高中数学-学生-轨迹方程的求法

轨 迹 方 程求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。

1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．【解析】（1）由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）． （2）因为A 、B 在双曲线上，所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，2=c ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为14)2(8)1(22=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4） 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

轨迹方程的求法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.本文结合具体实例对求曲线的轨迹方程的常用方法作一归纳。

一．直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法.例1．AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜＝2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜＝｜MN ｜，求点P 的轨迹.解：以圆心O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图），则⊙O 的方程为x 2＋y 2＝a 2，设点P 坐标为（x ，y ），并设圆与y 轴交于C 、D 两点，作PQ ⊥AB 于Q ，则有||||OM OP ＝||||MN PQ . ∵｜OP ｜＝｜MN ｜，∴｜OP ｜2＝｜OM ｜·｜PQ ｜.∴x 2+y 2＝a ｜y ｜， 即 x 2＋（y ±2a ）2＝（2a ）2.轨迹是分别以CO 、OD 为直径的两个圆. 二．定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法.例2．某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r,则|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x －21)2+34y 2=1② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r=73)1412()149(2322=+-，故所求圆柱的直径为76 cm. 三．代入法 如果轨迹动点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程.此法称为代入法.例3．如图所示，已知P(4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x,y)，则在Rt △ABP 中，|AR|=|PR|.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36O y A BP Q M N C D－(x 2+y 2) 又|AR|=|PR|=22)4(y x +-，所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=20,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.点评：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.四．参数法 如果轨迹动点P （x ，y ）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.例4．过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.求△AOB 的重心G 的轨迹C 的方程.解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为y=k （x －1），代入y 2=4x ，得k 2x 2－x （2k 2+4）+k 2=0.设l 方程与抛物线相交于两点，∴k ≠0.设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）， 根据韦达定理，有x 1+x 2=22)2(2k k +，从而y 1+y 2=k （x 1+x 2－2）=k 4. 设△AOB 的重心为G （x ，y ），则12120303x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，消去k ，得x=32+34（43y ）2， ∴y 2=34x －98.当l 垂直于x 轴时，A 、B 的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB 的重心G （32，0），也适合y 2=34x - 98， 因此所求轨迹C 的方程为y 2=34x －98. 五．交轨法 所求动点是两条动直线（或动曲线）的交点且两动直（曲）线能用同一参数表示。

高考数学难点突破_难点22__轨迹方程的求法在高考数学中，轨迹方程的求法是一个比较常见但也较为复杂的难点。

在解决这类问题时，我们需要考虑几个关键因素，如何确定相关点、如何利用已知条件及使用适当的数学知识等。

一、确定相关点对于轨迹方程的求法，首先需要明确或确定一些与所求轨迹相关的点。

这些点可以从已知条件中得出，如一个点的坐标、两个点的距离、特定点到直线的距离等。

这些已知条件将成为我们解题的基础。

二、利用已知条件在确定了相关的点之后，我们需要利用已知条件来求解轨迹方程。

对于不同的条件，我们可以使用不同的数学知识和方法来解决问题。

下面是一些常见的已知条件及相应的解决思路：1.已知点的坐标：如果已知轨迹上的其中一点的坐标，我们可以将这个点的坐标代入轨迹方程中，得到一个等式，并根据这个等式求解出其他未知量，从而得到轨迹方程。

例如，已知轨迹上的点的坐标满足$x^2+y^2=1$，则这是一个以原点为中心、半径为1的圆的轨迹方程。

2.已知点到另一点的距离：如果已知轨迹上的其中一点到另一点的距离等于一定值，我们可以根据距离公式来求解轨迹方程。

例如，已知轨迹上的点到点$(2,1)$的距离等于2，则可以列出方程$\sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2} = 2$，进而求解出轨迹方程。

3.已知点到直线的距离：如果已知轨迹上的其中一点到直线的距离等于一定值，我们可以利用距离公式和直线方程来求解轨迹方程。

例如，已知轨迹上的点到直线$2x+ 3y = 6$的距离等于3，则可以列出方程$\frac{，2x + 3y -6，}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = 3$，进一步求解出轨迹方程。

三、使用适当的数学知识在解决轨迹方程的问题中，我们可能需要应用到一些特定的数学知识，如圆的性质、直线的性质、二次曲线方程等。

我们需要结合问题的具体情况，合理地选择和应用这些知识来解决问题。

总结起来，要解决轨迹方程的问题，我们需要明确相关点、利用已知条件和适当应用数学知识。

求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

轨迹方程的求法轨迹方程是描述一个物体运动路径的数学方程。

在物理学、数学和工程学等领域广泛应用。

本文将介绍几种常见的轨迹方程求法，并对其原理进行简要解释。

一、直线轨迹直线轨迹是最简单的一种轨迹形式，也是最容易求解的。

一个物体在直线运动时，其轨迹方程可以表示为 y = kx + b，其中 k 为斜率，b 为截距。

根据物体的初始位置和运动方向，可以通过给定的初始条件求解出 k 和 b，从而得到物体的轨迹方程。

二、抛物线轨迹抛物线轨迹是一种常见的自由落体运动轨迹。

当物体在水平方向上具有匀速运动时，在竖直方向上受到重力的影响，其轨迹可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和c 都是常数。

根据物体的初始位置和速度，可以通过给定的初始条件求解出a、b 和 c，从而得到物体的轨迹方程。

三、圆轨迹圆轨迹描述了物体在一个圆形路径上的运动。

圆轨迹的方程可以表示为 (x -a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中 (a, b) 是圆心坐标，r 是半径。

根据物体的初始位置和速度，可以求解出圆心坐标和半径，从而得到物体的轨迹方程。

四、椭圆轨迹椭圆轨迹是物体在一个椭圆形路径上的运动。

椭圆轨迹的方程可以表示为 (x - a)^2 / a^2 + (y - b)^2 / b^2 = 1，其中 (a, b) 是椭圆中心坐标。

根据物体的初始位置和速度，可以求解出椭圆中心坐标，从而得到物体的轨迹方程。

五、其他轨迹形式除了上述几种常见的轨迹形式外，还有许多其他的轨迹方程形式。

例如，两个物体之间的相对运动轨迹可以通过解析几何的方法求解。

同时，还有一些特殊的轨迹方程，如双曲线、螺旋线等，可以通过相应的数学方法求解。

求解轨迹方程是物理学、数学和工程学等领域的重要问题。

本文简要介绍了几种常见的轨迹方程求法，并对其原理进行了解释。

在实际应用中，根据具体情况选择适合的轨迹方程求解方法，可以精确地描述物体的运动轨迹。

求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发 ______ 动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x, y 与该参数t的函数关系x = f （t）,y= g （t）,进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x, y）= 0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x, y）,用（x , y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

5:交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

一：用定义法求轨迹方程例1:已知ABC 的顶点A , B 的坐标分别为(-4 , 0), (4, 0), C 为 动点，且满足5sin B sin A sin C, 求点C 的轨迹。

4【变式】：已知圆(呂+知°4■护=2于的圆心为M ，圆価一4尸斗尸=1的圆心为M ，—动圆与 这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。

的比等于2(即储2)'求动点P 的轨迹方程? 三：用参数法求轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为 普通方程。

轨迹方程的求法一、直接法求轨迹方程的一般步骤：“建、设、限、代、化” 1、建立恰当的坐标系； 2、设动点坐标(),x y ；3、限制条件列出来（如一些几何等量关系）；4、代入：用坐标代换条件，得到方程(),0f x y =；5、化简（最后要剔除不符合条件的点）.例1、过点()2,4P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.巩固训练1：平面内动点M 与两定点()1,0A -、()2,0B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，求动点M 的轨迹方程.巩固训练2：已知点A 、B 的坐标分别为()5,0-、()5,0，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程.巩固训练3：已知直角坐标平面上的点()2,0Q 和圆221C x y +=：，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹方程.二、定义法：如果动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可以依据定义求出轨迹方程.如圆、椭圆、双曲线、抛物线等. 规律可寻：（1）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制.例2、（1）求与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心P 的轨迹方程.（2）已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.巩固训练1：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程.巩固训练2：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2211:24F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程.巩固训练3：在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，求点M 的轨迹方程.巩固训练4：已知点1F 、2F 分别是椭圆22:171617C x y +=的两个焦点，直线1l 过点2F 且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段1GF 的垂直平分线交2l 于点H ，求点H 的轨迹方程.巩固训练5：在极坐标系Ox 中，直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=，点M 是直线l 上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足4OP OM ⋅=，记点P 的轨迹方程为C ，求曲线C 的极坐标方程.三、相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. “相关点法”的基本步骤：（1）设点：设被动点的坐标为(),x y ，主动点的坐标为()00,x y ；（2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式()()00,,x f x y y g x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.例3、已知点P 是圆22:4C x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.巩固训练1：已知在ABC ∆中，()2,0A -，()0,2B -，第三个顶点C 在曲线231y x =-上动点，求ABC ∆的重心的轨迹方程.巩固训练2：已知点P 是圆22:25C x y +=上任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，点M 为PD 上一点，且满足45MD PD =，当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程.四、参数法：如果动点(),P x y 的坐标之间的关系不容易找，可以考虑将,x y 用一个或几个参数表示，最后消参数，得出,x y 之间的关系式，即轨迹方程.常用参数有角度θ、直线的斜率、点的横、纵坐标，线段的长度等.例4、过抛物线24y x =的顶点O 引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于,A B 两点，求线段AB 的中点P 的轨迹方程.巩固训练1：设椭圆方程为2214y x +=，过点()0,1M 的直线l 交椭圆于,A B ，O 是坐标原点，直线l 的动点P 满足()12OP OA OB =+，当直线l 绕点M 旋转时，求点P 的轨迹方程.五、交轨法：写出动点所满足的两个轨迹方程后，组成方程组分别求出,x y ，再消去参数，即可求解，这种方法一般适合于求两条动直线交点的轨迹方程.例5、设1A 、2A 是椭圆22195x y +=的长轴的两端点，1P 、2P 是垂直于12A A 的弦的端点，求直线11A P 与22A P 的交点的轨迹方程.巩固训练1：已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点()11,P x y 、()11,Q x y -是双曲线上不同的两个动点，求直线1A P 与2A Q 的交点的轨迹E 的方程.。