解三角形导学案提纲

课题： 24．2 解直角三角形（1）【学习目标】⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形⑵ : 经过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐渐培育学生剖析问题、解决问题的能力．⑶ : 浸透数形联合的数学思想，培育学生优秀的学习习惯．【学习要点】直角三角形的解法．【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵巧运用【导学过程】一、自学纲要：1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠ C=90°， a、 b、 c、∠ A、∠ B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系sin A a b a b ; cos A; tan A; cot Aa c c bsin B b; cos Ba; tan Bb; cot B a c c a b假如用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就能够写成.sin的对边；的邻边；的对边；的邻边斜边cos斜边tan的邻边cot的对边(2) 三边之间关系(3)锐角之间关系∠ A+∠B=90°．a2 +b2 =c 2 ( 勾股定理 )以上三点正是解直角三角形的依照．二、合作沟通：要想令人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端. 梯子与地面所成的角一般要知足， ( 如图 ). 现有一个长 6m的梯子，问 :(1) 使用这个梯子最高能够安全攀上多高的墙( 精准到 0. 1 m)(2) 当梯子底端距离墙面 2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少 ( 精准到 1o) 这时人能否能够安全使用这个梯子三、教师点拨：例 1 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=2 ，a= 6 ，解这个三角形．例 2 在 Rt △ABC中，∠ B =35 o，b=20，解这个三角形．四、学生展现：增补题1 ．依据直角三角形的__________元素（起码有一个边），求出 ________? 其余全部元素的过程，即解直角三角形．2、在 Rt △ABC 中， a=， b=，解这个三角形．3、 在△ ABC 中，∠ C 为直角， AC=6， BAC 的均分线 AD=4 3 ，解此直角三角形。

第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理 【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．【学习过程】1、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？2、新课导学 ※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a bA B=， 同理可得sin sin c bC B=，从而sin sin a bA B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a bA B =sin c C=． （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c bC B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．【学习评价】1．满足a =4，A=045，B=060的△ABC 的边b 的值为（ ） A 62 B 232+ C 13+ D 132+2．△ABC 中6=a ，36=b ，A=030，则边c = （ ） A 6 B 12 C 6或12 D 363．在△ABC 中，若C B A cos sin 2sin ⋅=，C B A 222sin sin sin +=，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B 。

解三角形【学习目标】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.【学习重点】正弦定理、余弦定理公式的变形【学习难点】正弦定理、余弦定理的综合运用[自主学习]1．正弦定理：_________2. 正弦定理公式的变形(1)a:__:c=_____:sinB:_______(2)a=_____ b=_______ c=________(3)sinA=______ sinB=__________ sinC=__________(4)a sinB=__sinA,_____sinC=___sinA, b ___ =c__________(5)请想一想上面（1）、（2）、（3）、(4)、（5）中的公式什么情况下使用？3.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：⑴___________________________________________________________⑵___________________________________________________________4．余弦定理：5 .余弦定理公式的变形（1）cosA=______________ cosB=____________ cosC=_______________ （2）请想一下（1）中的公式什么情况下使用？6.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．⑴___________________________________________________________⑵___________________________________________________________7．三角形的面积公式：，想一想什么情况下用这个公式？预习自测1.在ABC ∆中，若a =1, 60=C , c =3，则A 的值为（ ）A ．︒30B ．︒60C ．30150︒︒或D ．60120︒︒或2.在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则A 为（ ）A ．3π B ．6π C ．3π或π32 D ．π65或6π3．在ABC ∆中，已知bc c b a ++=222，则A= （ ）A ． 120B ． 90C ． 60D ． 304.在△ABC 中，=．合作探究探究一 正佘弦定理的简单运用 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝23，b ＝6，A ＝45°，则c ＝________．(2)若ac c b a c b a =+-++))((,则B ＝________．060,1,sin sin sin ABC a b c A b S A B C++∠===++ 则探究二.正佘弦定理的变形运用在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为，，，且.（1）求角A 的大小；（2）若，，求△ABC 的面积.探究三.正佘弦定理的综合运用在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为，，，且（1）求A； （2）设，S为△ABC 的面积，求的最大值，并指出此时B 的值.当堂检测1.若锐角的面积为，且 ，则 等于________．2.在ABC ∆中，6=a ， 30=B ，4c =，则ABC ∆的面积是（ ）A ．6B ．．12D ．3.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b 的值是. 4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知，，. （1）求的值；（2）求的值. a b c b B a 3sin 2=6=a 8=+c b a b c bc c b a 3222++=3=a C B S cos cos 3+ABC ∆5,8AB AC ==BC a b c B c A b sin 3sin =3=a 32cos =B b )32sin(π-B5.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a ＋b ＝10，而cosC 的值是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求三角形周长的最小值．总结与反思本节课我学习的效果如何，还有那些不足之处？课后作业解三角形（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(二) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．预习自测1A2D3A当堂检测3A5【答案】10。

1.4 解直角三角形课题解直角三角形学习目标1、使学生综合运用有关直角三角形知识解决实际问题．2、培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想方法．学习重点归纳直角三角形的边、角之间的关系，利用这些关系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．学习难点利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．学习用具执教者学习内容共案个案一、新课引入：1、什么是解直角三角形？2、在Rt△ABC中，除直角C外的五个元素间具有什么关系？请学生答复以上二小题，因为本节课主要是运用以上关系解直角三角形，从而解决一些实际问题．学生答复后，板书：(1)三边关系：a2+b2=c2；(2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°；(3)边角之间关系第二大节“解直角三角形〞，安排在锐角三角函数之后，通过计算题、证明题、应用题和实习作业等多种形式，对概念进行加深认识，起到稳固作用．同时，解直角三角形的知识可以广泛地应用于测量、工程技术和物理之中，主要是用来计算距离、高度和角度．其中的应用题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值．解决这类问题需要进行运算，但三角的运算与逻辑思维是密不可分的；为了便于运算，常常先选择公式并进行变换．同时，解直角三角形的应用题和实习作业也有利于培养学生空间想象能力，要求学生通过观察，或结合文字画出图形，总之，解直角三角形的应用题和实习作业可以培养学生的三大数学能力和分析问题、解决问题的能力．解直角三角形还有利于数形结合．通过这一章学习，学生才能对直角三角形概念有较完整认识，才能把直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边、角之间的数量关系统一起来．另外，有些简单的几何图形可分解为一些直角三角形的组合，从而也能用本章知识加以处理．基于以上分析，本节课复习解直角三角形知识主要通过几个典型例题的学习，到达学习目标．二、新课讲解：1、首先出示，通过一道简单的解直角三角形问题，为以下实际应用奠定根底．根据以下条件，解直角三角形．教师分别请两名同学上黑板板演，同时巡视检查其余同学解题过程，对有问题的同学可单独指导．待全体学生完成之后，大家共同检查黑板上两题的解题过程，通过学生互评，到达查漏补缺的目的，使全体学生掌握解直角三角形．如果班级学生对解直角三角形掌握较好，这两个题还可以这样处理：请二名同学板演的同时，把下面同学分为两局部，一局部做①，另一局部做②，然后学生互评．这样可以节约时间．2、出例如题2．在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB．此题一方面可引导学生复习仰角、俯角的概念，同时，可引导学生加以分析：如图6-39，根据题意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°，△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直线上，由∠ADB=45°，AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°，可得AB与BC之间的关系，因此山高AB可求．学生在分析此题时遇到的困难是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一条边，而题目中的条件CD=20米又不会用．学习时，在这里教师应着重引②，通过①，②两式，可得AB长．解：根据题意，得AB⊥BC，∴∠ABC=Rt△．∵∠ADB=45°，∴AB=BD，∴BC=CD+BD=20+AB．在Rt△ABC中，∠C=30°，通过此题可引导学生总结：有些直角三角形的条件中没有一条边，但二边的关系，结合另一条件，运用方程思想，也可以解决．3．例题3(出示投影片)如图6-40，水库的横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB坝底宽AD(精确到0.1m)．坡度问题是解直角三角形的一个重要应用，学生在解坡度问题时常遇到以下问题：1．对坡度概念不理解导致不会运用题目中的坡度条件；2．坡度问题计算量较大，学生易出错；3．常需添加辅助线将图形分割成直角三角形和矩形．因此，设计此题要求教师在学习中着重针对以上三点来考查学生的掌握情况．首先请学生分析：过B、C作梯形ABCD的高，将梯形分割成两个直角三角形和一个矩形来解．教师可请一名同学上黑板板书，其他学生笔答此题．教师在巡视中为个别学生解开疑点，查漏补缺．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，那么BE=23m．在Rt△ABE中，∴AB=2BE=46(m)．∴FD=CF=23(m)．答：斜坡AB长46m，坡角α等于30°，坝底宽AD约为68.8m．引导全体同学通过评价黑板上的板演，总结解坡度问题需要注意的问题：①适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形．③计算中尽量选择较简便、直接的关系式加以计算．三、课堂小结：请学生总结：解直角三角形时，运用直角三角形有关知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小．在分析问题时，最好画出几何图形，按照图中的边角之间的关系进行计算．这样可以帮助思考、防止出错．四、布置作业板书设计学习反思小结与复习(二)一、新课引入二、新课讲解三、课堂小结四、布置作业21.1 二次函数学习目标：〔1〕能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围;〔2〕注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯.重点难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

初三语文解直角三角形导学案【】初三语文解直角三角形导学案本文首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系。

具体如下述：一、教学目标1.使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形;2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力;3.通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯.二、重点难点疑点及解决办法1.重点：直角三角形的解法。

2.难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

3.疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。

4.解决办法：设置疑问，引导学生主动发现方法与途径，解决重难点，以相似三角形知识为背景解决疑点。

三、教学步骤(一)明确目标1.在三角形中共有几个元素?2.直角三角形ABC中，这五个元素间有哪些等量关系呢?(1)边角之间关系(2)三边之间关系(勾股定理)(3)锐角之间关系。

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。

(二)整体感知教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐用三角函数知识，对其加以复习巩固。

同时，本课又为以后的应用举例打下基础。

因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课解直角三角形的知识来解决的。

综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。

(三)教学过程1.我们已掌握Rt的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素。

这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢，激发了学生的学习热情。

2.教师在学生思考后，继续引导为什么两个已知元素中至少有一条边?让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形?(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)。

课题：28.2解直角三角形
（第1课时）
主备：巧家县第三中学施翔学习目标：
1、知道解直角三角形的意义；
2、知道直角三角形元素之间的关系；
3、会解直角三角形。

导学过程：三思教学法（思习思究思展）
一、思习。

1导2标：
请同学们对照学习目标认真学习课本P85-P86例题前的全部内容.
（5分钟）
二、思究。

3学4展（边学边展）
探究指导1：
1、什么叫做解直角三角形？
2、在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？并牢记。

3、知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？
例如：……
探究指导2：
请同学们在组长的带领下认真学习课本P86的两个例题.理解并掌握在直角三角形中根据已知元素求未知元素的步骤和方法。

6分钟后比谁能迅速完成与例题类似的检测题!
三、思展。

５练６收：
在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=72°,c=14，解这个直角三角形.(精确到0.1) 参考值：tan72°≈3.08 sin72° ≈0.95 cos72°≈0.31
小结：
我的收获!（同桌之间叙述）
本节课我们学习了哪些知识?
1、什么叫解直角三角形?
2、结合下图说说直角三角形的边角关系.
A
C b a Ａ Ｃ
Ｂ
a
b c。

初三语文解直角三角形导学案【】初三语文解直角三角形导学案本文第一要使学生明白什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系。

具体如下述：一、教学目标1.使学生把握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形;2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力;3.通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习适应.二、重点难点疑点及解决方法1.重点：直角三角形的解法。

2.难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

3.疑点：学生可能不明白得在已知的两个元素中，什么缘故至少有一个是边。

4.解决方法：设置疑问，引导学生主动发觉方法与途径，解决重难点，以相似三角形知识为背景解决疑点。

三、教学步骤(一)明确目标1.在三角形中共有几个元素?2.直角三角形ABC中，这五个元素间有哪些等量关系呢?(1)边角之间关系(2)三边之间关系(勾股定理)(3)锐角之间关系。

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。

(二)整体感知教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐用三角函数知识，对其加以复习巩固。

同时，本课又为以后的应用举例打下基础。

因此在把实际问题转化为数学问题之后，确实是运用本课解直角三角形的知识来解决的。

综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。

(三)教学过程1.我们已把握Rt的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在明白其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素。

如此的导语既能够使学生大致了解解直角三角形的概念，同时又陷入摸索，什么缘故两个已知元素中必有一条边呢，激发了学生的学习热情。

2.教师在学生摸索后，连续引导什么缘故两个已知元素中至少有一条边?让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形?(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)。

解直角三角形4方位角问题导学案一、导学1.课题导入：情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？问题：怎样由方位角确定三角形的内角？2.学习目标：（1）能根据方位角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.（2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.3.学习重、难点：重点：会用解直角三角形的知识解决方位角、坡度的相关问题.难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.二、分层学习第一层次学习1.自学指导（1）自学内容：P76页例5.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果取整数，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题过程.（4）自学参考提纲：①根据已知在图中标出方位角：如图所示.②根据方位角得到三角形的内角：在△PAB中，∵海轮沿正南方向航行，∴∠A=，∠B=，PA= .③作高构造直角三角形：如图所示.④写出解答过程：⑤如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？2.自学：结合自学指导开展自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生自学提纲的答题情况.②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.（2）生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化：利用解直角三角形的知识解方位角问题的一般思路.第二层次学习1.自学指导（1）自学内容：P77页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路，然后对照课本P77页的归纳，进行反思总结.（4）自学参考提纲：①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：②练习：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1:1.5,是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1:3,是指DE与CE的比，根据图中数据，求：○a坡角α和β的度数；○b斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生解答问题的情况.②差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化：（1）坡度、坡角的含义及其关系，梯形问题的解题方法.（2）在提纲第②题中，若补充条件“坝顶宽AD=4m”，你能求出坝底BC的长吗？（3）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：三、评价：1.学生学习的自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技能和方法？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、学习效果、存在问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.。

学案 1 正弦定理 （1）教学目标：1、掌握正弦定理及其推导过程；2、能利用正弦定理解三角形及判断三角形解的个数．教学重点：利用正弦定理解三角形．教学难点：正弦定理的证明．教学过程：一、问题情境：1．复习：在Rt ΔABC 中，∠C=90 ，试判定A a sin ，B b sin 与Cc sin 之间的大小关系？ 2．猜想：对任意三角形ABC 上述关系是否成立？如何证明?二、讲授新课：1．正弦定理：_________________________________．2．利用正弦定理，可解决两类三角形问题：（1）已知两角与一边，求另两边与另一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角．3．三角形的元素与解三角形：（1）把三角形的_________________和它们的_________________叫做三角形的元素．（2）已知三角形的_________________求其他____________的过程叫做解三角形.三、知识运用：例1．在ΔABC 中 已知23,45,7500===c B A ，求b a C ,,.例2．在ΔA BC 中 ，已知060,67,14===B b a ，解ABC ∆.例3．在ΔABC 中 ，已知045,332,2===B b c ，解ABC ∆.探究：对于例2、例3能否从图形来分析为什么解的个数不一样，分析类型（２）产生多解的原因.四、课堂练习：1.在ABC ∆中，一定成立的是（ ）A.B b A a sin sin =B.B b A a cos cos =C.A b B a sin sin =D.A b B a cos cos =2.在ABC ∆中，45A =,60B =,10a =,则b =（ ）A.3.在ABC ∆中,︒=60A ,24,34==b a ，则B 等于（ ）A.︒45或︒135B.︒135C.︒45D.以上都不对4.在ABC ∆中，45,75AB A C ==︒=︒，则=BC （ ）A ．33-B ．2C ．2D ．33+5．不解三角形，下列判断正确的是（ ）A.7a =,14b =,30A =,有两解B.30a =,25b =,150A =,有一解C.6a =,9b =,45A =,有两解D.9b =,10c =,60B =,无解6．在ΔABC 中 ，已知060,32,2===B b a ，解三角形ABC .学案 2 正弦定理 （2）教学目标：1、掌握公式的变式及三角形面积公式；2、能灵活运用正弦定理解决三角形相关问题，比如判断三角形的形状.教学过程：一、回顾练习：（1）在ABC ∆中，已知B=60°，2=a ，3=b ，求A .（2）在ABC ∆中，已知A =15°，B=120°，12=b ，求a 和c .二、正弦定理的变形及面积公式：1．正弦定理的变形①__________________________________________________②__________________________________________________③__________________________________________________2．三角形的面积公式：__________________________________________________三、例题分析：例1．在ΔABC 中，5:4:3sin :sin :sin =C B A ，且12=++c b a ，求c b a ,,.例2．在ΔABC 中， 30B =，AB =2AC =，求三角形的面积.例3．① 在ΔABC 中，已知Cc B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状. ② 在ΔABC 中，已知B b A a cos cos =，试判断ΔABC 的形状.四、课堂练习：1．在ABC ∆中,︒=30A ,3=a ，则ABC ∆的外接圆半径为（ ）A ．23B ．3C ．33D ．62．在ΔABC 中，若,3,600==a A 则CB A c b a sin sin sin ++++等于___________. 3．在ΔABC 中，若3:2:1::=C B A ，则_____________::=c b a .4．在ΔABC 中，已知2sin b c B =，求角Ｃ.5．根据下列条件，判断ΔABC 的形状：① C B A 222sin sin sin =+； ② cC b B a A cos cos sin ==学案 3 余弦定理教学目标：1．掌握余弦定理的两种表示形式；2．证明余弦定理的向量方法；3．运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．教学过程：一、问题探究：问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．∵AC = ，∴AC AC •=同理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-．二、讲授新知：1．余弦定理：_________________________________；_________________________________；_________________________________．推论： _________________________________；_________________________________；_________________________________．2．利用余弦定理，可解决两类三角形问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．试试：（1）△ABC 中，a =2c =，150B =，求b ．（2）△ABC 中，2a =，b ，1c，求A ．三、典型例题：例1．在△ABC 中，已知a =b ，45B =，求,A C 和c ．变式：在△ABC 中，若AB ，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2．在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．四、课堂练习：1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）A. 222. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）A ．60B ．75C ．120D ．1503.在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．4. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最大角的余弦值．5. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ⋅的值.学案 4 正、余弦定理在三角形中的应用（1）题型一 利用正、余弦定理求边、角例1 已知ABC ∆中， 6b =，c =30B =，求边a 的值.题型二 判定三角形的形状例2 在ABC ∆中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ⋅=，试判断三角形的形状.题型三 三角形的面积例3 ABC ∆的周长为20，BC 边的长为7，60A =，求它的内切圆的半径.自我检测1．在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于（ ）A ．23B ． 23-C ．13-D ．14- 2．在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形3．已知△ABC 的两边长为2和3，其夹角的余弦为13，则其外接圆的半径为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．94．根据下列条件，确定ABC ∆有两解的是（ ）A ．︒===120,20,18A b aB ．︒===60,48,3B c aC ．︒===30,6,3A b aD ．︒===45,16,14A b a5．在平行四边形ABCD 中,120,6,4B AB BC ===则AC =_________,BD =_______.6．在△ABC 中，其三边长分别为,,a b c ，且三角形面积2224a b c S +-=，则角C =_________.7．在△ABC 中，已知sinA ＝2sinBcosC ，试判断△ABC 的形状．8．在ΔABC 中，∠A 的外角平分线交BC 的延长线于Ｄ，证明DCBD AC AB =．9.用余弦定理证明:平行四边形的两条对角线平方和等于四边平方的和.学案 4 正、余弦定理在三角形中的应用（2）题型一 利用正、余弦定理求边、角例1 已知ABC ∆中， 6b =，c =30B =，求边a 的值.题型二 判定三角形的形状例2 在ABC ∆中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ⋅=，试判断三角形的形状.题型三 三角形的面积例3 ABC ∆的周长为20，BC 边的长为7，60A =，求它的内切圆的半径.自我检测1.在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于（ ）A ．23B ． 23-C ．13-D ．14- 2. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a =，则ABC ∆是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形3.已知ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.若2=b ， B =45°，那么ABC ∆ 的外接圆的直径等于 .4.在ABC ∆中，c b a 、、分别是角A 、B 、C 所对的边.若105A =，45B =，22=b ，则=c __________.5.在平行四边形ABCD 中,120,6,4B AB BC ===则AC =_________,BD =_______.6.已知锐角ABC ∆的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为 .7.在ABC ∆中，若A a C c B b sin sin sin =+，试判断三角形的形状．8.在△ABC 中，已知sinA ＝2sinBcosC ，试判断△ABC 的形状．学案 5 正、余弦定理的实际应用课前准备：1、正弦定理：___________=____________=___________=________2、余弦定理：_____________2=a _____________2=b _____________2=c余弦定理推论：cosA=__________________cosB=______________________cosC=______________________3、解斜三角形中的有关名词、术语：（1）坡度：斜面与地平面所成的角度．（2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．（3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角．（4）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等．（5）基线：在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线．知识运用：1．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）A ．a kmB.3a kmC.2a kmD ．2a km2．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m,∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为（ ）A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522 m3．如右图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.测得 ∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝__________米．4．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )A．(30＋303) m B．(30＋153) mC．(15＋303) m D．(15＋33) m5．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为( ) A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时6．如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得A处的俯角β=45°. 已知铁塔BC部分的高为28 m，求出山高CD．学案 6 第一章知识整合题型1 利用正、余弦定理解三角形例1 在△ABC 中，c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 长为72，求a ．例 2 如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状例3 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．题型3 三角形解的个数的确定例4 在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，则b 为何值时，三角形有一解，两解，无解？题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用 例5 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．达标检测1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b，则角B 的值为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．已知三角形的三边长分别是a ，b ，a 2＋b 2＋ab ，则此三角形中最大的角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．在△ABC 中，a ＝5，c ＝7，C ＝120°，则三角形的面积为（ ）A ．152B ．154C ．1534D ．15324．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°视角，则B 、C 间的距离是（ ）A ．103海里B ．1036海里 C ．52海里 D ．56海里 6．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c ．。