微分方程数值解(学生复习题)精品文档5页

第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（ 1）方程形式：dyP x Q y Q y0通解dyP x dx C dx Q y（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0通解M 1xdx N 2ydy C M 2 x 0, N 1 y 0M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式dyf y（ 1）齐次方程xdx令yu ，则dyu xduf ufdu dx c ln | x | c x dx dx u u x二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程dyP x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx2．一阶线性非齐次方程精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性dx非齐次方程求解。

dy1可化为dxP y x Q y y x以为自变量，．方程：P y x dydx Q y为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。

三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n ynff x dx C1 x n 1xn次令 y p ，则 y p ，原方程y f x, yf x, p ——一阶方程，设其解为pg x, C1p，即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。

令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dpdx dy dx dy y f把 y， y 的表达式代入原方程，得dp1f y, p—一阶方程，y, y dy pdy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C1, 即dyg y, C1，则原方程的通解为dx令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C3．伯努利方程dyQ x y0,1P x ydxdyx C2。

1 / 2北京邮电大学2011——2012学年第2学期《微分方程数值解》期末考试试题A 卷1.（15分）写出求解常微分方程初值问题000(,),,()duf t u t T dt u u ⎧=<≤⎪⎨⎪=⎩的欧拉（Euler）格式，证明欧拉（Euler）法的局部截断误差的阶为2()O h .2.（15分）若单步法1(,,)n n n n u u h t u h ϕ+=+中(,,)t u h ϕ 0(,t t T ≤≤00,h h ≤≤ (,))u ∈−∞∞关于u 满足Lipschitz 条件，即：1212(,,)(,,)t u h t u h L u u −≤−ϕϕϕ其中L ϕ为与u，t 无关的常数。

证明该算法稳定。

3.（15分）用待定系数法确定求解常微分方程初值问题000(,),,()duf t u t T dt u u ⎧=<≤⎪⎨⎪=⎩的四步四阶显式格式1123555937924()n n n n n n hu u f f f f +−−−=+−+−.4.（15分）对于两点边值问题2222422101310122(),(,)(),().d ux u x x dxu u e ⎧−++=+∈⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩1）推导上微分方程的中心差分格式。

2）假设求解区间上共有5个分点，即N＝4，写出求解该问题的中心差分格式的矩阵形式。

5. (15分）推导初边值问题22000000(,),,(,)(),(,)(,),u ua f x t t T t x u x x x l u t u l t t T φ⎧∂∂=+<≤⎪∂∂⎪⎪=<<⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩的向前差分格式和向后差分格式。

2 / 26. (15分）用有限体积法构造逼近方程()u u k u k k f x x y y ⎡⎤⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞−∇∇=−+=⎢⎥⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎣⎦i第一边值问题|(,)u x y αΓ=的五点差分格式，这里0min (,)k k x y k =≥>. 7.(10分) 学习完本课程后，你最大的收获是什么？请结合实际谈谈你对本课程的看法以及将来学习的展望。

《微分方程数值解法》复习、练习题第一章复习题1、建立差分格式的三个主要步骤（三个离散化）。

2、差分格式的相容性、收敛性概念。

3、Poisson 方程的5点菱形差分格式，矩形、非矩形区域情形边界条件的处理（离散化）。

4、对长方形区域作正方形网格剖分，求解Poisson方程边值问题的五点菱形差分格式，按什么顺序对节点编号，可使差分方程带宽更窄？（按短方向排）5、差分方程有哪些共同特性，求解选用哪类方法？（大型稀疏，带状，主对角占优等，一般采用迭代法）多重网格等略。

6、极值原理。

7、5点菱形差分格式求解Poisson 方程第一边值问题的收敛性。

第一章练习题1、设有边值问题取h=0.1的正方形网格。

（1）用5点菱形格式在内点建立差分格式；（2）用截断误差为的方法离散化第三边界条件（有两种方式）；（3）写出整理后的差分方程的矩阵形式2、定义方形算子如下：试讨论5点方形差分方程逼近微分方程的截断误差是几阶？3、设有，取h=1/3，列出5点方形差分格式所得的差分方程。

第二章复习题1、差分格式稳定性与收敛性的定义。

2、有关求特征值的几个结论。

3、判断稳定性的矩阵法和Fourier分析法（Von-Neumann条件）的应用。

4、显隐格式在一般情况下的优缺点。

5、熟悉古典显、隐格式，六点对称隐格式（C-N格式）。

6、叙述Lax等价定理。

7、高维抛物型方程的ADI格式的优点。

8、了解非线性方程差分格式的建立，讨论稳定性的冻结系数法。

第二章练习题1、设有求解抛物型方程组的初值问题的差分格式试写出用Fourier分析法讨论稳定性时的增长矩阵。

2、对上题考虑另一个差分格式试讨论该格式的稳定性。

3、对抛物型方程，考虑著名的Du Fort-Frankel（1953）格式(1)推导该格式是否满足稳定性的Von-Neumann条件？(2)该格式与Richardson格式有什么关系？4、讨论求解的古典显格式的稳定性。

5、写出逼近的古典显格式。

微分⽅程数值解法答案包括基本概念，差分格式的构造、截断误差和稳定性，这些内容是贯穿整个教材的主线。

解答问题关键在过程，能够显⽰出你已经掌握了书上的内容，知道了解题⽅法。

这次考试题⽬的类型：20分的选择题，主要是基本概念的理解，后⾯有五个⼤题，包括差分格式的构造、截断误差和稳定性。

习题⼀1．略2． y y x f -=),(，梯形公式：n n n n n n y hh y y y h y y )121(),(2111+-+=+-=+++，所以0122)1(01])121[()121()121(y hh y h h y h h y hhn h h n n n +--+--+-+=+-+==+-+= ，当0→h 时，x n e y -→。

同理可以证明预报-校正法收敛到微分⽅程的解.3．局部截断误差的推导同欧拉公式;整体截断误差:++++++-++≤1),())(,(11111n nx x n n n n n n n dx y x f x y x f R εε11)(++-++≤n n n y x y Lh R ε，这⾥R R n ≤ ⽽111)(+++-=n n n y x y ε，所以 R Lh n n +=-+εε1)1(，不妨设1()]11111[1111101---++-+-+-≤≤-+-=n n n n Lh Lh Lh R Lh Lh R Lh εεε ]1[2)(02)(00-+≤--x X L x X L eLh R eε4．中点公式的局部截断误差： dx x y x f hx y h x f x y x f yx y n n x x n n n n n n))](,(2)(,2())(,([)(11*1?+++-=-++dx x y x f hx y h x f h x y h x f h x y x y dxx y x f hx y h x f hx y h x f h x y h x f x y x f n n n n x x n n n n n n n x x n n n n n n n n))](,(2)(,2())2(,2([)]2()([))](,(2)(,2())2(,2())2(,2())(,([11++-++++'-'=++-+++++-=??++所以上式为+--+''=?++dx hx x x y e n nx x n n n )2()(11θdx x y x f h x y h x f h x y h x f n n n n x x n n n n))](,(2)(,2())2(,2([1++-++?+ 3218)(LMh h x y Lh e n n ≤+''≤+?中点公式的整体截断误差：dx y x f hy h x f x y x f y x y y x y n n x x n n n n n n n n)],(2,2())(,([)()(111?+++-+-=-++dxy x f hy h x f x y x f h x y h x f x y x f hx y h x f x y x f y x y n n n n n n n n x x n n n n n n n n))],(2,2()))(,(2)(,2()))(,(2)(,2())(,([)(1++-+++++-+-=?+因⽽n n n L h Lh R εεε)21(1+++≤+，R L h Lh n n +++≤-122)21(εε≤≤])21()21(1[2)21(1222222022-+++++++--+++n nL h Lh L h Lh Lh Lh RL h Lh ε )1(00-+≤--x X L x X L e LhR eε 5．略 6．略 7．略8．（1）欧拉法：2.0≤h ；四阶Runge-Kutta ⽅法：278.0≤h （2）欧拉法：3 54≤h ；四阶Runge-Kutta ⽅法：3556.5≤h（3）欧拉法：1≤h ；四阶Runge-Kutta ⽅法：278.0≤h 9．略 10．略习题21．略 2．略 3．略4．差分格式写成矩阵形式为：n n M n M n n n M n M n n e u u u u r t r r r t r r r t r r r t u u u u +?--------= --+-+-++12211221121212121 αβαααβαααβαααβ矩阵的特征值为：)cos(221Mj r r t j πααβλ+-?-=，要使格式稳定，则特征值须满⾜t c j ?+≤1λ，即21≤r α5．利⽤泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为)(2h t O +?。

一．填空1.Euler 法的一般递推公式为，整体误差为 ，局部截断误差为：.，改进Euler 的一般递推公式 整体误差为，局部截断误差为：。

2.线性多步法绝对稳定的充要条件是。

3.当，则单步法1(,,)0,1,2,,n n n n Tu u h t u h n hϕ+=+=，稳定。

4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在。

5. 若，则多步法是相容的。

6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是。

7.刚性方程是：8．Runge-Kutta 法的特征值为 ，相容的充要条件为：8.二阶常微分方程边值问题：22,(), ()d uLu qu f a x bdxu a u b αβ⎧=-+=<<⎪⎨⎪==⎩ 的中心差分格式为：P i 的四个相邻点均属于h G ，则称P i 为。

10.逼近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶为。

逼近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为。

12.SOR 收敛当且仅当松弛因子0,2ω∈（），且Jacobi 迭代收敛。

最佳松弛因子是。

二．判断τ和空间步长h 无限缩小时，差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。

2.单参数的PR 迭代格式的收敛速度与SOR 最佳超松弛法的收敛速度同阶。

3、对称矩阵的普条件数与条件数相同。

4、一级Runge-Kutta 法的绝对稳定域（-2，0）5、若差分方程满足相容条件，且按右端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。

6、Euler 法非A 稳定。

7．对任意网比0r >，六点对称格式的解有收敛阶22()O h τ+ 8.对任意网比12r ≤，向前差分格式的解有收敛阶2()O h τ+。

9、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。

三．选择1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为（）A 绝对稳定B 无条件稳定C 条件稳定D 非条件稳定 2.von Neumann 条件是差分格式稳定的（）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 既非充分也非必要条件 3．实系数二次方程20b c λλ--=的根按模小于或者等于1的充要条件是（） A 12b c ≤-≤ B 1+2b c ≤≤ C 12c b ≤-≤ D 12c b ≤+≤ 4.若线性多步法A 稳定，则有（ ），其中1,2,,i i k λ=（）为()()0h ρλσλ-=的根。

微分方程的解法1. 微分方程的基本概念 常微分方程, 微分方程的阶, 微分方程的解、通解, 初始条件和特解的概念。

2. 一阶微分方程掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

会解齐次方程和贝努利方程并从中领会变量代换求解微分方程的思想。

3. 可降阶的高阶方程会)()(x f y n =,),(y x f y '='',),(y y f y '=''的降阶解法。

4. 二阶线性微分方程理解二阶线性微分方程解的结构。

掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法，了解高阶常系数线性齐次微分方程的解法。

会求非齐次项形如的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

5.例题例 验证函数212+=Cx y 是微分方程012=+-'y y x 的解。

解 将212+=Cx y 和Cx y 2='代入012=+-'y y x 的左边得所以212+=Cx y 是方程012=+-'y y x 的解。

例 求微分方程x y y 212-='的通解。

解 这是可分离变量的微分方程, 分离变量得x dxy dy 212=-,解此方程如下:即得通解为 )1(1+=-y Cx y .例 求微分方程22x xy y y -='的通解。

解 这是齐次方程,即12-⎪⎭⎫⎝⎛=x y x y dx dy ，令x y u =u dx du x dx dy +=⇒得1-=u u dx du x ,分离变量得dxx du u 1)11(=-解得 即 xyCe y =.例 求微分方程x x xy dx dy sin =+的通解。

解 这是一阶线性非齐次微分方程由公式可得通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x x ey x dxx dx sin ,即例 微分方程x e y xcos 2-='''的解。

解 对方程两端积分三次得例 求微分方程y x y x '=''+2)1(2满足条件 的特解。

微分方程数值法复习题一、证明：同一个函数的广义导数并不唯一，但不同的广义导数几乎处处相等。

二、设A 为对称正定矩阵，证明下列两个问题等价：（1）求0n x R ∈，使0()min ()nx RJ x J x ∈= ，其中1()(,)()2J x A x x b x =--（2）求下列方程组的解：A x b =证明：由于00002000002000()()1(,)(,)21[(,)(,)(,)(,)](,)(,)2()[(,)(,)2(,)](,)22J x x Ax Ax x x b x x Ax x Ax x Ax x Ax x b x b x J x Ax x Ax x b x Ax x ϕλλλλλλλλλλλ=+=++-+=+++--=++-+又A 是对称矩阵，从而00(,)(,)Ax x Ax x =，故 200()()(,)(,)2J x Ax b x Ax x λϕλλ=+-+如果()J x 于0x 取极小值，即()ϕλ于0λ=取极小值，则有0(0)(,)0,nAx b x x R ϕ'=-=∀∈从而00Ax b -=，即0x 是A x b =的解，又(0)(,)0,Ax x x ϕθ''=>∀≠故A 必为正定矩阵。

反之，设A 是对称正定矩阵，0x 是方程组的解，即 00Ax b -= 则得202()()(,)2(0)(,)(0),0,2J x Ax x Ax x x λϕλλϕϕλθ=+=+>≠≠即()J x 于0x 取极小值。

证毕。

三、证明下列定理：设02*(),f C I u C ∈∈是边值问题(),(,)(),()0d du Lu p qu f x a b dx dx u a a u b ⎧=-+=∈⎪⎨⎪'==⎩ 的解，则*u 使1()(,)(,)2J u a u u f u '=-达到极小值；反之，若21*E u C H ∈ 使()J u 达到极小值，则*u 是上述边值问题的解。