高中数学 第八章 解三角形 8.3 解三角形的应用举例(二)学案 湘教版必修4

高中数学新教材解三角形教案高中数学新教材解三角形教案1一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用.二、教学目标设计1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路.2、了解构造法在解题中的运用.三、教学重点及难点重点：平面对量知识在各个领域中应用.难点：向量的构造.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习与回顾1、提问：下列哪些量是向量?(1)力(2)功(3)位移(4)力矩2、上述四个量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?[说明]复习数量积的有关知识.二、学习新课例1(书中例5)向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用!请看例2(书中例3)证法(一)原不等式等价于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.证法(二)向量法[说明]本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现(等号成立的充要条件是)例3(书中例4)[说明]本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明.二、巩固练习1、如图，某人在静水中游泳，速度为km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h.(2) 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h.三、课堂小结1、向量在物理、数学中有着广泛的应用.2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系.四、作业布置1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4高中数学新教材解三角形教案2教学目标：1.了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系.2.会求一些简单函数的反函数.3.在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识.4.进一步完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培育抽象、概括的能力.教学重点：求反函数的方法.教学难点：反函数的概念.教学过程：教学活动设计意图一、创设情境，引入新课1.复习提问①函数的概念②y=f(x)中各变量的意义2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt中位移S是时间t的函数;在t=中，时间t是位移S的函数.在这种情况下，我们说t=是函数S=vt 的反函数.什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容.3.板书课题由实际问题引入新课，激发了学生学习爱好，展示了教学目标.这样既可以拨去反函数这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性.二、实例分析，组织探究1.问题组一：(用投影给出函数与;与()的图象)(1)这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系?(生答：与的图像关于直线y=x对称;与()的图象也关于直线y=x对称.是求一个数立方的运算，而是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算.同样，与()也互为逆运算.)(2)由，已知y能否求x?(3)是否是一个函数?它与有何关系?(4)与有何联系?2.问题组二：(1)函数y=2x 1(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一(2)函数(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一函数?(3)函数()的定义域与函数()的值域有什么关系?3.渗透反函数的概念.(老师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点) 从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培育学生抽象、概括的能力.通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在最近进展区设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础.三、师生互动，归纳定义1.(根据上述实例，老师与学生共同归纳出反函数的定义)函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为C.我们根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x = j (y) .如果对于y在C中的任何一个值，通过x = j (y)，x在A中都有的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量y 的函数.这样的函数x = j (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: .考虑到用x表示自变量, y表示函数的习惯，将中的x与y对调写成.2.引导分析：1)反函数也是函数;2)对应法则为互逆运算;3)定义中的如果意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)的值域、定义域;5)函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数;6)要理解好符号f;7)交换变量x、y的原因.3.两次转换x、y的对应关系(原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的.)4.函数与其反函数的关系函数y=f(x)函数定义域AC值域CA四、应用解题，总结步骤1.(投影例题)【例1】求下列函数的反函数(1)y=3x-1 (2)y=x 1【例2】求函数的反函数.(老师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤.)2.总结求函数反函数的步骤:1° 由y=f(x)反解出x=f(y).2° 把x=f(y)中x与y互换得.3° 写出反函数的定义域.(简记为：反解、互换、写出反函数的定义域)【例3】(1)有没有反函数?(2)的反函数是________.(3)(x0)的反函数是__________.在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数.在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握.通过动画演示，表格对比，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解.通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培育学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力.题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进.并体现了对定义的反思理解.学生思考练习，师生共同分析纠正.五、巩固强化，评价反馈1.已知函数y=f(x)存在反函数，求它的反函数y =f( x)(1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x)( 3 ) y=(xR,且x)2.已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数，求f(7)的值.五、反思小结，再度设疑本节课主要讨论了反函数的定义，以及反函数的求解步骤.互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢?为什么具有这样的特点呢?我们将在下节讨论.(让学生谈一下本节课的学习体会，老师适时点拨)进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数.反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.具体实践中可实行同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的乐观性.问题是数学的心脏学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂.六、作业习题2.4第1题，第2题进一步巩固所学的知识.教学设计说明问题是数学的心脏.一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程.本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念.反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采纳了抽象的符号.由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念.为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，讨论性质，进而得出概念，这正是数学讨论的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成.另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对比、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维.使学生自然成为学习的主人。

第2课时 方向角以及综合问题1．方向角的含义在航海中，由于南北方向比较便于测量，通常以南北方向作为标准方向，用北偏东若干度、北偏西若干度、南偏东若干度、南偏西若干度来表示方向．如图所示，如OA ，OB ，OC ，OD 的________分别用北偏东________，北偏西30°，南偏西 45°，南偏东________来表示．预习交流如图所示，A 在B 的__________方向上．B 在A 的__________方向上．2．应用解三角形知识解实际问题的步骤(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词、术语所表示的量； (2)根据题意作出________；(3)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元素与________元素； (4)选用正弦定理、________定理进行求解； (5)给出答案．以上问题可简化为：1．方向角60°20°预习交流1：提示：南偏西60°北偏东60°2．(2)示意图(3)未知(4)余弦(5)正、余弦定理转化一、方向角问题某海轮以30 n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C点，求P，C间的距离．思路分析：先在△APB中，利用正弦定理求出BP的长度，而BC的长度可求，∠CBP的大小也可求，故在△PBC中由余弦定理可求出P，C间的距离．如图，一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北方向航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？解决方向角问题的关键是依据题意，画出恰当的示意图，将问题转化为三角形中的边和角问题，从而可利用正弦定理和余弦定理进行求解．二、综合应用问题在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路分析：缉私船最快追上走私船，即两船在最短时间内相遇，可先设出相遇点，然后求出相遇时两船行驶的距离，然后再在三角形中利用正弦定理求出∠BCD的大小，确定航行的方向．甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B点处，测得乙船正以每小时a海里的速度向正北行驶，已知甲船速度是每小时3a海里，则甲船如何航行才能最快地与乙船相遇？求解该题的关键是画出正确的示意图，在画出示意图之前，必须首先明确题目中给出的方向角有哪些，分别是多少度；其次要明确在两船相遇时，两船所用的时间相等，且两船都应直线航行方能使所用时间最短．1．在某测量中，设A 在B 的南偏东34°27′，则B 在A 的( )． A ．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′ C ．北偏西55°33′ D．南偏西55°33′2．某人向正东方向走了x 千米后，他向右转150°，然后朝新的方向走了3千米，结果他离出发点恰好为3千米，那么x 的值为( )．A ． 3B ．2 3C ．3或2 3D ．33．已知A 船在灯塔C 的北偏东80°方向上，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 的北偏西40°方向上，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为__________ km.4．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°.求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．5．甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？活动与探究1：解：如图，在△ABP 中，AB =30×4060=20，∠APB =30°，∠BAP =120°，根据正弦定理sin sin AB BP BPA BAP =∠∠，得20122=，∴BP =在△BPC 中，BC=30×8060=40，由已知∠PBC =90°，∴PC ===．答：P ，C 间的距离为n mile.迁移与应用：解：在△ABS 中，AB =32.2×0.5=16.1 n mil e ，∠ABS =115°，根据正弦定理()sin sin 6520AS ABABS =∠︒-︒，得AS =()sin sin 6520AB ABS ⨯∠︒-︒=AB ×sin∠ABSS 到直线AB 的距离是d =AS ×sin 20°=16.1×sin 20°≈7.06(n mile)．所以这艘船可以继续沿正北方向航行．活动与探究2：解：设缉私船用t h 在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ， 在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos 120°＝6.∴BC ＝ 6.∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°，即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船． 迁移与应用： 解：如图所示，设经过t 小时两船在C 点相遇，则BC =at ，AC =at ，∠B =120°，∴sin 1sin 2BC B AC α⋅==.∴α=30°，β=60°－30°=30°.∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 当堂检测 1．A2．C 解析：如图，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝3，AC＝3，∠ABC ＝180°－150°＝30°，由余弦定理可得(3)2＝32＋x 2－2·3·x ·cos 30°. 解得x ＝3或2 3.3．6－1 解析：如图，依题意知AC =2，AB =3，∠ACB =80°+40°=120°，由余弦定理知AB 2=AC 2+BC 2－2·AC ·BC·cos∠ACB ， 即9=4+BC2－2·2·BC·12⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得BC 1 km)．4．解：(1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°，解得CD ＝83(n mile)．即A处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile.5．解：设经过x 小时后，甲船和乙船分别到达C ，D 两点，则AC =8x ，AD =AB －BD =20－10x .∴CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos 60°＝(8x )2＋(20－10x )2－2·8x ·(20－10x )·12＝244x 2－560x ＋400＝244⎝ ⎛⎭⎪⎫x －70612＋4 80061，∵当CD 2取得最小值时，CD 取得最小值．∴当x ＝7061时，CD 取得最小值，即经过7061小时后，甲、乙两船相距最近．。

解三角形的应用举例【学习目标】1．掌握解三角形的步骤和方法。

2．会利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决问题，进一步培养运算能力。

3．通过在应用题中抽象或构造三角形，标出已知量、未知量，选择合适的方法解三角形，增强解决问题的能力与意识。

【学习重难点】重点：实际问题向数学问题的转化，理解并掌握运用正弦定理、余弦定理等知识方法解三角形有关问题的方法。

难点：解决有关三角形问题的思路的确定及解题思路的选择。

【学习过程】一、新课学习知识点一：实际应用中的测量问题。

1．写出正弦定理和余弦定理公式。

2．方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。

如方位角45°是指北偏东45°。

方向角：相对于某一正方向的水平角。

如北偏东2021南偏西30°。

根据前面的知识做一做：练习：1．两座灯塔A B 、与海洋观察站C 的距离都等于km a ，灯塔A 在海洋观察站C 的北偏东30度，灯塔B 在海洋观察站C 的南偏东60度，则两座灯塔A B 、之间的距离为多少？知识点二：解三角形的实际应用。

解三角形时要注意将已知量与未知量全部集中在一个三角形中，再用正弦或余弦定理解之。

当已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究。

根据前面的知识做一做：练习：1．AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。

二、课程总结1．这节课我们主要学习了哪些知识？2．它们在解题中具体怎么应用？三、习题检测1．国家军舰在某岛A南偏西45︒且与A相距10海里的B处，发现走私舰正由A岛向北偏西75︒的方向以30海里每小时的速度航行，如果国家军舰恰好用10分钟追上走私舰，求国家军舰航行的速度和方向。

2．在一栋2021的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60︒，塔基的俯角为45︒，假定房屋与塔建在同一水平底面上，求塔的高度。

8.3 解三角形的应用举例(一)[学习目标] 1.能够运用正弦、余弦定理解决与方位角有关的航海问题.2.会利用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决与方位角有关的距离问题.[知识链接]在下列各小题的空白处填上正确答案：(1)如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角.(如图所示)(2)如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝tan α＝hl (i 为坡比，α为坡角).(3)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线. [预习导引] 1.方位角从指正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角，叫做方位角. 2.方向角指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，它是方位角的另一种表示形式.要点一 正弦、余弦定理在航海中的应用例1 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船， 则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中， 由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝6海里.又∵BC sinA ＝ACsin∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC·si nA BC ＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin∠BCD ＝CDsin∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD·sin∠CBD CD ＝10t·sin120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟. ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题. 跟踪演练1 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解 如图所示.设经过t 小时两船在C 点相遇，则 在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin∠CAB ＝ACsinB得：sin ∠CAB ＝BCsinB AC ＝at·sin120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇. 要点二 正弦、余弦定理在测量距离中的应用例2 某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？解 如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中， cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BCsinBsin∠CAB ＝31×12331sin60°＝24(千米).由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·co s ∠CAB得AB 2－24AB －385＝0，解得AB ＝35或AB ＝－11(舍去). ∴AD ＝AB －BD ＝15(千米). ∴故此人在D 处距A 还有15千米.规律方法 由问题中的有关量提炼出三角形中的元素，用正弦、余弦定理解三角形.跟踪演练2 已知A 船在灯塔C 北偏东80°方向，且A 船到灯塔C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40°方向，A 、B 两船间的距离为3km ，则B 船到灯塔C 的距离为______km. 答案6－1解析 如图，由题意可得∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3.设BC ＝x ，则由余弦定理可得：AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos120°，即32＝22＋x 2－2×2x cos120°，整理得x 2＋2x ＝5， 解得x ＝6－1.1.已知两座灯塔A ，B 与海洋观测站C 的距离相等，灯塔A 在观测站C 的北偏东40°，灯塔B 在观测站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10°答案 B解析 如下图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2.一艘海轮从A 处出发，以40nmile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观测灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观测灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A.102nmile B.103nmile C.202nmileD.203nmile答案 A解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°，AB ＝40×12＝20(nmile).∴∠BCA ＝45°.∴由正弦定理可得AB sin45°＝BCsin30°.∴BC ＝20×1222＝102(nmile).3.某人向正东方向行走了x km 后，向右转150°，然后再走3km ，此时与出发点恰好相距3km ，则x ＝________. 答案3或2 3 解析 如图，由题意知，AB ＝x km ，BC ＝3km ，AC ＝3km ，∠ABC ＝30°，由余弦定理得：(3)2＝x 2＋32－2×3x cos30°， 即x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或x ＝2 3.4.如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值.解 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800，∴BC ＝207由正弦定理AB sin∠ACB ＝BCsin∠BAC ，sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217.∵∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB ＝277.∴cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30° ＝277×32－217×12＝2114.1.在解三角形时，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.一、基础达标1.海上有A 、B 两个小岛相距10nmile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( ) A.103nmile B.1063nmileC.52nmileD.56nmile答案 D解析 由题意知，在△ABC 中AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，则C ＝180°－A －B ＝45°. 由正弦定理，得BC ＝ABsinA sinC ＝10sin60°sin45°＝56(nmile).2.如图，一客轮以速率2v 由A 至B 再到C 匀速航行，一货船从AC 的中点D 出发，以速率v 沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝50海里，若两船同时出发，则两船相遇之处M 距C 点的距离为( )A.5063海里 B.1063海里C.252海里D.106海里答案 A解析 由题意知，M 在BC 上，设DM ＝x ，则CM ＝100－2x ， 在△CDM 中，由余弦定理得：x 2＝(252)2＋(100－2x )2－2×252(100－2x )·cos45°，解得x ＝50－2563，∴CM ＝5063.3.从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( ) A.2h 米B.2h 米C.3h 米D.22h 米 答案 A解析 如图所示，BC ＝3h ，AC ＝h ，∴AB ＝3h2＋h2＝2h (米).4.甲骑电动自行车以24km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A.6kmB.33kmC.32kmD.3km 答案 C解析 由题意知，AB ＝24×14＝6(km)，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°. 由正弦定理，得BS ＝ABsin∠BAS sin∠ASB ＝6sin30°sin45°＝32(km).5.某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离为126nmile ；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为83nmile.货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°，则A 处与D 处之间的距离为________nmile ；灯塔C 与D 处之间的距离为________nmile.答案 24 8 3解析 (1)在△ABD 中，由已知得∠ADB ＝60°， ∠B ＝45°；由正弦定理得AD ＝ABsinBsin∠ADB ＝126×2232＝24；(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos30°，解得CD ＝8 3. 所以A 处与D 处之间的距离为24nmile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83nmile. 6.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a nmile ，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶多少nmile?解 如图所示，设两船在C 处相遇，并设∠CAB ＝θ， 乙船行驶距离BC 为x nmile ， 则AC ＝3x nmile ，由正弦定理得sin θ＝BC·sin120°AC ＝12，而θ<60°，∴θ＝30°，即∠ACB ＝θ＝30°，AB ＝BC ＝a ， 从而BC ＝AB·sin θsin∠ACB＝a (nmile).答 甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a nmile. 7.某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度行驶，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.解 如图所示，设舰艇与渔船在B 处相遇时所用时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t ， 在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos120°， 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去).即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin∠CAB ＝ABsin120°，所以sin ∠CAB ＝BCsin120°AB ＝10×32103＝12，所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°. 二、能力提升8.台风中心从A 地以20km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40km 处，B 城市处于危险区内的时间为( ) A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h 答案 B解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30km ，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0. 设该方程的两根为x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，故t ＝|x1－x2|v ＝2020＝1.故选B.9.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m.答案 150解析 根据图示，AC ＝1002m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin45°＝AMsin60°⇒AM ＝1003m.在△AMN 中，MNAM ＝sin60°，∴MN ＝1003×32＝150(m). 10.一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为______km. 答案 30 2解析 如图，由已知条件，得AC ＝60km ，∠BAC ＝30°， ∠ACB ＝105°，∠ABC ＝45°. 由正弦定理BC ＝ACsin∠BAC sinB＝302(km).11.某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)小时后开始影响基地持续2小时.求台风移动的方向.解 如图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，基地刚好不受影响时台风中心为D ，则B ，C ，D 在一直线上，且AD ＝20，AC ＝20.由题意AB ＝20(3＋1)，DC ＝202，BC ＝(3＋1)·10 2.在△ADC 中，∵DC 2＝AD 2＋AC 2，∴∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°.在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AC2＋AB2－BC22AC·AB ＝32. ∴∠BAC ＝30°，又∵B 位于A 南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，∴D 位于A 的正北方向，又∵∠ADC ＝45°，∴台风移动的方向为向量CD →的方向.即北偏西45°方向.所以台风向北偏西45°方向移动.12.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距53(3＋1)海里的两个观测点.现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？解 由题意知∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得DB sin∠DAB ＝AB sin∠ADB， ∴DB ＝AB·sin∠DAB sin∠ADB＝错误!＝10错误!(海里)， 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时). 答 救援船到达D 点需要1小时.三、探究与创新13.如图所示，A ，B 两个小岛相距21海里，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9海里的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6海里的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离.解 如图，行驶t h 后，甲船行驶了9t 海里到达C 处，乙船行驶了6t 海里到达D 处.当9t <21，即t <73时，C 在线段AB 上，此时BC ＝(21－9t )海里， 在△BCD 中，BC ＝(21－9t )海里，BD ＝6t 海里，∠CBD ＝180°－60°＝120°，由余弦定理知CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos120°＝(21－9t )2＋(6t )2－2(21－9t )·6t ·(－12) ＝63t 2－252t ＋441＝63(t －2)2＋189.当t ＝2时，CD 取得最小值189＝321.当t ＝73时，C 与B 重合， 此时CD ＝6×73＝14(海里)>321(海里). 当t >73时，BC ＝(9t －21)(海里)， 则CD 2＝(9t －21)2＋(6t )2－2×(9t －21)×6t ·cos60°＝63t 2－252t ＋441＝63(t －2)2＋189>189.综上可知t ＝2时，CD 取得最小值321.答 行驶2h 后，甲、乙两船相距最近为321海里.。

第八章 解三角形1.三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.(1)利用正弦定理讨论：若已知a 、b 、A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa.若sin B >1，无解；若sin B ＝1，一解；若sin B <1，两解.(2)利用余弦定理讨论：已知a 、b 、A .由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋b 2－a 2＝0，这是关于c 的一元二次方程.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解. 2.三角形形状的判定方法 判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系.如：sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sin A ＝a2R(R 为△ABC 外接圆半径)，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断. 3.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决.其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求.题型一 利用正弦、余弦定理解三角形 解三角形的一般方法是：(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况. (4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值.解 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，0°<A <180°.因此A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B . 由已知条件，应用正弦定理12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin (120°－B )sin B＝sin120°cos B －cos120°sin B sin B＝32tan B ＋12，从而tan B ＝12. 跟踪演练1 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，求AD 的长度.解 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin∠ADC ，∴AD ＝222×12＝ 2.题型二 与解三角形有关的综合问题该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7. (1)求角C ； (2)求a ，b 的值.解 (1)∵(2a －b )cos C ＝c cos B ， ∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ， 2sin A cos C －sin B cos C ＝cos B sin C ， 即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3.(2)由S ＝12ab sin C ＝103，C ＝π3，得ab ＝40.①由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos π3)，∴72＝(a ＋b )2－2×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12.∴a ＋b ＝13.②由①②得a ＝8，b ＝5或a ＝5，b ＝8.跟踪演练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cosB2＝255，求△ABC 的面积S .解 因为cos B ＝2cos 2B 2－1＝35，所以sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－B＝sin 3π4cos B －cos 3π4sin B ＝7210.由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.题型三 正弦、余弦定理在实际中的应用 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.例3 如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20km 和54km 处.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8s 后监测点A,20s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离PD (精确到0.01km).解 (1)由题意PA －PB ＝1.5×8＝12(km)，PC －PB ＝1.5×20＝30(km). ∴PB ＝(x －12)(km)，PC ＝(18＋x )(km). 在△PAB 中，AB ＝20km ，cos∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x.同理cos∠PAC ＝72－x3x .∵cos∠PAB ＝cos∠PAC ，∴3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327(km).(2)在Rt△PDA 中，PD ＝PA cos∠APD ＝PA cos∠PAB ＝x ·3x ＋325x ＝3×1327＋325≈17.71(km).所以静止目标P 到海防警戒线a 的距离为17.71km.跟踪演练3 甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解 设甲、乙两船经t 小时后相距最近，且分别到达P 、Q 两处，因乙船到达A 处需2小时.①当0≤t <2时，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ， 所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AP ·AQ cos120° ＝(20－10t )2＋(8t )2－2(20－10t )×8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝84t 2－240t ＋400＝221t 2－60t ＋100. ②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16.③当t >2时，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos60° ＝221t 2－60t ＋100.综合①②③知，PQ ＝221t 2－60t ＋100 (t ≥0). 当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小.答 甲、乙两船行驶107小时后，相距最近.题型四 函数与方程思想的应用与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁.本章在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想.例4 在△ABC 中，已知A >B >C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长. 解 由正弦定理得a sin A ＝csin C ，∵A ＝2C ，∴a sin2C ＝csin C ，∴a ＝2c cos C .又∵a ＋c ＝8，∴cos C ＝8－c2c，①由余弦定理及a ＋c ＝8，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋42－c 28a ＝(8－c )2＋42－c 28(8－c )＝10－2c8－c.②由①②知8－c 2c ＝10－2c 8－c ，整理得5c 2－36c ＋64＝0.∴c ＝165或c ＝4(舍去).∴a ＝8－c ＝245.故a ＝245，c ＝165.跟踪演练4 已知函数f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值. 解 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∴函数f (x )的最小值是－2， 最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，∴sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3，∵m ∥n ，∴12＝sin A sin B ，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，② 由①②解得a ＝1，b ＝2.1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B 等价于a >b 等价于sin A >sin B .2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.。

2018-2019学年高中数学第八章解三角形8.2 余弦定理（二）学案湘教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第八章解三角形8.2 余弦定理（二）学案湘教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第八章解三角形8.2 余弦定理（二）学案湘教版必修4的全部内容。

8.2 余弦定理（二)［学习目标］1。

熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3。

能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.［知识链接]1。

以下问题不能用余弦定理求解的是。

(1）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角,进而可求其他的边和角。

(2）已知两角和一边，求其他角和边。

（3）已知一个三角形的二条边及其夹角,求其他的边和角。

（4)已知一个三角形的三条边,解三角形。

答案(2）2。

利用余弦定理判断三角形的形状正确的是.（1)在△ABC中，若a2＝b2＋c2,则△ABC为直角三角形.(2)在△ABC中，若a2〈b2＋c2，则△ABC为锐角三角形.（3）在△ABC中，若a2〉b2＋c2,则△ABC为钝角三角形.答案(1)(3）[预习导引］1。

正弦定理及其变形(1)asin A＝错误!＝错误!＝2R。

(2)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C。

2。

余弦定理及其推论(1)a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C。

（2)cos A＝错误!；cos B＝错误!；cos C＝错误!.（3）在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2〉a2＋b2⇔C为钝角；c2〈a2＋b2⇔C为锐角。

1. 测量中有关名词、术语(1)仰角与俯角：在同一铅垂平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时, 称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角，如图(1)所示.⑵方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，女口：方位角是60。

的图形是图(2)，或称北偏东60 ° (3) 方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角，如南偏西60°指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转 60°2.用解三角形知识解实际问题的步骤校验 正、余弦定理 翻w 转化解斜三角埜［小问题大思维］用解三角形的知识解决距离、高度问题应用了什么数学思想?［提示］体现了数学建模思想， 从实际问题出发，经过抽象概括把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.高额掉点题组化.名师一点就通如图，A , B 两点在河的同侧， 且A , B 两点均不可到达， 测出A ,解三角形的应用举例8. 抽象问题情境化.新知无师自通［读教材填要点］60A(1)线平 水B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C, D，测得CD = a，同时在 C , D 两点分别测得/ BCA = a, / ACD = 3, / CDB = Y / BDA = &在厶 ADC 和厶 BDC 中，由正弦定理分别计算出 AC 和BC ,再在△ ABC 中，应用余弦定理计算出AB.若测得 CD = ^23 km ，/ ADB =Z CDB = 30° / ACD = 60° / ACB = 45° 两点间的距离.［解］•••/ADC = Z ADB + Z CDB = 60° / ACD = 60°•••/ DAC = 60°AC = DC = -3.在厶BCD 中，/ DBC = 45° ,由正弦定理,^3得 BC =sin Z CDBC 引血BDC =不务sin 30¥在厶ABC 中，由余弦定理，得 AB 2= AC 2 + BC 2— 2AC BCcos 45°=3+ 3 — 2X 並X 心£ 34 8242 8.■：：-；'6 • AB =〒(km) ••• A , B 两点间的距离为~~ km.4解决该题的切入点是所求量在哪个三角形中，已知是什么，还需要什么，待求的量怎么求出，具体落实到使用哪个定理.1如图，隔河看两目标 A , B ,但不能到达，在岸边选取相距 .3 km 的C , D 两点，并测得/ ACB = 75° / BCD = 45° / ADC = 30°, / ADB = 45°视 A , B , C , D 四点在同一平面内).求两目标A , B 之间的距离.解：在厶ACD 中，I/ ADC = 30°, / ACD = 120°,•••/ CAD = 30°, • AC = CD = 3, • AD = 3.求A ,B在厶BCD 中，/ CBD = 180°—45°—30°—45°= 60°,=800( 3+ 1) (m).CD = AD = 800( 3 + 1)〜2 186 (m). 答：山高CD 约为2 186 m.理译思鲂在测量高度时，要注意理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下 方，一般步骤是:(1) 根据已知条件画出示意图; (2) 分析与问题有关的三角形; (3) 运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解; (4) 要综合运用立体几何知识与平面几何知识; (5) 注意方程思想的运用.2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某V3亚CD sin / BCD2 厂 :BD= sin / CBD= ® ~2在厶ADB 中，由余弦定理得， AB 2= AD 2+ BD 2— 2AD BD cos/ ADB \f 2=9+ 2 — 2X 3 X 2 X-^ = 5,••• AB = 5，即目标 A , B 相距•, 5 km.A ，B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45 °/ BAD = 120°又在B 点测得/ ABD = 45°其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高 CD.［解］ 如图，由于 CD 丄平面 ABD , / CAD = 45 ° 所以CD = AD.因此，只需在 △ ABD 中求出 AD 即可, 在厶ABD 中，/ BDA = 180° — 45° — 120° = 15°, AB = AD sin 15 ° sin 45得AD =AB sin 45=sin 15 ° = 800 X ,6—人在喷水柱正西方向的 A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A 向北偏东30°方向前进100 m到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为 30°则水柱的高度是()B . 100 mC . 120 mD . 150 m解析：选A 如图，设水柱高度是 h m ,水柱底端为 C ,则在△ ABC 中，/ BAC = 60° AC = h , AB = 100, BC ={3h ，根据余弦定理得，点h )2= h 2 + 1002- 2 X h X 100X COS 60 ° 即 h 2 + 50h — 5 000= 0，解得 h = 50 或h =— 100(舍去)，故水柱的高度是 50 m.3.如图所示，在山底 A 处测得山顶B 的仰角/ CAB = 45°沿倾斜 角为30°的山坡向山顶走 1 000 m 到达S 点，又测得山顶仰角/ DSB = 75°则山高BC 为 ___________ m .解析：因为/ SAB = 45°— 30°= 15°/ SBA =Z ABC — Z SBC = 45° — (90 °— 75°= 30°所以/ ASB = 180° —Z SAB —Z SBA = 135°曇1 000 X AS Sin 1352在厶 ABS 中，AB === 1 000 2,Sin 301v2所以 BC = AB sin 45 = 1 000 _2xj= 1 000(m). 答案：1 000测量角度的问题* J如图，某货船在索马里附近海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45 °距离为10海里的C 处，并测得货船正沿方位角为 105。

1．6.3解三角形应用举例新课程标准解读核心素养1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度的测量问题数学建模2.能够运用正、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题数学运算教学设计一、目标展示二、情境导入早在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林(点A)与好望角(点B)为基点，测量出α，β的大小，并计算出两地之间的距离AB，进而算出了地球与月球之间的距离约为385 400 km.[问题]你能根据以上条件计算出地球与月球之间的距离吗？三、合作探究知识点实际应用问题中的有关名词、术语1．基线的概念与选取原则(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线；(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角．如图，北偏东30°，南偏东45°.3．仰角和俯角(1)前提：在视线所在的垂直平面内；教学札记(2)仰角：视线在水平线以上时，视线与水平线所成的角；(3)俯角：视线在水平线以下时，视线与水平线所成的角．李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？四、精讲点拨[例1](链接教科书第49页例9)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，先在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝40米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB ＝120°.(1)求B，D两点的距离；(2)求A，B两点的距离．[例2](链接教科书第49页例10)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.[例3](链接教科书第50页例11)某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 2 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且3＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．五、达标检测1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C 的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()教学札记A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°2．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在C北偏东45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为()A．2 3 km B．3 3 kmC．4 3 km D．5 3 km3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．六、课堂小结1.测量距离问题；2.测量高度问题；3.测量角度问题.课后作业教后反思。