人教版高中数学---解三角形精品道学案

必修五第一章解三角形复习学案一、知识梳理： 解斜三角形时可用的定理和公式适用类型 备注余弦定理222a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩①已知三边；②已知两边及其夹角；类型①②有解时只有一个正弦定理：sin ac B===③已知两角和一边； ④已知两边及其中一边的对角； 类型③有解时只有一个，类型④可有解、一解或无解 三角形面积公式：S ⎧⎪=⎨⎪⎩⑤已知两边及其夹角（1）余弦定理变形：cos A = ；cos B = ；cos C = .（2）正弦定理变形：C B A c b a sin :sin :sin ::= ………………………适用边角互化。

（3）22a b +<2c 则角C 为 角 22a b +＞2c 则角C 为 角。

二、试题训练：选择填空试题（每小题5分共计60分）1、在ABC ∆中，已知2=a ，2=c ，︒=30A ，那么B 等于（ ）A ．︒15B ．︒15或︒105C ．︒45D ．︒45或︒1352、 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338 D ．2393、在ABC ∆中，下列关系式不一定成立的是（ ） A ．sin sin a B b A =B ．cos cos a bC c B =+C ．2222cos a b c ab C +-=D ． sin sin b c A a C =+4、在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 5、已知ABC ∆的三边长3=a ，5=b ，6=c ，则ABC ∆的面积是（ ） A ．14 B ．142 C ．15 D ．152 6、在ABC ∆中，若cCb B a A sin cos cos ==，则ABC ∆是（ ） A ．有一内角为︒30的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为︒30的等腰三角形 D ．等边三角形7、△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定8、如图，从气球A 测得正前方的河流上的桥梁两端B 、C 的俯角分别为α、β，如果这时气球的高度是h ，则桥梁BC 的长度为（ ） A.sin()sin sin h αβαβ- B. sin sin sin()h αβαβ-C. sin sin sin()h αβαβ-D. sin sin sin()h βααβ-9、如果ABC ∆中，222c bc b a ++=，那么A 等于__________。

解三角形复习课 教案（一）教学目标：（1）运用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（3）培养学生分析问题、解决问题，自主探究的能力。

（二）教学重点与难点：重点：（1）正弦定理与余弦定理的应用。

（2）题目的条件满足什么形式时适合用正弦、余弦定理解决问题。

难点：（1）利用正弦定理求解过程中一解、二解的情况。

（2）从实际问题抽象出数学问题。

（三）教学过程：观察引入：？ 让学生观察思考：在△ABC 中，请给出适当的条件，并根据你给出的条件可以得到什么结论？（培养学生自主探究和学习的能力）根据学生所答，教师归纳总结正弦定理，余弦定理公式：（正弦定理）正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。

Cab b a c B ca a c bAbc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+= （余弦定理）余弦定理可解以下两种类型的三角形：BR C c B b A a 2sin sin sin ===　（1）已知三边；（2）已知两边及夹角.（四）例题精讲：让学生自主探究，分析问题，解决问题。

（可用正、余弦2种方法解决，注意解的个数）例2 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西300，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？（角度精确到10）根据题目要求把实际问题转化成解三角形问题，对应的边长和角度可从已知条件中获得。

（五）课堂练习：1.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定2.ABC 中，8b =，c =，ABC S =，则A ∠等于 （ ）A 30B 60C 30或150D 60或1203.△ABC 中，若60A =，a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）145,,.ABC a b B A C c ︒∆===例在中，已知求和A 2B 1 24.ABC中，:1:2A B=，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cos A=（）A 13B12C34D 05.果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定参考答案：1．C 2。

高中数学第一章解三角形1.2 应用举例（三）导学案新人教A版必修5年级：姓名：1.2 应用举例（三）学习目标1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生与大家分享自己对航海测量知识的了解。

通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.二、自主学习1．三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)； (2)S ＝12ab sin C ＝12 ＝12； (3)S ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 为内切圆半径)． 提示：（2）bc sin A casin B2．三角形中常用的结论(1)A ＋B ＝ ，A ＋B 2＝ ；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；提示：（1）π－C π2－C 2三、合作探究探究点1：航海中的测量问题问题1：:在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．阅读教材，看看船只是如何表达位置和航向的？提示：用方向角和方位角．例1 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile 后到达海岛C .如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01nmile)解 在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos∠ABC ＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137°≈113.15.根据正弦定理，BC sin∠CAB ＝AC sin∠ABC ， sin∠CAB ＝BC sin∠ABC AC≈54.0sin137°113.15≈0.3255， 所以∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile.名师点评：解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．探究点2： 三角形面积公式的应用问题:1：如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？提示：在△ABC 中，如果已知边AB 、BC 和角B ，边BC 上的高记为h a ，则h a ＝AB sin B ．从而可求面积．例2 在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S .(精确到0.1cm 2)(1)已知a ＝14.8cm ，c ＝23.5cm ，B ＝148.5°；(2)已知B ＝62.7°，C ＝65.8°，b ＝3.16cm ；(3)已知三边的长分别为a ＝41.4cm ，b ＝27.3cm ，c ＝38.7cm.解： (1)应用S ＝12ca sin B ， 得S ＝12×23.5×14.8×sin148.5° ≈90.9(cm 2)．(2)根据正弦定理b sin B ＝c sin C， 得c ＝b sin C sin B ， S ＝12bc sin A ＝12b 2sin C sin A sin B ， A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(62.7°＋65.8°)＝51.5°，S ＝12×3.162×sin65.8°sin51.5°sin62.7° ≈4.0 (cm 2)．(3)根据余弦定理的推论，得cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca＝38.72＋41.42－27.322×38.7×41.4≈0.7697， sin B ＝1－cos 2B ≈1－0.76972≈0.6384.应用S ＝12ca sin B ， 得S ≈12×38.7×41.4×0.6384 ≈511.4 (cm 2)．名师点评： 三角形面积公式S ＝12ab sin C ，S ＝12bc sin A ，S ＝12ac sin B 中含有三角形的边角关系．因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系．首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积．例3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若△ABC 的面积等于3，求a ，b .解 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4， 联立方程组⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝2.名师点评： 题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公式．四、当堂检测1．一艘海轮从A 处出发，以40nmile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102nmileB ．103nmileC ．202nmileD ．203nmile2．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( ) A ．1 B ．2 C.12D ．4 3．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 提示：1．A 2.A 3.23五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．六、课例点评数学建模是数学的核心素养之一，数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。

1.1.1 正弦定理自主学习 （知识梳理）1．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．2．在Rt△ABC 中，C ＝90°，则有：(1)A ＋B ＝________，0°<A <90°，0°<B <90°；(2)a 2＋b 2＝________(勾股定理)；(3)sin A ＝____________，cos A ＝____________，tan A ＝__________，sin B ＝________，cos B ＝________，tan B ＝________；(4)a sin A ＝________，b sin B ＝________，csin C＝________. 3．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________，这个比值是________________________．合作探究 （重难点突破）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 及对应的三边a 、b 、c ，试用向量法证明正弦定理．知识点一 已知两角和一边解三角形例1 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，解三角形．总结 已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量，其中至少有一个是边，可以求解其余的三个量．变式训练1 在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．3.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；4.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；5.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；教学重点1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．知识点二已知两边及其中一边的对角解三角形例2在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．总结已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．变式训练2 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c 等于( )A．1 B．2 C.3－1 D. 3知识点三已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数例3不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)c＝50，b＝72，C＝135°.总结已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可用三角形中大边对大角定理，也可作图判断．变式训练3 不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝7，b＝14，A＝30°；(2)a＝30，b＝25，A＝150°；(3)a ＝7，b ＝9，A ＝45°.1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，当堂检测（训练达标）一、选择题1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．b sinC ＝c sin AC ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A2．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则这个三角形解的情况是( )A ．有两个解B ．有一个解C ．无解D ．不能确定3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3234．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°5．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°C ．6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，∠B ＝60°，则C ＝________.7．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝__________.8．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是______________．三、解答题9．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？10．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，求a b的取值范围．本课小结（学生自己总结 例如收获与反思）1．1.1 正弦定理 答案知识梳理1．元素 解三角形2．90° (2)c 2 (3)a c b c a b b ca cb a(4)c c c 3.a sin A ＝b sin B ＝c sin C三角形外接圆的直径2R 自主探究证明 (1)若△ABC 为直角三角形，不妨设C 为直角．如图所示，根据正弦函数的定义，a c ＝sin A ，b c＝sin B ， 所以a sin A ＝b sin B＝c ＝2R(2R 为外接圆直径)． ∵C＝90°，∴sin C ＝1，c sin C＝c ＝2R. ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R. (2)若△ABC 为锐角三角形，过A 点作单位向量i ⊥AC →，则有：i ·AB →＝i ·(CB →－CA →)＝i ·CB →－i ·CA →，∵i ⊥AC →，∴i ·CA →＝0，∴i ·AB →＝i ·CB →，即c cos(90°－A )＝a cos(90°－C )，∴c sin A ＝a sin C ，∴a sin A ＝c sin C. 同理可证：a sin A ＝b sin B ；b sin B ＝c sinC . ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (3)若△ABC 为钝角三角形，可仿(2)证明．综上，a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 对点讲练例1 解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin 45°sin 30°＝52； c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·＋sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)． 变式训练1 解 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 例2 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.变式训练2 B [由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 可得3sin 60°＝1sin B， ∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ， 得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.]例3 解 (1)sin B ＝b a sin 120°＝45×32<32， 所以三角形有一解． (2)sin B ＝b a sin 60°＝109×32＝539，而32<539<1， 所以当B 为锐角时， 满足sin B ＝539的角有60°<B <90°， 故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．(3)sin B ＝b sin C c ＝7250sin C >sin C ＝22， 所以B >45°，所以B ＋C >180°，故三角形无解．变式训练3 解 (1)A ＝30°，a ＝b sin A ，故三角形有一解．(2)A ＝150°>90°，a ＝30>b ＝25，故三角形有一解．(3)A ＝45°，b sin 45°<a <b ，故三角形有两解．课时作业1．D [由余弦定理知D 正确．]2．B [因为a >b，A 为钝角，所有只有一个解．]3．C [方法一 根据三角形内角和定理，A ＝180°－(B ＋C )＝45°.根据正弦定理，b ＝a sin B sin A＝8sin 60°sin 45°＝4 6.方法二 如图，过点C 作CD ⊥AB ，由条件可知A ＝45°，而由CD ＝a sin 60°＝b sin 45°，得b ＝4 6.]4．A [∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C ) ＝3sin(30°＋C )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0，π)，∴C ＝120°.]5．D [对于A ，由三角形的正弦定理知其只有一解；对于B ，∵a >b ，即A >B ，且A ＝150°，∴只有一解；对于C ，a <b ，即A <B ，且A ＝98°，∴无解．]6．75°解析 由正弦定理2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角，∴A ＝45°.∴C ＝75°.7．30°解析 b ＝2a ⇒sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 8．2<x <2 2 解析 因三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2. 9．解 当a <b sin 30°，即b >2a ，b >43时，无解；当a ≥b 或a ＝b sin A ，即b ≤23或b ＝43时，有一解；当b sin A <a <b ，即23<b <43时，有两解．10．解 在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故所求的范围是(2，3)．。

1.2《应用举例—④解三角形》导学案 【学习目标】 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3. 能证明三角形中的简单的恒等式．【重点难点】1.重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.2.难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.【知识链接】复习1：在∆ABC 中（1）若1,3,120a b B ===︒，则A 等于 ．（2）若33a =，2b =，150C =︒，则c = _____．复习2：在ABC ∆中，33a =，2b =，150C =︒，则高BD = ，三角形面积= ．【学习过程】※ 学习探究探究：在∆ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？h a =b sin C =c sin B根据以前学过的三角形面积公式S =12ah ，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S =12ab sin C ，或S = ，同理S = ．新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．※ 典型例题例1. 在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）：（1）已知a =14.8cm ，c =23.5cm ，B =148.5︒；（2）已知B =62.7︒，C =65.8︒，b =3.16cm ；（3）已知三边的长分别为a =41.4cm ，b =27.3cm ，c =38.7cm ．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m ，88m ，127m ，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）例2. 在∆ABC 中，求证：（1）222222sin sin sin a b A B c C++=；（2）2a +2b +2c =2（bc cos A +ca cos B +ab cos C ）．小结：证明三角形中恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※ 动手试试练1. 在∆ABC 中，已知28a cm =，33c cm =，45B =o ，则∆ABC 的面积是 ．练2. 在∆ABC 中，求证： 22(cos cos )c a B b A a b -=-．【学习反思】 ※ 学习小结 1. 三角形面积公式： S =12ab sin C = = ． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”． ※ 知识拓展三角形面积()()()S p p a p b p c =---，这里1()2p a b c =++，这就是著名的海伦公式． 【基础达标】※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在ABC ∆中，2,3,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（ ）.A. 23B.32 C. 3 D. 322. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）. A. 3和5 B. 4和6 C. 6和8 D. 5和73. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（ ）三角形．A. 等腰B. 直角C. 等边D. 等腰直角4. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是 ． 【拓展提升】1． 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c 3a 及∆ABC 的面积S ．2. 在△ABC 中，若sin sin sin (cos cos )A B C A B +=⋅+，试判断△ABC 的形状.。

试试:(1)在AABC屮，一定成立的等式是( ).学习旦反1.拿握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.A・asm A = bs\n BC. asinB = bsinAB. acosA = bcosBD. acosB = bcosA(2)已知ZkABC 屮，d=4, 则ZB等于__________________ .b =8, ZA=30°,上j学习过程一一、课前准备试验:同定△ ABC的边CB 及ZB,使边AC绕着顶点C 转动. A［理解定理］(1)正弦定理说明同一三角形小，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同i正数，即存在正数k ］^a =ksin A , ______________________ , c = ksinC；⑵斗=亠=—等价于_________________________ ，sin A sin B sin C思考：Z C的大小与它的对边AB的长度Z间有怎样的数蜃关系？显然，边AB的长度随着其对角ZC的人小的增大而__________ .能否用一个等式把这种关系精确地表示出來？c _ b a _ c—j —•sinC sin B sin A sinC(3)正弦定理的基本作用为：①己知三角形的任意两角及具一边町以求具他边,如0 =bsmAsinB二、…新课导学探事习探究探究1：在初中，我们己学过如何解玄介三介形，下面就首先來探讨直角三角形中，角与边的等式关系•如图，在RtA ABC中，设BC=a, AC=b,AB=c,根据锐角三角冈数中正弦两数的定义,有纟=sin A , — = s\nBc cXsinC = 1 =-,从而在直角三角形ABC中，=sin A sin B sin C 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当A ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有CD= a sin B = bs\n A ,贝ij f = »,sin A sin B同理可得：厶=上，sinC sinBH -r- ci b c从血---- = ----- = ------ •sin A sin B sin C类似可推出，当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立.请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的________ 的比相等，即：丄=丄=厶.sin A sin B sin C ②已知三角形的任意两边与其中一边的对几可以求其他角的正弦值，如sin A = —sin B : sin C = ___________ .b(4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形.探典型例题例1、在MBC'I1,已知A = 45。

解三角形专题导学案一、知识点梳理1.正弦定理： 正弦定理的变形：2.余弦定理：余弦定理的变形：3.三角形面积公式：4. 三角形中的常见结论：(1)π=++C B A(2)在三角形中大边对大角，大角对大边。

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

(4)有关三角形内角的三角函数式：;_________ , _________ _______(1)===c b a ，边化角：; _________ sin , ________ sinB , ________sin )2(===C A 角化边：;_________:_______:_______:: )3(=c b a 比例关系：.________________;_____________;__________222===c b a ._____________cosC ___;__________cosB ___;__________cos ===A )(21)1(边上的高表示a h ah S a a =._____________________________________)2(===S ;cos )cos( ;sin )sin(C B A C B A -=+=+)(2sin sin sin 外接圆的半径为其中ABC R R CcB b A a ∆===二、小题热身656.323.34.36.,sin 2.1ππππππππ或或或或）等于（则中，若在D C B A B A b a ABC =∆3.2.3.2.32cos ,2,5.,,,,.2D C B A b A c a c b a C B A ABC ）（则，已知的对边分别为的内角====∆65.32.3.6.,sin sin 3sin sin sin .3222ππππD C B A B C A B C A c b a C B A ABC ）（则，、、所对的边分别为、、中，角在==-+∆13.21.37.57.,3,1,60.4D C B A a A S b A ABC ABC ）的长为（所对的边则角中，在===∆∆三、例题解析考点1 利用正、余弦定理解三角形面积问题.,24,sin 2sin ,23,4,221.3sin 21的面积的最大值求）若（的面积；求）若（的面积；求）若（；）（，、、、、，、ABC a ABC C B a ABC c b a A b B a c b a C B A ABC ∆=∆==∆=+==∆的大小求角若所对的边分别为角中在锐角例考点2 利用正、余弦定理解三角形周长问题.,24,3,2334,221.2222的周长的最大值求）若（的周长；求的高为边）若（周长；，求面积为）若（；）（，已知、、、、内、ABC a ABC AB a ABC ABC a A bc a c b c b a C B A ABC ∆=∆=∆∆==-+∆的大小求角所对的边分别为角例四、课堂训练.,5221.sin sin sin sin sin sin ,,,,1222的面积求，）若（；）（，，、ABC c b a C B A C C B A c b a C B A ABC ∆=+=--=∆的大小求角332若所对的边分别为角中在.22,4,31.sin sin )sin (sin ,,,,,2周长的最大值，求的外接圆半径为）若（的大小；求边）若（）（）若（所对的边分别为中，角、在ABC ABC b A c B A b C A c a c b a C B A ABC ∆∆==-=+-∆π五、高考真题6.4.3.2.,4,,Ⅲ2018222ππππD C B A C c b a ABC C B A ABC ）（则的面积为若的内角】年全国卷【=-+∆∆.,32,6,,,,,Ⅱ2019的面积为则，若的对边分别为的内角】年全国卷【ABC B c a b c b a C B A ABC ∆===∆π.2337ⅡⅠ.)cos cos (cos 2,,,,,Ⅰ2016的周长，求的面积为，）若（；）求（已知的对边分别为的内角】年全国卷【ABC ABC c C c A b B a C c b a C B A ABC ∆∆==+∆.1ⅡⅠ.sin b 2sin ,,,,,Ⅲ2019面积的取值范围，求为锐角三角形，且）若（；）求（已知的对边分别为的内角】年全国卷【ABC c ABC B A CA a c b a CB A ABC ∆=∆=+∆。

班级： 组别： 组名： 姓名：《简单的三角变换》---预习案【使用说明】：1、晚自习完成预习案，时间20分钟，牢记半角公式，A 级完成所有题；B 级完成不带（**）的题，C 级完成不带（*）的题。

2、晚自习后20分钟合作探究，争取完成两个探究问题，学课组长注意调控讨论环节，不做与学习内容无关的事。

【学习目标】：1、能使用二倍角公式推导半角公式，能用二倍角与半角公式进行简单的求值与证明 2、体会三角变换中角与角的关系、数式结构特点在选择公式中的作用【问题导学】：1、已知42615sin -=o 如何求其2倍角30o 的余弦cos30o ?2、反之如已知2α的余弦值，你能求出其半角α的正弦值吗？阅读课本139页例题1.独立完成半角公式的证明,并在以下空格处默写半角公式：=2sin 2α2c o s 2α= 2tan 2α= 【学法指导】：1、注意所谓角与角之间的倍半关系只是一种相对关系：如220可以视为110的 角，反之23α也可以视为α3的 角。

2、 利用半角公式求出=2sin 2α43而 2sin α值的符号应由 来确定。

【自学检测】;1、求值：（1）sin8π (2)cos 8π2、若97cos =x ，且 360270<<x ，求cos 2x 的值 3、求y=sin 2x 的最小正周期（*）4、设a =<<2cos,65θπθπ，求sin 4θ的值班级： 组别： 组名： 姓名：《简单的三角变换》--探究案一 探究一、利用二倍角公式证明：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=探究二、证明)24tan(cos sin 1x x x +=+π（*）探究三、化简：x x x x cos sin 1cos sin 1++-+课堂检测：证明ααα2tan 1tan 22sin +=班级：组别：组名：姓名：《正余弦定理的应用》导学案一【学习目标】： 1、进一步巩固几种常见可解三角形的类形及其解题方法与步骤 2、学会将日常生活中的具体测量问题通过读题、分析、画图、标记等步骤逐步转化为求解可解三角形的问题。

人教A 版数学必修五第一章解三角第一章選舉類別第一節︰規管選舉及投票制度的法例第二節︰報告的範圍第一節︰規管選舉及投票制度的法例1.1 為組成立法會而須舉行的選舉，以及選舉應如何進行，是由兩條法例規定，即《立法會條例》及《選舉管理委員會條例》(以下簡稱「《選管會條例》」)。

(A) 《立法會條例》1.2 根據《立法會條例》第4(3)條，香港特別行政區行政長官(以下簡稱「行政長官」) 指定第二屆立法會的任期於二零零零年十月一日開始，並藉二零零零年一月二十一日的憲報公告，指定舉行選舉委員會界別分組選舉的日期是二零零零年七月九日，及舉行換屆選舉的日期則為二零零零年九月十日。

1.3 第二屆立法會須有60名議員，以下述方式選出︰(a) 五個地方選區共選出24名議員；(b) 在28個功能界別中，除勞工界功能界別選出三名議員外，其餘27個功能界別各選出議員一名；及(c) 選舉委員會選出六名議員。

1.4 《立法會條例》就各選區或選舉界別(即地方選區和功能界別)及選舉委員會作出詳細規定。

地方選區一如其名，是以地區為基礎的。

每個選區分界的劃定由選舉管理委員會(以下簡稱「選管會」或「委員會」)建議(見本報告第二章)。

28個功能界別及其選民的資格詳列在《立法會條例》第20、20A至20ZB及25條。

選舉委員會由不超過800名委員組成，他/她們是由38個界別分組組成的四個界別的代表。

這四個界別和38個界別分組及其成員載於《立法會條例》附表2 (見第三章第3.4段)。

1.5 不同選區、選舉界別、選舉委員會和界別分組的選舉各有不同的投票制度，詳情如下︰(a) 地方選區選舉—比例代表名單投票制(《立法會條例》第49條)；(b) 《立法會條例》第50條(附錄一)所指明的特別功能界別(即鄉議局功能界別、漁農界功能界別、保險界功能界別及航運交通界功能界別)的選舉—按選擇次序淘汰投票制；以及(c) 《立法會條例》第20(1)(e)至(zb)條(附錄一) 所指明的24個功能界別的選舉、選舉委員會選舉及界別分組選舉—得票最多者當選投票制(《立法會條例》第51及52條)。

第一章 解三角形（复习）班级 姓名 学号 学习目标学习过程一、课前准备（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．二、新课导学※ 典型例题例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．练习：在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B A A-的值为例2. 【2014高考山东文第17题】△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知a =3，A cos =36,2π+=A B , （1）求b 得值；（2）求△ABC 的面积.练习：在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a（Ⅰ）若25,2==b a ，求C cos 的值; （Ⅱ）若C A B B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a 和b 的值.例3. 在∆ABC 中，设tan 2,tan A c b B b-= 求A 的值．练习：在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = .例4.在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？三、总结提升※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）.A ．9B ．18C ．9D ．2.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）.A ． 60°B ． 90°C ．150°D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定的4. 在△ABC 中，a =，b =1cos 3C =，则ABC S =△_______ 5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，则A =___ ____.1. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=． （1）求A ；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．2. 在△ABC中，,,a b c分别为角A、B、C的对边，2228 5 bca c b-=-，a=3，△ABC的面积为6，（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。