021年高考数学辅导：轨迹方程的求解轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系;②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
高中数学轨迹方程求法梳理1．求轨迹方程的常用方法(1)直接法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式，就得到曲线的轨迹方程．由于这种求轨迹方程的过程直接以曲线方程的定义为依据求解，所以称之为直接法．步骤：（1）建系，目前大部分题目都已经建好坐标系了，一般可以省略；x y；（2）设点，直接设动点坐标为(,)（3）写式，运用一定平面几何知识，写出题目中动点满足的几何关系式；（4）代入，将动点坐标、已知数据全部代入关系式；（5）化简，化简式子，注意等价性；（6）证明，证明轨迹的完备性和纯粹性，由于前几步的等价性，所以现已省略此步.(2)几何法若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线、角平分线的性质等)，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标，较简单(一般通过几何法分析转变为直接法和定义法)．几个常见定义：（1）到定点的距离等于定值的点的轨迹--------圆；（2）到定直线的距离等于定值的点的轨迹------两条平行线；（3）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和大于两定点间的距离）------椭圆（4）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和等于两定点间的距离）------线段（5）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差绝对值小于两定点间的距离）------双曲线（6）到两定点的距离之差的为定值的点的轨迹（差绝对值小于两定点间的距离）------双曲线的一支（7）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差绝对值等于两定点间距离）-----两条射线（8）到两定点的距离之差的为定值的点的轨迹（差的绝对值等于两定点间距离）----------一条射线（9）到定点与到定直线距离相等的点的轨迹（该定点不在定直线上）------抛物线（10）到定点与到定直线距离相等的点的轨迹（该定点在定直线上）-------直线注意：1..理论上，所有的几何定义法的题目都可以用直接法解决，但往往计算量大，容易出错2.而在用几何定义法做题时，也不是万能的，一定要注意定义的细节以及等价原则3.曲线的定义与方程无关，并不是说所有题一定都是标准方程(3)定义法若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则可根据定义法直接设出所求方程，再确定系数求出动点的轨迹方程．(4)相关点法（代入法或转移法）有些问题中，若动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作相关点法或坐标代入法．解题步骤：第一，需找到动点和相关点之间的坐标关系，进行表示和反表示，就是坐标转移；第二，需找到相关点在运动时满足的那个关键式，代入关键式；第三，化简即可，注意范围。
目前一般常见的题型有两种：一静一动类，双动类.(5)参数法有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x，y)中的x，y 分别随另一变量的变化而变化，可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可．在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、有向线段的数量、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．(6)交轨法在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程，该法经常与参数法并用．2．区分“求轨迹”与“求轨迹方程”的不同一般来说，若遇“求轨迹方程”，求出方程就可以了；若是“求轨迹”，求出方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型，有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果应用“定义法”求解，可不求轨迹方程．一、直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略：(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．例题1： 已知点(2,0)B -、(2,0)C ，顶点A 在坐标平面上运动，且满足4AB AC k k ⋅=-，求动点A 的轨迹方程．【解析】设动点A 的坐标为(,)x y 又4AB AC k k ⋅=-,∴00422y y x x --⋅=-+-，即22416y x += 又当点A 在x 轴上时，0AB AC k k ==，所以点A 在x 轴上时，不合题意，∴动点A 的轨迹方程是22416(0)x y y +=≠例题2： 已知ABC ∆中，||||2,||AB BC m AC ==，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 中点O 为原点建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)B C -，设点A 的坐标为(,)x y ，由||||AB m AC =m =， 化简得：222222(1)(1)(22)10m x m y m x m -+-+++-=当1m =时，轨迹为直线0x =；当1m ≠时，配方得：22222212()()11m m x y m m+++=-- （1）0m =时，方程为22210x y x +-+=，轨迹为点(1,0)；（2）0m ≠时，轨迹是圆心为（221,01m m +-），半径为22||1mm -的圆．例题3： 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．【解析】易知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y .于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2.化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．例题4： 已知两点(1,0),(1,0)M N -，且点P 时,,MP MN PM PN NM NP ⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列．（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 的坐标为00(,)x y ，记θ为PM 与PN 的夹角，求tan θ 【解析】设(,)P x y ，∵(1,0),(1,0)M N -，∵(1,)PM MP x y =-=---， (1,)PN NP x y =-=--，(2,0)MN NM =-=，∵2(1)MP MN x ⋅=+221PM PN x y ⋅=+-，2(1)NM NP x ⋅=-，则,,MP MN PM PN NM NP ⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列等价于2211[2(1)2(1)]22(1)2(1)0x y x x x x +-=++---+<⎧⎪⎨⎪⎩，即2230x y x +=>⎧⎨⎩所以点P 轨迹是以原点为圆心，3 （2）P 的坐标为00(,)x y ， 由220012PM PN x y ⋅=+-=， ∵20cos ||||24PM PN PM PN x θ⋅==-204x =-，∵003x <≤，∵1cos 12θ<≤ ∵03πθ≤<，∵200sin tan 3||cos x y θθθ==-巩固1： 已知⊙O 方程为x 2＋y 2＝4，过M (4,0)的直线与⊙O 交于A ，B 两点，则弦AB 中点P 的轨迹方程为____________________．【解析】根据垂径定理知：OP ∵PM ，所以P 点轨迹是以OM 为直径的圆且在∵O 内的部分，以OM 为直径的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，它与∵O 的交点为(1，±3)，结合图形可知所求轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤x <1)．巩固2： 已知圆： ，由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，并且，求点的轨迹。
【解析】设，由题得是直角三角形，且在直角三角形中，所以动点P 的轨迹方程为它是以点为圆心，4为半径的圆。
巩固3： 已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．C 22(1)(1)4x y ++-=P C PA PB A B 60APB ︒∠=P (,)P x y PAC ∆090.PAC ∠=PAC 030,2||4APC AC PC ∠==∴=224(1)(1)16x y =∴++-=22(1)(1)16x y ++-=(1,1)-二、定义法求轨迹方程（一）、知识精讲 定义法求轨迹方程的步骤(1)判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义； (2)设标准方程，求方程中的基本量； (3)求轨迹方程．例题5： 设F 为圆锥曲线的焦点，P 是圆锥曲线上任意一点，则定义PF 为圆锥曲线的焦半径，下列几个命题： ①．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆②．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线. ③．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线 ④．以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切 ⑤．以抛物线的焦半径为直径的圆和y 轴相切⑥．以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切 其中正确命题的序号是 . 【答案】④⑤⑥例题6： 已知A 、B 是两个定点，且2=AB ，动点M 到定点A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l交线段MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．【解析】过A ，B 两点的直线为x 轴，A ，B 两点的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系 ∵2=AB ，∴A ，B 两点坐标分别为)0,1(-，)0,1(．连结PB ．∵l 垂直平分线段BM ，∴PB PM =，4==+=+AM PM PA PB PA ． 设点),(y x P ，由两点距离公式得4)1()1(2222=+-+++y x y x ， 化简方程，移项两边平方得(移项)x y x -=+-4)1(222．两边再平方移项得：13422=+y x ，即为所求点P 轨迹方程．例题7： 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)两焦点为F 1，F 2，点Q 为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是( ) A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分【解析】设点Q 在双曲线的右支上(如图)，延长QF 2，交F 1P 的延长线于点M ，连接OP ，则有||QM ＝||QF 1，P 为F 1M 的中点，∴||PO ＝12||F 2M ＝12(||QM －||QF 2)＝12(||QF 1－||QF 2)＝a ，且P 点不能落在x 轴上，故P点的轨迹是圆的一部分.例题8： 设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹是_______．【解析】∵a ＋9a≥2a ·9a ＝6.当a ＝3时，a ＋9a＝6，此时|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|， P 点的轨迹为线段F 1F 2，当a ≠3，a >0时，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|.由椭圆定义知P 点的轨迹为椭圆．例题9： 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．【解析】由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝|MN |.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．例题10： 设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③ 【解析】（1）12r r =，∵ 动圆与这两个圆都外切，此时轨迹为一条直线（12O O 的中垂线） ∵ 动圆与这两个圆都内切，情况同∵ ∵ 动圆与这两个圆一个外切、一个内切， 设动圆半径为R ，12r r r ==则111222||2PO R r PO R r PO PO r PO R r PO R r ⎧=+=-⎧⎪⇒-=⎨⎨=-=+⎪⎩⎩或，此时轨迹为一条双曲线（2）12r r ≠（以12r r >为例进行分析） ∵ 动圆与这两个圆都外切，11121222||PO R r PO PO r r PO R r =+⎧⇒-=-⎨=+⎩此时轨迹为双曲线的一支∵ 动圆与这两个圆都内切， 11122122||PO R r PO PO r r PO R r =-⎧⇒-=-⎨=-⎩此时轨迹为双曲线的一支∵ 动圆与这两个圆一个外切、一个内切， 则111112122222||PO R r PO R r PO PO r r PO R r PO R r ⎧=+=-⎧⎪⇒-=+⎨⎨=-=+⎪⎩⎩或，此时轨迹为一条双曲线 综上，选C巩固4： 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．【解析】如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∵|MO 2|－|MO 1|＝3.∵点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支． ∵a ＝32，c ＝2，∵b 2＝c 2－a 2＝74.∵点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32)．巩固5： 设双曲线12222=-by a x (a >0，b >0)两焦点为F 1，F 2，点Q 为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是( ) A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分【解析】设点Q 在双曲线的右支上(如图)，延长QF 2，交F 1P 的延长线于点M ，连接OP ，则有||QM ＝||QF 1，P 为F 1M 的中点，∵||PO ＝12||F 2M ＝12(||QM －||QF 2)＝12(||QF 1－||QF 2)＝a ，且P 点不能落在x 轴上，故P点的轨迹是圆的一部分.三、“代入法”或“相关点”求轨迹方程（一）、知识精讲“代入法”或“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 例题11：求椭圆2221x y +=关于直线:210l x y +-=对称的曲线方程．【解析】设对称后曲线上任一点(,)P x y ，它关于l 的对称点为(,)P a b '则有210222()()0a x b y a x b y ++⎧+⋅-=⎪⎨⎪---=⎩，解得34254345x y a x y b -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩所以342434(,)55x y x y P -+--+' 又因为P '应在原来的椭圆上，所以代入得：22342434()2()155x y x y -+--++= 例题12：双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，则Q 点的轨迹方程为( )A. 22224()a x b y a x a +=≠± B. 22224()a x b y a x a -=≠± C. 22224()b y a x b y b -=≠± D. 22224()b x a y b y b +=≠±【解析】设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x ax y a x y a x y a x y220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2.即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ). 例题13：设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．【解析】设∵ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得：x 2－12ax ＋16a 2＝0.∵x 1＋x 2＝12ay 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为∵ABC 的重心 ∵⎩⎨⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∵⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上 ∵将点C 的坐标代入抛物线的方程得：(3y －4a )2＝4a (3x －12a )，即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∵x 0≠(6±25)a ，∵∵ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )例题14：已知椭圆1222=+y x ， （1）求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．【解析】设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则221122221212222222x y x y x x x y y y ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，①，②，③，④ ∵－∵得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入∵，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ∵ 将∵代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求． （2）将22121=--x x y y 代入∵得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入∵得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由∵＋∵得 ：()2222212221=+++y y x x ， ∵， 将∵∵平方并整理得 212222124x x x x x -=+，∵， 212222124y y y y y -=+， ∵将∵∵代入∵得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ∵ 再将212121x x y y -=代入∵式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ． 巩固6： 自椭圆221204x y +=上的任意一点P 向x 轴引垂线，垂足Q ，则线段PQ 中点M 轨迹方程为【答案】)0(12022≠=+y y x巩固7： 已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，则矩形APBQ的顶点Q 的轨迹方程是( )A. 2256x y += B.22139x y += C. 22139x y -= D. 2272x y += 【解析】设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt∵ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt∵OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)， 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0。
